第20讲 角-七年级数学上册同步精品讲义（华师大版）

第20讲 角

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1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；
3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；
4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.
知识精讲


知识点01角的概念
1． 角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
图2
图1


（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
【微点拨】
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．

2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：

【微点拨】
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
【即学即练1】
下列语句正确的是 ( )
A．两条直线相交，组成的图形叫做角．
B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．
C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．
D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．
【即学即练2】
利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．



知识点02 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
【微点拨】
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
【即学即练3】
计算下列各题：
(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；
(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．





【即学即练3】
(1)把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．








知识点03 角的比较与运算
1.角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．

2.角的和、差运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．

【微点拨】
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
3.角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．

【微点拨】
由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
【即学即练5】
如图所示表示两块三角板．

(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；
(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．





【即学即练6】
不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)










知识点04方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．

【微点拨】
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【即学即练7】
（浦东新区三模）已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O的北偏东50°方向，那么∠AOB的度数等于　 　．
【即学即练8】
在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线?







能力拓展


考法01
1.下列说法中，正确的是（　　）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
2.下图中，能用∠ABC，∠B，∠1三种方法表示同一个角的图形是（　　）
A． B．
C． D．
3.计算：
(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；
(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．




4.计算 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；
(2)把33°24′36″转化成度表示的形式．



考法02
5.如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.


6.已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．

7.已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80°，求：∠MON.













8.某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间?





分层提分


题组A 基础过关练
1．下面四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是( ) ．


2．下列说法中，错误的是 ( ) ．
A．借助三角尺，我们可以画135°的角．
B．把一个角的两边都延长后，所得到的角比原来的角要大．
C．有公共顶点的两条边组成的图形叫做角．
D．两个锐角之和是锐角、直角或钝角．
3．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ) ．

4．如图，点A位于点O的（ ）方向上．
A．南偏东35° B. 北偏西65° C．南偏东65° D. 南偏西65°

A
650
O



5．钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是 ( ) .
A ． 77.5 ° B． 77 °5′ C ． 75° D ．以上答案都不对
6．如图，∠AOB是直角，∠COD也是直角，若∠AOC＝，则∠BOD等于 （ 　）．
A．90°＋　　　B．90°－　　
C．180°＋ 　D．180°－

7. 如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46′，OD平分
∠COE，则∠COB的度数为（ ）．
A. 68°46′ B.82°32′ C. 82°28′ D.82°46′
O
A
D
B
E
C



题组B 能力提升练
8．关于平角、周角的说法正确的是( )．
A．平角是一条直线. B．周角是一条射线．
C．反向延长射线OA，就成一个平角． D．两个锐角的和不一定小于平角．
2.在时刻8：30时，时钟上的时针与分针之间的所成的夹角是（　　）
A．60° B．70° C．75° D．85°
9．如图所示，将一幅三角板叠在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC的值（ ）．
A．小于180° B．等于180° C．大于180° D．不能确定


10．下面等式成立的是（　　）
A．83.5°=83°50′ B．37°12′36″=37.48°
C．24°24′24″=24.44° D．41.25°=41°15′
11. 如图，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC＝β，则表示∠AOD的式子是（ ）．
A．2α－β B．α－β C．α＋β D．以上都不正确

12．如图，O为我国南海某人造海岛，某国商船在A的位置，∠1=40°，下列说法正确的是（　　）

A．商船在海岛的北偏西50°方向 B．海岛在商船的北偏西40°方向
C．海岛在商船的东偏南50°方向 D．商船在海岛的东偏南40°方向
13．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用点A、B、C来表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学校的南偏东15°，则平面图上的∠ABC应该是 ．
14．把一个平角16等分，则每份(用度、分、秒表示)为__________．
15．如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB:∠AOD＝2:11，则∠AOB＝_______．

16.从A沿北偏东60°的方向行驶到B，再从B沿南偏西20°的方向行驶到C，则∠ABC=　 　度．
17．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线 AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于 ．

18．如图，在的内部从引出3条射线，那么图中共有__________个角；如果引出5条射线，有 __ 个角；如果引出条射线，有 _ 个角．




题组C 培优拔尖练
19.如图，A点在B处的北偏东40°方向，C点在B处的北偏东85°方向，A点在C处的西北方向，求∠ABC及∠BCA的度数．

20．如图，在A、B两处之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东46°，A、B两地同时开工，若干天后公路准确接通．
（1）B地修公路的走向是南偏西多少度？
（2）若公路AB长12千米，另一条公路BC长6千米，且BC的走向是北偏西44°，试求A到公路BC的距离？





21. 如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC．OF为OE的反向延长线．求∠2和∠3的度数，并说明OF是否为∠AOD的平分线．



22. 如图，点O为直线AB上一点，过点O作直线OC，已知∠AOC≠90°，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE．求：
（1）当0°＜∠AOC＜90°时，求∠FOB+∠DOC的度数；
（2）若∠DOC=3∠COF，求∠AOC的度数．


23．如图所示，五条射线OA、OB、OC、OD、OE组成的图形中共有几个角?如果从O点引出n条射线，能有多少个角?你能找出规律吗?






24.如图，∠AOB=90°，∠AOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．





25. 如图，已知∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）求∠EOF的度数；
O
B
C
E
A
F
（2）若∠AOC=x°，∠EOF=y°．则请用x的代数式来表示y；
（3）如果∠AOC+∠EOF=156°，则∠EOF是多少度？














26．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放(∠MON＝90°) ．
(1)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC?请说明理由；
(2)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系? 请说明理由．