高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征课后练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第七章　7.3　7.3.1

A组·素养自测
一、选择题
1．(多选)下列说法不正确的是(　ABD　)
A．随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化
B．随机变量的均值反映样本的平均水平
C．若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4
D．随机变量X的均值E(X)＝
[解析]　A错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．B错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．C正确，由均值的性质可知．D错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，则E(X)的值为(　A　)
A． B．
C． D．2
[解析]　∵P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)，
∴E(X)＝(1＋2＋3＋4)×＝，故选A．
3．(2022·江苏徐州高二检测)已知离散型随机变量X的概率分布列如下：
X
4
a
9
10
P
0.3
0.1
b
0.2
若E(X)＝7.5，则a等于(　C　)
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析]　∵0.3＋0.1＋b＋0.2＝1得b＝0.4，
∴E(X)＝4×0.3＋a×0.1＋9×0.4＋10×0.2＝7.5，
∴a＝7，故选C．
4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：
ξ
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1

η
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定(　A　)
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同 D．无法判定
[解析]　E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
因为E(η)>E(ξ)，故甲比乙质量好．
5．将三个不同的小球全部随机放入三个不同的盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望E(ξ)为(　A　)
A． B．
C．2 D．
[解析]　由题意知ξ的所有可能取值为1，2，3，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
二、填空题
6．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知X的期望E(X)＝8.9，则x的值为_0.4__.
[解析]　∵x＋y＝0.6，7x＋10y＝8.9－0.8－2.7，
解得
7．一袋中装有分别标记着1，2，3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X，Y，设ξ＝Y－X，则E(ξ)＝___.
[解析]　由题意知ξ的取值为0，1，2，ξ＝0，表示X＝Y；ξ＝1表示X＝1，Y＝2，或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3.
∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
8．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
P
－p
p

则E(X)的最大值为___.
[解析]　由表可得从而得p∈，期望值E(X)＝0×＋1×p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝.
三、解答题
9．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
[解析]　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P



故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．
10．(2022·陕西师大附中高三检测)共享单车是一种绿色、环保、健康的出行方式．最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”．
(1)从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；
(2)从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X，求X的分布列与数学期望．
[解析]　(1)记事件A：从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”，
则P(A)＝×＋×＋×＝.
(2)X的取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＋×＝，
P(X＝3)＝×＝，
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




∴X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．如果a1，a2，a3，a4，a5，a6的期望为3，那么2(a1－3)，2(a2－3)，2(a3－3)，2(a4－3)，2(a5－3)，2(a6－3)的期望是(　A　)
A．0 B．3
C．6 D．12
[解析]　由E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2×3－6＝0.
2．(多选)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表：
品牌
甲
乙
首次出现故障的时间x(年)
0E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
3．(多选)离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则(　BC　)
A．a＝10 B．a＝
C．b＝0 D．b＝1
[解析]　易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝，b＝0.
4．(多选)(2022·浙江丽水高二月考)设0