人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理课后测评

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理课后测评，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第六章　6.3　6.3.2

A组·素养自测
一、选择题
1．若n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是(　C　)
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
[解析]　令x＝1，得出n的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n＝8；
∴8的展开式通项公式为：
Tr＋1＝C·(3)8－r·r＝(－1)r·38－r·C·x4－r，
令4－r＝0，解得r＝4.
∴展开式的常数项是Tr＋1＝T5，即第5项．故选C．
2．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则(2x－1)n的二项式系数之和为(　A　)
A．64 B．32
C．63 D．31
[解析]　由已知得(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则(2x－1)n的二项式系数之和为2n＝26＝64.
3．(1－x)13的展开式中，系数最小的项为(　C　)
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
[解析]由题设可知展开式的通项为Tr＋1＝C(－x)r＝(－1)rCxr，其系数为(－1)rC，当r为奇数时展开式中项的系数(－1)rC最小，则r＝7，即第8项的系数最小．
4．若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　C　)
A．2 B．
C．1 D．
[解析]　二项式7的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－rr＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.
5．(多选)(2021·济南高二检测)对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则下列结论成立的是(　ACD　)
A．a2＝－144
B．a0＝1
C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1
D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39
[解析]　对任意实数x，
有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9
＝[－1＋2(x－1)]9，
所以a2＝－C×22＝－144，故A正确；
令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；
令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；
令x＝0，可得a0－a1＋a2＋…－a9＝－39，故D正确．
二、填空题
6．若n展开式的各项系数之和为32，则n＝_5__，其展开式中的常数项为_10__(用数字作答)．
[解析]　令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.
7．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是_1或38__.
[解析]　Tr＋1＝Cx8－rr
＝(－a)r·C·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，
由条件知，a4C＝1 120，∴a＝±2，
令x＝1得展开式各项系数的和为1或38.
8．若(a＋)n的展开式中奇数项的系数之和为512，则展开式的第8项T8＝_120a__.
[解析]　因为C＋C＋C＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝Ca3()7＝120a.
三、解答题
9．在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
[解析]　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)
由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
(1)二项式系数和为
C＋C＋…＋C＝210.
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.
10．设(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 021的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 021|的值．
[解析]　(1)令x＝1，得：
a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1.①
(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…－a2 021＝32 021②
①－②得：
2(a1＋a3＋…＋a2 019＋a2 021)＝－1－32 021，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－.
(3)∵Tr＋1＝C·12 021－r·(－2x)r
＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－10(k∈N*)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 021|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 020－a2 021
＝32 021.
B组·素养提升
一、选择题
1．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图“0－1三角”．在“0－1三角”中，从第1行起，设第n(n∈N＋)次出现全行为1时，1的个数为an，则a3等于(　D　)
第0行
1
第1行
1　1
第2行
1　0　1
第3行
1　1　1　1
第4行
1　0　0　0　1
第5行
1　1　0　0　1　1
…
…　　　…　　　…
A．26 B．27
C．7 D．8
[解析]　第1行和第3行全是1，已经出现了2次，依题意，第6行原来的数是C，而C＝6为偶数，不合题意；第7行原来的数是C，即1，7，21，35，35，21，7，1全为奇数，一共有8个，全部转化为1，这是第三次出现全为1的情况．
2．已知(ax＋b)7的展开式中x5的系数与x6的系数分别为189与－21，则(ax＋b)5的展开式的所有项系数之和为(　D　)
A．64 B．－64
C．32 D．－32
[解析]　(ax＋b)7的展开式的通项为Tr＋1＝a7－r·br·C·x7－r，依题意可知
解得
故(ax＋b)5＝(x－3)5，
令x＝1，得(1－3)5＝－32，
即(ax＋b)5的展开式的所有项系数之和为－32.
3．若(x－3)2(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则log2(a1＋a3＋…＋a9)＝(　D　)
A．4 B．7
C．8 D．9
[解析]　∵(x－3)2(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝0，可得a0＝9，
令x＝1，可得9＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝210①，
令x＝－1，可得9－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10＝0②，
由①②联立解得2(a1＋a3＋…＋a9)＝210，
∴a1＋a3＋…＋a9＝29，则log2(a1＋a3＋…＋a9)＝log229＝9.
4．(多选)关于下列(a－b)10的说法，正确的是(　ABD　)
A．展开式中的二项式系数之和是1 024
B．展开式的第6项的二项式系数最大
C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
[解析]　由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024，故A正确．二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确．由展开式的通项为Tk＋1＝Ca10－k(－b)k＝(－1)kCa10－kbk知，第6项的系数－C最小，故D正确．
二、填空题
5．观察下列等式：
(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，
(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，
(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，
(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，
…
由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝___.
[解析]　观察给出各展开式中x2的系数：1，3，6，10，据此可猜测a2＝.
6．记f(m，n)为(1＋x)6(1＋y)4展开式中xm·yn项的系数，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝_120__.
[解析]　f(3，0)＝C＝20，f(2，1)＝CC＝60，f(1，2)＝CC＝36，f(0，3)＝C＝4，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝20＋60＋36＋4＝120.
7．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝___.
[解析]　设f(x)＝(1＋x＋x2)n，
则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①
f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②
由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，
所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n
＝＝.
三、解答题
8．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．
[解析]　(1)由已知C＋2C＝11，所以m＋2n＝11，x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)
＝＋(11－m)·＝2＋.
因为m∈N*，
所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，
所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，
设这时f(x)的展开式为
f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
9．在n的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
(1)求n的值；
(2)求展开式中所有的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
[解析]　(1)由题意知：Tr＋1＝C2rx2n－r，则第4项的系数为C23，倒数第4项的系数为C2n－3，则有＝，即＝，所以n＝7.
(2)由(1)可得Tr＋1＝C2rx14－r(r＝0，1，…，7)，
当r＝0，2，4，6时，所有的有理项为T1，T3，T5，T7，
即T1＝C20x14＝x14，T3＝C22x9＝84x9，
T5＝C24x4＝560x4，T7＝C26x－1＝448x－1.
(3)设展开式中第r＋1项的系数最大，则
⇒⇒≤r≤，所以r＝5，故系数最大项为T6＝C25x＝672x.