第06讲 有理数的加减法-七年级数学上册同步精品讲义（华师大版）

第6讲 有理数的加减法

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1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；
2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；
3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.
知识精讲


知识点01 有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
【微点拨】利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
3.运算律：
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言
a+b＝b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言
(a+b)+c＝a+(b+c)
【微点拨】：交换加数的位置时，不要忘记符号．

【即学即练1】计算：
(1)(+20)+(+12)； (2)； (3)(+2)+(-11)；
(4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0．
【答案】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．
(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；
(2)
(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9
(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9
(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；
(6)(-5)+0＝-5．
【总结】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．
知识点02 有理数的减法运算
已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．
【微点拨】：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：



【即学即练2】(1)(-32)-(+5)； (2)(+2)-(-25)．
【思路】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【答案】法一：


法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27
【总结】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
知识点03 有理数的加减混合运算
【微点拨】将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【即学即练3】计算：3.8+4﹣（+6）+（﹣8）
【思路】根据有理数的加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，求解即可．
【答案】
解：原式=（3.8﹣6.8）+（4﹣8）
=﹣3﹣4
=﹣7，
【总结】本题考查了有理数的加减混合运算的知识，如果在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
【即学即练3】用简便方法计算：
(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7)
(2) 2
【答案】 (1) 原式=[(-3.8)+ (-4.2)]+[ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2
(2)原式=（2-1-4）+（--+-）=-3+[-++(--)]=-3-1=-4
知识点04 有理数的加减混合运算在实际中的应用
【即学即练4】邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km到达A村，继续向南骑行3km到达B村，然后向北骑行9km到C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；
（2）C村离A村有多远？
（3）邮递员一共骑了多少千米？
【思路】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm表示1km，按此画出数轴即可；
（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；
（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和．
【答案】
解：（1）依题意得，数轴为：
；
（2）依题意得：C点与A点的距离为：2+4=6（千米）；
（3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．
【总结】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．
能力拓展


考法01 有理数的加法运算
1.阅读下题的计算方法．
计算
解：原式=
=
=0+（﹣）
=﹣
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：

【思路】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【答案】
解：原式=[（﹣2011）+（﹣）]+[（﹣2010）+（﹣）]+[4022+]+[（﹣1）+（﹣）]
=[（﹣2011）+（﹣2010）+4022+（﹣1）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]
=0+（﹣）
=﹣．
【总结】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．
2.计算：(1) -7+10；(2) (-)+(-7.3)；(3) 1+(-2)；(4) 7+(-3.8)+(-7.2)
【答案】（1）原式=；
（2）原式=；（3）原式=；
（4）原式=
3.计算：
【答案】
4.计算：
．
【答案】解法一：

→同号的数一起先加
．
解法二：

→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加
．
考法02 有理数的减法运算
(1)2-(-3)； (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)； (3)．
【思路】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【答案】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．
(1)2-(-3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5
（3）原式=
【总结】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
考法03 有理数的加减混合运算
计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；
（2）11-12+13-15+16-18+17； （3）
（4）
（5）； （6）
【答案】
（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；
4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．
解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72
＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23
＝0+0-1.23＝-1.23
（2）把正数和负数分别分为一组．
解：11-12+13-15+16-18+17
＝(11+13+16+17)+(-12-15-18)
＝57+(-45)＝12
（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．
解：

（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一组；与 易于通分，把它们分为一组；与同分母，把它们分为一组．
解：


（5）先把整数分离后再分组．
解：




注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如 ．
（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．
解：


【总结】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.
考法04 有理数的加减混合运算在实际中的应用
（郑州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国
古代数学史上经常研究这一神话．
（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；
（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1
这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．

【答案】
解：（1）15÷3=5，
∴最中间的数是5，其它空格填写如图1；

（2）如图2所示．

【总结】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键．
分层提分


题组A 基础过关练
一、选择题
1．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（　　）
A．﹣10℃ B．﹣6℃ C．10℃ D．6℃
【答案】B．
2.若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（　　）
　 A． + B． ﹣ C． × D． ÷
【答案】C
【解析】解：根据题意得：﹣1﹣2015=﹣2016，
故选C.
3．两个有理数相加，和小于其中一个加数而大于另一个加数，需满足（ ）
A．两个数都是正数 B．两个数都是负数
C．一个是正数，另一个是负数 D．至少有一个数是零
【答案】D
【解析】若，则或或，所以D正确.
4．下列说法中正确的是
A．正数加负数，和为0
B．两个正数相加和为正；两个负数相加和为负
C．两个有理数相加，等于它们的绝对值相加
D．两个数的和为负数，则这两个数一定是负数
【答案】D
【解析】()的符号与绝对值较大的一致为负的，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，即有.
5．下列说法正确的是( )
A．零减去一个数，仍得这个数
B．负数减去负数，结果是负数
C．正数减去负数，结果是正数
D．被减数一定大于差
【答案】D
【解析】A错误，反例：2-（-3）=5，而5＞2；B不对，反例：2-（-3）=5，而-3为负数；C错误，0-2=-2，0-（-2）=2，所以零减去一个数得这个数的相反数.
6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差( )
A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg
【答案】B
【解析】因为最低重量为24.7kg，最大重量为25.3kg，故质量最多相差25.3-24.7＝0.6kg．
7. -3+5的相反数是( )．
A．2 B．-2 C．-8 D．8
【答案】＜，＜，＞，＞，＞
【解析】由图可知：，且，再根据有理数的加法法则可得答案.
题组B 能力提升练
8.有理数在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：
（1）｜a｜______｜b｜；（2）a＋b＋c______0：
（3）a－b＋c______0； （4）a＋c______b；
（5）c－b______a．
【答案】＜，＜，＞，＞，＞
【解析】由图可知：，且，再根据有理数的加法法则可得答案.
9.小明存折中原有450元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有______元．
【答案】340
【解析】450﹣260+150=290+150=340（元）．
10. 若a ，b 为整数，且|a-2|+| a -b|＝1，则a+b＝________．
【答案】2,6,3或5
【解析】当|a-2|＝1，| a -b|＝0时，得：a+b＝6或2；当|a-2|＝0，| a -b|＝1时，得：a+b＝3或5；
11．某地的冬天，半夜的温度是-5°C，早晨的温度是-1°C，中午的温度是4°C.则
(1)早晨的温度比半夜的温度高________度；
(2)早晨的温度比中午的温度低________度.
【答案】(1)4 (2) 5
【解析】 (1)-1-（-5）=4 (2) -1-（+4）= -5
12．北京与纽约的时差为-13（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚）.如果现在是北京时间15：00，那么纽约时间是______________
【答案】2：00　
【解析】15：00+(-13)=2：00．
13. 数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是 .
【答案】 -1
【解析】(2☆3)☆2＝(2☆3)-2+1＝2-3+1-2+1＝-1
14. 计算题
（1） （2）
（3） （4）
（5）
（6）
【解析】（1）原式；
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式=

题组C 培优拔尖练
15. 数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是 .
【答案】－1
【解析】(2☆3)☆2＝(2☆3)-2+1＝2-3+1-2+1＝-1
16.计算题
（1）；
（2）
（3）
（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100的值．
（5）；
（6）
【解析】（1）原式
（2）原式

（3）原式
=
．
（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100
＝[1+(-2) + (-3)+4]+[5+(-6) + (-7)+8]+…+[97+(-98) + (-99)+100]
＝0+0++…+0＝0．
（5）

（6）原式
17. 已知：|a|=2,|b|=3，求a+b的值．
【解析】由题意知：a=±2, b=±3，所以要分四种情况代入求值.
∵|a|=2, ∴ a=±2, ∵|b|=3, ∴b=±3.
当a=+2, b=+3时, a+b=(+2)+(+3)=+5;
当a=+2, b=-3时, a+b=(+2)+(-3)=-1;
当a=-2,b=+3时, a+b=(-2)+(+3)=+1;
当a=-2, b=-3时, a+b=(-2)+(-3)=-5.
18.某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2．（单位：元）
（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？
（2）盈利（或亏损）了多少钱？
【解析】
解：根据题意得
（1）2﹣3+2+1﹣2﹣1+0﹣2=﹣3，
55×8+（﹣3）=437元，
∵437＞400，
∴卖完后是盈利；
（2）437﹣400=37元，
故盈利37元．