高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布课后测评，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第七章　7.4　7.4.2

A组·素养自测
一、选择题
1．(多选)关于超几何分布，下列说法正确的是(　ACD　)
A．超几何分布的模型是不放回抽样
B．超几何分布的总体里可以有两类或三类物品
C．超几何分布中的参数是N，M，n
D．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
[解析]　由超几何分布的定义可知A、C、D均正确，因超几何分布的总体里只有两类物品，故选项B错误．故选ACD．
2．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为(　D　)
A．1－ B．
C． D．
[解析]　由超几何分布概率公式可知，所求概率为.
3．某地15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便，现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是(　A　)
A．P(X＝4) B．P(X≤4)
C．P(X＝6) D．P(x≤6)
4．(2022·江西新余高二期末)有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P(X≤1)＝(　B　)
A． B．
C． D．7
[解析]　根据题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝.故选B．
5．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　B　)
A．10% B．20%
C．30% D．40%
[解析]　设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为ξ，由P(ξ＝1)＝得＝，化简得n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8，
又∵该产品的次品率不超过40%，∴n≤4，应取n＝2，即这10件产品的次品率为＝20%.
二、填空题
6．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，设抽到的次品数为X，则P(X＝0)＝___.
[解析]　X服从超几何分布P(X＝0)＝＝.
7．在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到已过保质期的饮料的概率为___.
[解析]　取到已过保质期饮料的瓶数服从超几何分布，其中参数为N＝20，M＝2，n＝2，
则所求事件的概率为1－＝1－＝.
8．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为___(用式子表示)．
[解析]　设抽取的4台产品中二级品的台数为X，
由题意，知随机变量X服从超几何分布，
则P(X＝1)＝，P(X＝0)＝，
故P(X≤1)＝P(X＝1)＋P(X＝0)＝.
三、解答题
9．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
[解析]　(1)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人，共有C＝84种情况，所选3人中恰有一名男生的情况有CC＝40种，
故所选3人中恰有一名男生的概率为＝.
(2)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P




10.某中学统计了该校100名学生在放假期间参加社会实践活动(简称活动)的情况：有20人参加1次活动，有50人参加2次活动，有30人参加3次活动．
(1)从这些学生中任选两名，求恰好有一名参加1次活动的概率；
(2)从这些学生中任选两名，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列．
[解析]　(1)由题意知，若设X为任选两名学生中参加1次活动的人数，则X服从参数为N＝100，M＝20，n＝2的超几何分布，
故P(X＝1)＝＝.
(2)ξ的可能取值为0，1，2.
从这些学生中任选两名，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C，易知P(ξ＝1)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，P(ξ＝2)＝P(C)＝＝，P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



B组·素养提升
一、选择题
1．(多选)下列说法正确的是(　ABD　)
A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10，0.6)
B．某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)
C．从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B
D．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，取出好的螺丝钉的只数X为随机变量，且X～H(10，4，7)
[解析]　A，B显然满足独立重复试验的条件，而C虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．D显然满足超几何分布的条件．
2．(多选)(2021·上海市浦东新区)某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为(　AD　)
A．1－ B．
C．1－ D．
[解析]　任意抽取4个产品有C种不同的抽取方法，其中恰好有1个二等品的抽取方法有CC种，故所求事件的概率为.“恰好有1个二等品”的对立事件是“没有二等品”或“有2个二等品”，故A选项也对．
3．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本共有(　C　)
A．2本 B．3本
C．4本 D．5本
[解析]　设语文课本n本，则数学课本有7－n本(n≥2)．则2本都是语文课本的概率为＝，由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4(负值舍去)．
4．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(　C　)
A．恰有1个是坏的
B．4个全是好的
C．恰有2个是好的
D．至多有2个是坏的
[解析]　“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)，
所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C．
二、填空题
5．(2022·辽宁大连高三模拟)学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用ξ表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)的值是___.(结果用分数表示)
[解析]　由题意，知ξ可取0，1，2，
当ξ＝0时，表示没有选到女生；
当ξ＝1时，表示选到一名女生；
当ξ＝2时，表示选到2名女生．
∴P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
6．某国科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率为___.
[解析]　成员有11＋4＋5＝20人，从中任选2人的不同选法有C种，其中不属于同一国家的有C·C＋C·C＋C·C种，根据等可能性事件发生的概率计算公式，可得所求概率为P＝＝.
7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为___.
[解析]　因为此时盒中旧球个数X＝4，即旧球增加一个，所以取出的3个球中必有1个新球，2个旧球，所以P(X＝4)＝＝.
三、解答题
8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布．
[解析]　(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有1和0两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝，
因此X的概率分布为
X
0
1
P


(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的概率分布为
Y
0
10
20
50
60
P





9.某高校通过自主招生方式招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．
(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪名被录取的可能性更大？
[解析]　(1)由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：
P＝×C××2＋×C×0×3＝.
(2)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
由题意知Y～B，E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝，
E(X)＝E(Y)，D(X)