第14讲 整式的加减-七年级数学上册同步精品讲义（华师大版）

第14讲 整式的加减
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1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.
2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的联系.
3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律.
4．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；
5．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；
6．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．
知识精讲

知识点01 要点一、代数式
诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
【微点拨】
代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
【即学即练1】
1.做大小两个纸盒，尺规如下（单位：cm）

长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
3a
2b
2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？（结果用含a、b、c的代数式表示）
（2）做成的大纸盒比小纸盒的容积大多少立方厘米？（结果用含a、b、c的代数式表示）
【点拨】（1）根据长方体表面积计算公式计算出两个长方体表面积，再相加化简可得；
（2）根据长方体体积计算方法计算出两个长方体体积相减，化简可得．
【解析】
解：（1）根据题意，做两个纸盒需用料2ab+2bc+2ac+12ab+8bc+12ac=14ab+10bc+14ac，
答：做这两个纸盒共用料（14ab+10bc+14ac）平方厘米．
（2）根据表格中数据可知，大纸盒比小纸盒的容积大3a×2b×2c﹣abc=11abc，
答：做成的大纸盒比小纸盒的容积大11abc立方厘米．
【总结】本题主要考查根据实际问题列代数式的能力，准确表示出各部分的面积或体积是关键．
2.的意义是（ ）
A.a与b差的2倍除以a与b的和
B.a的2倍与b的差除以a与b和的商
C.a的2倍与b的差除a与b的和
D.a与b的2倍的差除以a与b和的商
【答案】B

知识点02 整式的相关概念
1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
【微点拨】
（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
【微点拨】
（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
【微点拨】
（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；
　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
【即学即练2】
1.指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式．
(1) (2)5 (3) (4) (5)3xy (6) (7) (8)1+a% (9)
【解析】
解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)
单项式：(2)、(5)、(6)，其中：
5的系数是5，次数是0；3xy的系数是3，次数是2；的系数是，次数是1.
多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：
是一次二项式；是一次二项式；是一次二项式；1+a%是一次二项式；
是二次二项式.
【总结】①分母中出现字母的式子不是整式，故不是整式；②π是常数而不是字母，故是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能有加减．如其实质为，其实质为．
2.(1)的次数与系数的和是________；
(2)已知单项式的系数是等于单项式的次数，则m＝________；
(3)若是关于a、b的一个五次单项式，且系数为9，则-m+n＝________．
【答案】 (1)3 (2)1 (3)-5
3.多项式是________次________项式，常数项是________，三次项是________．
【答案】四，五， 1 ，
4.把多项式按x的降幂排列是________．
【答案】
知识点03 整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
【微点拨】
辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
【微点拨】
合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．
【即学即练3】
1.如果单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2015=　 　．
【答案】1．
【解析】
解：由同类项的定义可知
a﹣2=1，解得a=3，
b+1=3，解得b=2，
所以（a﹣b）2015=1．
【总结】考查了同类项，要求代数式的值，首先要求出代数式中的字母的值，然后代入求解即可．
2.若与是同类项，则a＝________，b＝________．
【答案】 5 ， 4
3. 计算
【解析】
解法1：



解法2：



【总结】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号．
4.下列式子中去括号错误的是( )．
　　A．5x－(x－2y＋5z)＝5x－x＋2y－5z
　　B．2a2＋(－3a－b)－(3c－2d)＝2a2－3a－b－3c＋2d
　　C．3x2－3(x＋6)＝3x2－3x－6
　　D．－(x－2y)－(－x2＋y2)＝－x＋2y＋x2－y2
【答案】C
5.化简：-2a+(2a-1)的结果是( )．
A．-4a-1 B．4a-1 C．1 D．-1
【答案】D
知识点04 化简求值
（1）直接化简代入
　1. 已知，，求的值．
（2）条件求值
　若与的和是单项式，则________．
（3）整体代入
　已知x2-2y＝1，那么2x2-4y+3＝________．
【解析】
解：（1）5(2x2y-3x)-2(4x-3x2y)
＝10x2y-15x-8x+6x2y
＝16x2y-23x
当，y＝-1时，
原式＝．
（2） 由题意知：和是同类项，所以m+5＝3，n＝2，解得，m＝-2，n＝2，所以．
（3）因为， 而
所以．
【总结】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系．
2.已知a2+2a=1，则代数式2a2+4a﹣1的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】B
3.已知，求的值.
【答案】

所以，原式=．
4.已知多项式是否存在m ，使此多项式与x无关？若不存在，说明理由；若存在，求出m 的值.
【解析】
解：

要使原式与无关，则需该项的系数为0，即有，所以
答：存在使此多项式与x无关，此时的值为3.
【总结】一个多项式不含某项或说与某项无关，都是暗含此多项式中该项的系数为0.
能力拓展


考法01
某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元.该商场为促销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款.八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本 x（x≥10）本.
(1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.
(2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱.
【点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的，把两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小．
【解析】
解:设买练习本x,则得两种购买方法的代数式为:
(1) 代数式分别为:
25×10+5(x-10),
(25×10+5x) ×90%
（2）把x=30分别代入两个代数式: 25×10+5(x-10) ＝25×10+5(30-10) ＝350（元）
(25×10+5x) ×90%＝(25×10+5×30) ×90% =360 （元）
所以选择第一种优惠方式．
【总结】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型．

考法02
若是同类项，求出m, n的值，并把这两个单项式相加.
【解析】
解：因为是同类项，
所以 解得
当且时，
.
【总结】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母的指数也要相同.其中，常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并.
考法03
合并同类项．
(1)；
(2)．
【答案】
(1)原式＝

(2)原式
．
考法04
1. 对于任意有理数x，比较多项式与的值的大小．
【解析】
解：
∵
∴无论x为何值，＞．
【总结】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．
2.如果关于x，y的多项式与 的差不含二次项，求的值．
【答案】
解：原式＝
＝
由题意知，则，
∴．
∴．

分层提分


题组A 基础过关练
1．A、B、C、D均为单项式，则A+B+C+D为( )．
A．单项式 B．多项式
C．单项式或多项式 D．以上都不对
【答案】C
【解析】若A、B、C、D均为同类项，则A、B、C、D的和为单项式，否则为多项式，故选C．
2．下列计算正确的个数 （ ）
① ；② ； ③ ；
④ ； ⑤
A．2 B．1 C．4 D．0
【答案】D
3．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（　　）
　 A．﹣2xy2 B． 3x2 C． 2xy3 D． 2x3
【答案】D．
【解析】此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．
A、﹣2xy2系数是﹣2，错误；B、3x2系数是3，错误；C、2xy3次数是4，错误；
D、2x3符合系数是2，次数是3，正确；故选D．
4．有下列式子：，，，，0，，，，对于这些式子下列结论正确的是( )．
A．有4个单项式，2个多项式
B．有5个单项式，3个多项式
C．有7个整式
D．有3个单项式，2个多项式
【答案】A
【解析】单项式有，，0，x；多项式有，，其中，不是整式．
5．对于式子，下列说法正确的是( )．
A．不是单项式
B．是单项式，系数为-1.2×10，次数是7
C．是单项式，系数为-1.2×104，次数是3
D．是单项式，系数为-1.2，次数是3
【答案】 C
【解析】此单项式的系数是以科学记数法形式出现的数，所以系数为-1.2×104，次数应为x与y的指数之和，不包括10的指数4，故次数为3．不要犯“见指数就相加”的错误．所以正确答案为C．
6．现规定一种运算：a * b ＝ ab + a - b，其中a，b为有理数，则3 * 5的值为( )．
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解析】按规定的运算得：3*5＝3×5+3-5＝13．
7．化简(n为正整数)的结果为( )．
A．0 B．-2a C．2a D．2a或-2a
【答案】A
【解析】分析两种情况，当n为偶数时，，，当n为奇数时，，，无论哪种情况，结果都是0．
8．已知a-b＝-3，c+d＝2，则(b+c)-(a-d)为( )．
A．-1 B．-5 C．5 D．1
【答案】C
【解析】(b+c)-(a-d)＝b+c-a+d＝-a+b+c+d＝-(a-b)+(c+d)
当a-b＝-3，c+d＝2时，原式＝-(-3)+2＝5，所以选C．
题组B 能力提升练
9. 有理数a，b，c在数轴上的位置如右图所示，则 （ ）
A．－2b B．0
C．2c D．2c－2b
【答案】B
10．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…
按照上述规律，第2015个单项式是（　　）
　 A．2015x2015 B． 4029x2014 C． 4029x2015 D． 4031x2015
【答案】C
11．如果是关于的二次三项式，那么m，n应满足的条件是( )．
A．m＝1，n＝5 B．m≠1，n＞3
C．m≠-1，n为大于3的整数 D．m≠-1，n＝5
【答案】D
【解析】由题意得：n-3＝2且m+1≠0，得n＝5且m≠-1．
12．若的值为8，则的值是( )．
A．2 B．-17 C．-7 D．7
【答案】C
【解析】，，，故．
13．比x的15％大2的数是________．
【答案】15%x+2；
14．单项式﹣x2y5的次数是　　．
【答案】7.
15．是________次________项式，最高次项的系数是________．
【答案】三， 三 ， ；
【解析】多项式的次数取决于次数最高项的次数，确定系数时不要忽视前面的“-”号．
16．化简：2a-(2a-1)＝________．
【答案】1；
【解析】先根据去括号法则去括号，然后合并同类项即可，2a-(2a-1)＝2a-2a+1＝1．
17．如果，，那么________．
【答案】5；
【解析】用前式减去后式可得．
18．一个多项式减去3x等于，则这个多项式为________．
【答案】；
【解析】要求的多项式实际上是，化简可得出结果．
19．若与﹣3ab的和为单项式，则m+n=　 　．
【答案】 4；
【解析】解：∵与﹣3ab的和为单项式，
∴2m﹣5=1，n+1=3﹣n，
解得：m=3，n=1．
故m+n=4．
故答案为：4．
题组C 培优拔尖练
20．若﹣2amb4与5a2bn+7是同类项，则m+n=　 　．
【答案】﹣1．
【解析】由﹣2amb4与5a2bn+7是同类项，得，解得．m+n=﹣1.
21． （1）（___________）；
（2）2a－3（b－c）＝___________．
（3）(________)＝7x+8．
【答案】
22．当b＝________时，式子2a+ab-5的值与a无关．
【答案】-2
【解析】2a+ab-5＝(2+b)a-5．因为式子的值与a无关，故2+b＝0，所以b＝-2．
23．若，则________．
【答案】-24
【解析】因为与互为相反数，又因为，
所以，由此可得．
24.某服装店打折出售服装，第一天卖出a件，第二天比第一天多12件，第三天是第一天的2倍，则该服装店这三天共卖出服装________件.
【答案】4a+12；
【解析】．
25.当k=__________时，多项式x2－3kxy－3y2－xy－8中不含xy项.
【答案】－；
【解析】，解得．
26．若mn=m+3，则2mn+3m﹣5mn+10=　 　．
【答案】1；
【解析】解：原式=﹣3mn+3m+10，
把mn=m+3代入得：原式=﹣3m﹣9+3m+10=1，
故答案为：1.
27．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．
…




【答案】127, .
【解析】∵第1个图形需要7=1+6×1枚棋子，
第2个比第1个多12个，即1+6×（1+2）枚，
第3个比第2个多18个，即1+6×（1+2+3）枚，
第4个比第三个多24个，即1+6×（1+2+3+4）=61枚．
……, ∴第n个比第(n-1)个多6n个，即1+6×（1+2+3+4+…+n）=3n2+3n+1枚．
28．合并同类项
①3a﹣2b﹣5a+2b
②（2m+3n﹣5）﹣（2m﹣n﹣5）
③2（x2y+3xy2）﹣3（2xy2﹣4x2y）
【解析】
解：（1）原式=（3a﹣5a）+（﹣2b+2b）=﹣2a；
（2）原式=2m+3n﹣5﹣2m+n+5=（2m﹣2m）+（3n+n）+（﹣5+5）=4n；
（3）原式=2x2y+6xy2﹣6xy2+12x2y=（2x2y+12x2y）+（6xy2﹣6xy2）=14x2y．
29.已知：，，，当时，求代数式的值.
【解析】
解：∵ ∴
∴
当时，
.
30. 计算下式的值：


甲同学把错抄成，但他计算的结果也是正确的，你能说明其中的原因吗？
【解析】
解：


∵化简结果与无关
∴将抄错不影响最终结果．
31.先化简，再求值．
（a2+1）﹣3a（a﹣1）+2（a2+a﹣1），其中a=﹣1．
【解析】
解：原式= a2+1﹣3a2+3a+2a2+2a﹣2=5a﹣1，
当a=﹣1时，
原式=﹣5﹣1=﹣6．
32．已知：为有理数，，求的值．
【解析】
解：


33. 如图所示，用三种大小不同的六个正方形
和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD,
其中，GH=2cm, GK=2cm, 设BF=x cm,
（1）用含x的代数式表示CM= cm,
DM= cm.
（2）若x=2cm，求长方形ABCD的面积.


【解析】
解：（1） （或）.
（2）长方形的长为：cm, 宽为：cm. 所以长方形的面积为：.