云南省大理白族自治州2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题

这是一份云南省大理白族自治州2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
云南省大理白族自治州2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设集合，，若，则的范围是（    ）
A． B． C． D．
2．下列哪个量刻画了数据的离散程度（    ）
A．众数 B．平均数 C．方差 D．中位数
3．若为奇函数，则（    ）
A．1或 B．1 C．0 D．
4．若复数满足，则关于复数的说法正确的是（    ）
A．复数的实部为 B．复数的虚部为
C．复数的模长为 D．复数对应的复平面上的点在第一象限
5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有85%的学生喜欢足球或游泳，70%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ）
A．15% B．63% C．67% D．70%
6．某校高一年级900名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，则该校高一年级学生数学成绩的平均值为（    ）
  
A．121.2 B．120.4 C．119 D．115
7．将函数向右平移（）个单位长度后得到一个关于对称的函数，则实数的最小值为（    ）
A． B． C． D．
8．如图，已知正方形的边长为2，，分别是，的中点，平面，且，则与平面所成角的正弦值为（    ）
    
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
10．若，，则（    ）
A． B． C． D．
11．下列说法错误的是（    ）
A．若角，则角为第二象限角
B．将表的分针拨快15分钟，则分针转过的角度是
C．若角为第一象限角，则角也是第一象限角
D．在区间内，函数与的图象有1个交点
12．下列选项中，正确的有（    ）
A． B．
C． D．

三、填空题
13．已知，则 .
14．某校为了解高一年级学生的每周平均运动时间（单位：小时），采用样本量比例分配的分层随机抽样调查，所得样本数据如下：
性别
抽样人数
样本平均数
男
20
12
女
30
10
则总样本平均数是 ．
15．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，平面，,则其外接球的半径为 ．
16．在中，为其外心，，若，则 ．

四、解答题
17．如图，角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若点的坐标为（其中）．
  
(1)求的值；
(2)若将绕原点按逆时针方向旋转45°，得到角，求的值．
18．如图，多面体中，四边形为矩形，，．求证：
  
(1)平面平面；
(2)平面平面．
19．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有3个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．求：
(1)这名学生在上学途中只遇到1次红灯的概率；
(2)这名学生在上学途中至少遇到了2个红灯的概率．
20．已知锐角的内角,,所对的边分别为,,,且，.若.
(1)求；
(2)若点满足，求的长．
21．如图，长方体中，，，，点是棱上一点．
  
(1)当点在上移动时，三棱锥的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积；
(2)当点移动到中点时，求直线与成角的余弦值．
22．已知函数（为正常数），且．
(1)求的解析式；
(2)若函数的值域为，求实数的取值范围．

参考答案：
1．B
【分析】结合数轴分析即可.
【详解】
由数轴可得，若，则.
故选：B.
2．C
【分析】根据方差的定义判断即可.
【详解】方差（标准差）刻画了一组数据的离散程度.
故选：C
3．D
【分析】根据奇偶性定义得出参数值.
【详解】为奇函数，，

.
故选：D
4．A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念、几何意义及模的计算公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以复数的实部为，虚部为，故A正确，B错误；
，故C错误；
复数对应的复平面上的点为，位于第四象限，故D错误；
故选：A
5．C
【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可．
【详解】由题意可得如下所示韦恩图：

所求比例为：，
故选：C
6．B
【分析】根据平均数的计算公式即可求解.
【详解】由频率分布直方图可得平均数为,
故选：B
7．A
【分析】利用两角和的正弦公式化简，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，根据正弦函数的对称性求出的取值，即可得解.
【详解】因为，
将函数向右平移个单位长度得到函数，
由函数关于对称，
所以，所以，
又，．
故选：A.
8．D
【分析】连接、，且、分别交于、，证明平面，再利用面面垂直的判定得平面平面，再作出，利用面面垂直的性质有平面，最后根据线面角的定义计算相关长度即可.
【详解】如图，连接、，且、分别交于、.
因为四边形是正方形，、分别为和的中点，
故为的中点，因为平面，平面，
所以平面，所以到平面的距离就是点到平面的距离.
，即，平面，
平面，，平面，
平面平面平面平面，
作交于点，因为平面，平面平面，
平面，所以线段的长就是点到平面的距离.
正方形的边长为.
平面，平面，所以，
在中，，根据，
有，得，
因为，平面，所以的长即为点到平面的距离，
，即与平面成角的正弦值为.
故选：D.
    
9．BD
【分析】利用线性运算的坐标表示，求出的坐标，再逐项分析判断作答.
【详解】因为向量，，则，，
因此，A错误，B正确；
由，知C错误；，D正确.
故选：BD
10．AC
【分析】根据对立事件的概率公式判断A，由于无法确定、是否相互独立及，即可判断B、C、D.
【详解】因为，，所以，故A正确；
由于无法确定、是否相互独立，故无法确定的值，但是，故B错误；
又，故C正确，D错误；
故选：AC
11．ABC
【分析】根据象限角的概念判断A，根据任意角的定义判断B，利用特例判断C，根据正弦、正切函数的性质判断D.
【详解】对于A：因为，所以角为第一象限角，故A错误；
对于B: 将表的分针拨快15分钟，则分针转过的角度是，故B错误；
对于C：若为第一象限角，则位于第三象限，故C错误；
对于D：在内，令，即，显然，
所以，则，，即无解，
又与均为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以在内，方程也无解，
又，所以在区间内，函数与的图象有1个交点，故D正确；
故选：ABC
12．ABD
【分析】根据对数函数的性质判断A，根据对数的运算性质判断B，利用基本不等式及对数的运算性质判断C，根据对数的运算性质得到，再令，根据对勾函数的性质判断D.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：由于，，
所以，则，故B正确；
对于C：因为，又，
所以，故C错误；
对于D：，
令，由对勾函数的性质可知在上单调递减，
因为，所以，
即，即，故D正确；
故选：ABD
13．
【分析】直接利用二倍角的余弦公式求得cos2a的值．
【详解】∵.
故答案为：．
14．10.8
【分析】根据给定条件，利用平均数公式计算作答.
【详解】依题意，总样本平均数是.
故答案为：10.8
15．
【分析】根据平面，底面为等边三角形，可知球心的位置，利用勾股定理即可求解.
【详解】设H为底面正的中心，取中点，过点H作,且，连接,
由于平面，所以平面,故,
由于,所以四边形为正方形，
故，因此,
因此为外接球的球心，
如图，设外接球的半径为R，由题可知，
则,
故答案为：
  
16．/
【分析】根据向量的模长公式，结合外心的性质即可求解.
【详解】由可得，平方可得,
由于为外心，所以，
所以,
故答案为：
17．(1)；
(2).

【分析】（1）由三角函数定义求得，再由平方关系求得作答.
（2）根据给定条件得，利用两角和的正切公式求解作答．
【详解】（1）依题意，由三角函数定义得，且为第二象限的角，则，
所以.
（2）由（1）知，，而，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）首先由矩形的性质得到，从而证明平面，再证平面即可；
（2）依题意可得，即可得到平面，从而得证.
【详解】（1）因为四边形为矩形，所以，平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面.
（2）因为四边形为矩形，所以，又，
，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
19．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，由相互独立事件的概率计算公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，这名学生在上学途中至少遇到了2个红灯包括两种情况，分别计算其概率，然后相加，即可得到结果.
【详解】（1）设事件为这名学生在上学途中只遇到1次红灯，
则，
故这名学生在上学途中只遇到1次红灯的概率为.
（2）设事件为这名学生在上学途中至少遇到了2个红灯，
则这名学生在上学途中只遇到了2个红灯的概率为，
这名学生在上学途中遇到了3个红灯的概率为
，所以.
故这名学生在上学途中至少遇到了2个红灯的概率为.
20．(1)；
(2).

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用二倍角正弦化简作答.
（2）由（1）的结论，结合余弦定理求出c，再利用数量积的运算律求解作答.
【详解】（1）在锐角中，由及正弦定理，得，
而，即，则，
所以.
（2）由（1）及余弦定理，得，即，
而，解得，又，
所以
.
21．(1)体积不变，
(2)

【分析】（1）根据计算可得；
（2）设，取的中点，连接、，即可得到，从而得到直线与成角即为（或其补角），再由余弦定理计算可得.
【详解】（1）三棱锥的体积不变，
，．
．
（2）当点移动到中点时，设，取的中点，连接、，
显然为的中点，所以，
所以直线与成角即为（或其补角），
因为，，，
所以，
所以直线与成角的余弦值为.
  
22．(1)；
(2).

【分析】（1）利用给定的函数值，求出参数作答.
（2）由（1）求出函数在上的取值集合，再利用二次函数性质分段讨论在上取值集合作答.
【详解】（1）依题意，，由于函数在上单调递增，而，因此，
所以的解析式是.
（2）由（1）知，函数，
当时，函数单调递增，，而的值域为，
则当时，时，，函数在上的取值集合为，又恒成立，
此时函数的值域为，因此，
当时，函数在上单调递增，取值集合为，
当且仅当，即时，函数的值域为，因此，
所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及分段函数值域问题，先求出每一段在各自对应区间上的函数值集合，再求出这些集合的并集即可.