第19讲 最基本的图形-点和线-七年级数学上册同步精品讲义（华师大版）

第19讲 最基本的图形点、线

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1．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示；
2. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验；
3. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题；
4. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力.
知识精讲


知识点01 要点一、线段、射线、直线的概念及表示方法
1.概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：
（1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线.
（2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线．
【微点拨】
（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．
（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.
（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.
（4）线段、射线、直线都没有粗细．
2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.



【微点拨】
（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线；
图4


端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．
图5


（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．
3.线段、射线、直线的区别与联系

线段
射线
直线
图示



表示方法
线段AB或线段a
射线OA或射线a
直线AB或直线a
端点
两个
一个
无
长度
可度量
不可度量
不可度量
延伸性
不向两方延伸　
向一方无限延伸
向两方无限延伸
【即学即练1】
1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．

【点拨】从图上看，A、D、F分别是线段CB、BC、BE的延长线上的点，也就是说，A、D、F三点的位置并不是完全确定的．此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了．
【解析】
解：直线有一条：直线AD；
射线有六条：射线BA、射线BD、射线CA、射线CD、射线BF、射线EF；
线段有三条：线段BC、线段BE、线段CE．
【总结】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒．然而，在叙述线段的延长线的时候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了射线(延长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点．
【即学即练2】
已知平面上四点A、B、C、D，如图：
（1）画直线AD；
（2）画射线BC，与AD相交于O；
（3）连结AC、BD相交于点F．

【点拨】（1）画直线AD，连接AD并向两方无限延长；（2）画射线BC，以B为端点向BC方向延长交AD于点O；（3）连接各点，其交点即为点F．
【解析】
解：如图所示：

【总结】本题主要考查直线、射线、线段的认识，掌握直线、射线、线段的特点是解题的关键．

知识点02 要点二、基本性质
1. 直线的性质：经过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
【微点拨】
（1）点和直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O在直线l上，也可以说成是直线l经过点O；
②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P在直线l外，也可以说直线l不经过点P.

（2）两条不同的直线相交只有一个交点.
2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图7所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．
图7


【微点拨】
（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点.
【即学即练3】
根据题意，完成下列填空．
如图所示，与是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线，那么这3条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有________个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数式表示)．

【答案】3， 6， 15， .
【解析】本题探索过程要分两步：首先要填好3条直线最多可有2+1＝3个交点，再类推4条直线，5条直线，6条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般性的结论．
【总结】n(n为大于1的整数)条直线的交点最多可有：个.
知识点03 要点三、比较线段的长短
1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．



法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
【微点拨】
几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.
2.线段的比较：
（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．
（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：

3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．

【微点拨】
若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
【即学即练4】
已知线段AB＝14cm，在直线AB上有一点C，且BC＝4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长．
【思路】题目中只说明了A、B、C三点在同一直线上，无法判定点C在线段AB上，还是在线段AB外(也就是在线段AB的延长线上)．所以要分两种情况求线段AM的长．
【解析】
解：①当点C在线段AB上时，如图所示．

因为M是线段AC的中点，
所以．
又因为AC＝AB-BC，AB＝14cm，BC＝4cm，
所以．
②当点C在线段AB的延长线上时，如图所示．

因为M是线段AC的中点，
所以．
又因为AC＝AB+BC，AB＝14cm，BC＝4cm，
所以9(cm)．
所以线段AM的长为5cm或9cm．
【总结】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论．
【即学即练5】
某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有30人，C区有10人，三个区在同一条直线上，如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（　　）

　 A．A区 B． B区 C． C区 D． A、B两区之间
【答案】B．
【解析】
解：①设在A区、B区之间时，设距离A区x米，
则所有员工步行路程之和=30x+30（100﹣x）+10（100+200﹣x），
=30x+3000﹣30x+3000﹣10x，
=﹣10x+6000，
∴当x最大为100时，即在B区时，路程之和最小，为5000米；
②设在B区、C区之间时，设距离B区x米，
则所有员工步行路程之和=30（100+x）+30x+10（200﹣x），
=3000+30x+30x+2000﹣10x，
=50x+5000，
∴当x最大为0时，即在B区时，路程之和最小，为5000米；
综上所述，停靠点的位置应设在B区．
【总结】本题是线段的概念在现实中的应用，根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可得解.
能力拓展


考法01
1.下列说法中，正确的是( ) .
A．射线OA与射线AO是同一条射线.
B．线段AB与线段BA是同一条线段.
C．过一点只能画一条直线.
D．三条直线两两相交，必有三个交点.
【答案】B
【解析】射线OA的端点是O，射线AO的端点是A，所以射线OA与射线AO不是同一条射线，故A错误；过一点能画无数条直线，所以C错误；三条直线两两相交，有三个交点或一个交点(三条直线相交于一点时)，所以D错误；线段AB与线段BA是同一条线段，所以B正确．
【总结】直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换．
2.两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这是为什么?画图说明.
【答案】
解：



∵过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.）
∴两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）；要么没有公共点，如图（2）；不能有两个公共点.
3．如图所示，线段a，b，且a＞b．

用圆规和直尺画线段：(1)a+b；(2)a-b．
【解析】
解：(1) 画法如图(1)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在AB的延长线上画线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b．
(2) 画法如图(2)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在线段AB上画线段BD＝b，线段AD就是a与b的差，记作AD＝a-b．

【总结】在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度．
考法02
4.如图所示，已知线段AB上有三个定点C、D、E．
(1)图中共有几条线段？
(2)如果在线段CD上增加一点，则增加了几条线段？你能从中发现什么规律吗？
【答案】
解：(1)线段的条数：4＋3＋2＋1＝10(条)；
(2)如果在线段CD上增加一点P，则P与其它五个点各组成一条线段，因此，增加了5条线段.
（注解：若在线段AB上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB上增加到n个点(即增加n－2个点)时，线段的总条数为1＋2＋……＋(n－1)＝n(n－1) .）
5.已知点B在直线AC上，线段AB=8cm，AC=18cm，P、Q分别是线段AB、AC的中点，则线段PQ=　 　．
【答案】13cm或5cm．
解：当点C在点A左侧时，AP=AC=9，AQ=AB=4，
∴PQ=AQ+AP=9+4=13cm．
当点C在点B右侧时，AP=AB=4cm，BC=AC﹣AB=10cm，AQ=，AC=9，PQ=AQ﹣AP=9﹣4=5cm．
故答案为：13cm或5cm．
．
6.如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（　　）

　 A．A→C→D→B B． A→C→F→B C． A→C→E→F→B D． A→C→M→B
【答案】B．
【解析】
根据两点之间的线段最短，
可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，
所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．
【总结】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．

分层提分


题组A 基础过关练
1．手电筒射出的光线，给我们的形象是( )．
A．直线 B．射线 C．线段 D．折线
【答案】B；
【解析】手电筒本身看作射线的端点，射出的光线看作向前方无限延伸.
2．下列各图中直线的表示法正确的是( )．



【答案】C；
【解析】要牢记直线、射线、线段的表示方法．
3．点P在线段EF上，现有四个等式①PE=PF;②PE=EF;③EF=PE;④2PE=EF;其中能表示点P是EF中点的有（ ）.
　A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A；
【解析】点P是线段AB的中点，表示方法不唯一.
4．如图中分别有直线、射线、线段，能相交的是( )．




【答案】B；
5．如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，那么只需条件（　　）

　 A．AB=12 B． BC=4 C． AM=5 D． CN=2
【答案】A.
【解析】根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，可知：，∴只要已知AB即可．
6．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）

A．垂线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线
D．两点之间，线段最短
【答案】D；
【解析】解：∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，

∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选D．
题组B 能力提升练
7．下列说法中正确的是( ) .
A．直线BA与直线AB是同一条直线. B．延长直线AB.
C．经过三点可作一条直线. D．直线AB的长为2cm.
【答案】A；
8．在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四点的位置关系是（ ）.
A．任意三点都不共线. B．有且仅有三点共线.
C．有两点在另外两点确定的直线外. D．以上答案都不对.
【答案】B；
9．A、B是平面上两点，AB＝10cm，P为平面上一点，若PA+PB＝20cm，则P点（ ）.
A．只能在直线AB外. B．只能在直线AB上.
C．不能在直线AB上. D．不能在线段AB上．
【答案】D；
【解析】若点P在线段AB上，则有PA+PB＝10．cm，故这种情况不可能．
10.根据语句“点M在直线a外，过M有一直线b交直线a于点N、直线b上另一点Q位于M、N之间”画图，正确的是( )．



【答案】D；
【解析】逐一排除．
11．如图，C、D是线段AB上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度是（　　）

　 A．8 B． 9 C． 8或9 D． 无法确定
【答案】C．
【解析】根据题意可得：AC+AD+AB+CD+CB+DB=29，
即（AC+CB）+（AD+DB）+（AB+CD）=29，
3AB+CD=29，
∵图中所有线段的长度都是正整数，
∴当CD=1时，AB不是整数，
当CD=2时，AB=9，
当CD=3时，AB不是整数，
当CD=4时，AB不是整数，
当CD=5时，AB=8，
…
当CD=8时，AB=7，
又∵AB＞CD，
∴AB只有为9或8．
12．已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，BC=2cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度为（　　）
A．5cm B．5cm或3cm C．7cm或3cm D．7cm
【答案】B；
【解析】解：如图1

由M是AB的中点，N是BC的中点，得
MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，
由线段的和差，得
MN=MB+BN=4+1=5cm；
如图2

由M是AB的中点，N是BC的中点，得
MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，
由线段的和差，得
MN=MB﹣BN=4﹣1=3cm；
故选：B．
13．如图所示，从A地到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中．从A地到B地有2条水路、2条陆路，从B地到C地有3条陆路可供选择，走空中从A地不到B地而直接到C地，则从A地到C地可供选择的方案有( )．

A．20种 B．8种 C．5种 D．13种
【答案】D；
【解析】从A地直接到C地只有1种方案；先从A到B，再到C地有4×3＝12种方案，所以共有12+1＝13种方案可供选择．
14．如图所示，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的道路构成了一个长为8米，宽为7米的长方形，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了( )．
A．55米 B．55.5米 C．56米 D．56.6米
【答案】C；
【解析】他走的路程分别为7.5米、6米、7米、5米、6米、4米、5米、3米、4米、2米、3米、1米、2.5米，其和为56米．
15.在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB=3cm，BC=5cm，若点D是线段AC的中点，则线段DB的长度等于　　cm．
【答案】1.
【解析】如图，由题意得，AC=AB+BC=8cm，又∵D是线段AC的中点，
∴CD=（AB+BC）=4cm，∴BD=BC﹣CD=1cm．故答案为：1．


16．如图所示，OD、OE是两条射线，A在射线OD上，B、C在射线OE上，则图有共有线段________条，分别是________；共有________条射线，分别是________．





【答案】6，线段OA、OB、OC、BC、AC、AB； 5，射线OD、OE、BE、AD、CE．
17.如图，AB=6，BC=4，D、E分别是AB、BC的中点，则BD+BE= ，
根据公理： ，可知BD+BE DE.
【答案】5，两点之间线段最短，>．
【解析】线段的基本性质．
18.经过平面上三点可以画 条直线.
【答案】1 或3．
【解析】三点在一条直线时，只能确定一条直线；当三点不共线线上，可确定三条直线．
19．同一平面内三条线直线两两相交，最少有 个交点，最多有 个交点.
【答案】1, 3．
【解析】如下图，三条直线两两相交有两种情况：

20.如图所示，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．则“17”在射线________上；“2007”在射线________上．
【答案】OE、OC ．
【解析】当数字为6n+1(n≥0)时在射线OA上；当数字为6n+2时在射线OB上；当数字为6n+3时在射线OC上；当数字为6n+4时在射线OD上；当数字为6n+5时在射线OE上；当数字为6n时在射线OF上．
题组C 培优拔尖练
21.如图所示一只蚂蚁在A处，想到C处的最短路线，请画出简图，并说明理由.
【解析】
解：如图所示一只蚂蚁在A处，想到C处的最短路线如图所示，
理由是：两点之间，线段最短.（圆柱的侧面展开图是长方形，是一个平面）




22．如图，已知AB=2cm，延长线段AB至点C，使BC=2AB，点D是线段AC的中点，用刻度尺画出图形，并求线段BD的长度．


【解析】
解：如图：
，
由BC=2AB，AB=2cm，得
BC=4cm，
由线段的和差，得
AC=AB+BC=2+4=6cm，
由点D是线段AC的中点，得
AD=AC=×6=3cm．
由线段的和差，得
BD=AD﹣AB=3﹣2=1cm．
23．如图，延长线段AB到C，使，D为AC的中点，DC＝2，求AB的长．


【解析】
解：设，则，所以有：
又∵D为线段AC的中点且
∴
解得：
所以AB的长为．
24．小明发现这样一个问题：“在一次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手?”通过思考，小明得出了答案， 那请问同学们：如果有n个人参加聚会，每两人都握一次手，一共要握多少次手呢?
【解析】
解：若6人，共握手：5+4+3+2+1=15（次）
若有个人，一共要握(n-1)+(n-2)+…+4+3+2+1次手．
25.如图，M是线段AB的中点，点C在线段AB上，且AC=8cm，N是AC的中点，MN=6cm，求线段AB的长．

【解析】
解：由AC=8cm，N是AC的中点，得
AN=AC=4cm．
由线段的和差，得
AM=AN+MN=4+6=10cm．
由M是线段AB的中点，得
AB=2AM=20cm，
线段AB的长是20cm．
26．已知：如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．

(1)若线段AC＝6，BC＝4，求线段MN的长度；
(2)若AB＝a，求线段MN的长度；
(3)若将(1)小题中“点C在线段AB上”改为“点C在直线AB上”，(1)小题的结果会有变化吗?求出MN的长度．
【解析】
解：(1)∵ AC＝6，BC＝4，∴ AB＝6+4＝10
又∵ 点M是AC的中点，点N是BC的中点，
∴ MC＝AM＝AC，CN＝BN＝BC，
∴ MN＝MC+CN＝AC+BC＝(AC+BC)＝AB＝5(cm)．
(2)由(1)中已知AB＝10cm求出MN＝5cm，分析(1)的推算过程可知MN＝AB，
故当AB＝a时，MN＝，
从而得到规律：线段上任一点把线段分成的两部分的中点间的距离等于原线段长度的一半．
（3）分类讨论：
当点C在点B的右侧时，如图可得：

；
当点C在线段AB上时，如（1）；
当点C在点A的左侧时，不满足题意.
综上可得：点C在直线AB上时，MN的长为1或5.