2022-2023学年河北省张家口市宣化区八年级（下）期中数学试卷（人教版）（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省张家口市宣化区八年级（下）期中数学试卷（人教版）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省张家口市宣化区八年级（下）期中数学试卷（人教版）
一、选择题（本大题共12小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式是最简二次根式的(    )
A. − 3 B. 12 C. 0.5 D. 8
2. 若 2x+3x−1有意义，则(    )
A. x≤−32 B. x≥−32且x≠1 C. x≤−23 D. x≤−32且x≠0
3. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是2、3、3、6，则最大正方形E的面积是(    )
A. 14
B. 34
C. 58
D. 72
4. 如图，以表示2的点为圆心，以边长为1的正方形的对角线长为半径画弧与数轴交于点A，则点A表示的数为(    )

A. 2 B. 2−1 C. 2−2 D. 2− 2
5. 若△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(    )
A. (c+b)(c−b)=a2 B. ∠A+∠B=∠C
C. a=32，b=42，c=52 D. a：b：c=5：12：13
6. 图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=2，且∠AOB=30°，则OC的长度为(    )

A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5
7. 将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是(    )


A. h≤17cm B. h≥8cm
C. 15cm≤h≤16cm D. 7cm≤h≤16cm
8. 如图，在▱ABCD中，∠ABC平分线交AD与点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=5，AD=7，则EF的长(    )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. 如图，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD=16，AB=8，则DE的长为(    )
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
10. 如图，圆柱底面半径为4πcm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为(    )
A. 21cm
B. 24cm
C. 30cm
D. 32cm
11. 如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD=2cm2，S△BQC=8cm2，则阴影部分的面积为cm2(    )

A. 24 B. 17 C. 18 D. 10
12. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，连接BE并延长交AC于点F.已知AD=BD=12，ED=DC=5.下列结论中：
①BE=13
②BF=20413
③BE平分∠ABC
④BF⊥AC
⑤F是AC中点
其中正确结论的个数为(    )


A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 已知y=2 2x−1+3 1−2x−3，则xy= ______ ．
14. 河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______ 米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！


15. 实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则化简|a|− b2+ (a+b)2结果为______ ．
16. 如图，在△ABC中，AB=10cm，动点P在AB边上从点A开始向终点B运动，则线段CP的中点Q从开始到停止所经过的路线长为______ cm．


17. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB= ______ cm．


18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD=13AB，则PA+PD的最小值为        ．


三、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
计算：
(1) 48+ 3− 12× 12+ 24÷ 2；
(2)(3 2+2 3)(3 2−2 3)−( 5− 3)2．
20. (本小题8.0分)
如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB，且∠BHE=90°，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断(A−C−D)倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面(AB=AC+CD).已知山坡的坡角∠AEF=30°，量得树干倾斜角∠BAC=45°，大树被折断部分CD和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4米．
(1)求∠CAD的度数；
(2)求这棵大树折断前AB的高度.(结果保留根号)


21. (本小题8.0分)
阅读下列解题过程：1 5+ 4=1×( 5− 4)( 5+ 4)( 5− 4)= 5− 4( 5)2−( 4)2= 5− 4，1 6+ 5=1×( 6− 5)( 6+ 5)( 6− 5)= 6− 5( 6)2−( 5)2= 6− 5．
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出1 2023+ 2022= ______ ；
(2)请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律______ ；
(3)利用上面的解法，请化简：11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+⋯⋯+1 98+ 99+1 99+ 100
22. (本小题8.0分)
如图1，在△ABC中，AC=BC=4，∠B=30°．
(1)求△ABC的面积．
(2)若P是边AB上的一点(不与点A，B重合)，过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，得到图2，移动点P的位置，PD+PE的值会变化吗？若不变，求出PD+PE的值；若变化，请说明理由．


23. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF//BD交BE的延长线于F，连接DF交AC于点G，连接CF．
(1)求证：四边形DBCF是平行四边形；
(2)若∠A=30°，BC=4，CF=6，求四边形DBCF的面积．

24. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O，M、N分别为OB、OC的中点．
(1)求证：MD和NE互相平分；
(2)若BD⊥AC，OC2=32，OD+CD=7，求△OCB的面积．

25. (本小题8.0分)
在△AED中，EA=ED，∠AED=α，点F为直线AD上一动点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转α，得到线段EG，连接DG．
(1)如图1，探究线段AF、DG之间的数量关系；
(2)如图2，当α=90°时，其它条件不变，试判断线段DF、AF、GF的数量关系，并证明．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A选项：− 3，是最简二次根式，故该选项符合题意；
B选项： 12= 22，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C选项： 0.5= 12= 22，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D选项： 8=2 2，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
故选：A．
当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键．

2.【答案】B 
【解析】解：由题意可得2x+3≥0x−1≠0，
解得：x≥−32且x≠1，
故选：B．
根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)，分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．

3.【答案】C 
【解析】解：由勾股定理得，正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+62=45，

同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13，
∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=58，
故选：C．
根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

4.【答案】D 
【解析】解：由勾股定理得：
正方形的对角线为 2，
设点A表示的数为x，
则2−x= 2，
解得x=2− 2．
故选：D．
由于数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数，所以根据数轴上两点间距离的公式便可解答．
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题时求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数即可．

5.【答案】C 
【解析】解：由(c+b)(c−b)=a2整理得：a2+b2=c2，故选项A不符合题意；
由∠A+∠B=∠C，可知∠C=90°，故选项B不符合题意；
a=32，b=42，c=52，则a2+b2≠c2，故选项C符合题意；
当a：b：c=5：12：13时，则a2+b2=c2，故选项D不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理可以判断选项A、C、D是否符合题意，根据三角形内角和，可以判断选项B是否符合题意，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：在Rt△ABO中，∠AOB=30°，
∴OB=2AB=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，
OC= OB2+BC2= 42+22=2 5，
故选：D．
先根据含30°角的直角三角形的性质得出OB的长，再根据勾股定理求出OC的长即可．
本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解答】
解：如图，
当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h=24−8=16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，
∴AB= AD2+BD2=17，
∴此时h=24−17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．  
8.【答案】C 
【解析】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠DFC=∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC，
同理可证：AE=AB，
∵AB=5，AD=BC=7，
∴2AB−BC=AE+FD−BC=EF=3．
故选：C．
根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD−BC=2AB−BC，继而可得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．

9.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD//BC，CD=AB=8，
∴∠ADB=∠CBD．
由折叠的性质可知∠C′BD=∠CBD，C′D=CD=AB=8，
∴∠ADB=∠C′BD，
∴BE=DE．
设BE=DE=x，则AE=AD−DE=16−x，
在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，
∴(16−x)2+82=x2，
解得：x=10，
∴DE=10．
故选：B．
由四边形ABCD为长方形可知AD//BC，CD=AB=8，从而得出∠ADB=∠CBD，结合折叠的性质得出∠ADB=∠C′BD，进而得出BE=DE.设BE=DE=x，则AE=16−x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值，即得出答案．
本题主要考查折叠的性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．

10.【答案】C 
【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是AD→DE→EB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的最短路线：AD+DE+EB；
∵圆柱体地面半径为4πcm，
∴AC=2π×4π=8(cm)，
∵圆柱体的高h=18cm，
∴CD=13h=6cm，
∴在Rt△ACD中，AD= AC2+CD2= 62+82=10(cm)，
∵AD=DE=EB，
∴AD+DE+EB=3AD=30cm．
故选：C．

要求圆柱体中两点之间的最短路径，常用“化曲面为平面”的思想，将圆柱体的侧面展开，利用勾股定理计算斜边长度．
本题主要考查勾股定理在计算最短路径中的应用，要求学生具有一定空间想象能力，利用化曲面为平面的思想，准确画出侧面展开图并结合勾股定理进行计算是本题的解题关键．

11.【答案】C 
【解析】解：连接EF，

∵F是▱ABCD的边CD上的点，
∴BE//CF，
∴∠EBF=∠CFB，∠BEC=∠FCE，
∵BQ=FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ=CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=16cm2，
∵S△AED=S△AEF，
∴S△APD=S△EPF=2cm2，
∴S阴影=S△EPF+S△EBF=18cm2，
故选：C．
连接EF，证明四边形EBCF是平行四边形，求出S△BEF=16cm2，再得出S△APD=S△EPF=2cm2即可求出阴影部分的面积．
本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算是解题的关键．

12.【答案】B 
【解析】解：∵AD⊥BC，AD=BD=12，ED=DC=5，
∴BE= AD2+DE2= 122+52=13，
故①正确；
∵AD=BD∠ADC=∠BDEDC=DE，
∴△ADC≌△∠BDE(SAS)，
∴∠DAC=∠DBE，AC=BE，
∵∠BED+∠DBE=∠DBE+∠AEF=90°，
∴∠DAC+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，
∴BF⊥AC，
故④正确；
∵12BC⋅AD=12BF⋅AC，
∴17×12=BF×13，
解得BF=20413，
故②正确；
若F是AC中点，且BF⊥AC，
故直线BF是线段AC的垂直平分线，
故BC=BA，
而BC=12,BA= 72+72=7 2，
故BC≠BA，矛盾，
故F是AC中点不成立，
故⑤错误；
若BE平分∠ABC，且BF⊥AC，
∠ABF=∠CBFBF=BF∠AFB=∠CFB=90°，
故△ABF≌△∠CBF(ASA)，
故BC=BA，
而BC=12,BA= 72+72=7 2，
故BC≠BA，矛盾，
故③错误；
故选：B．
利用勾股定理，三角形全等的判定和性质，余角的性质，根据三角形的面积计算判断即可．
本题考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，余角的性质，根据三角形的面积，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．

13.【答案】8 
【解析】解：由题意得：
2x−1≥0且1−2x≥0，
解得：x≥12且x≤12，
∴x=12，
∴y=−3，
∴xy=(12)−3=8，
故答案为：8．
根据二次根式 a(a≥0)可得2x−1≥0且1−2x≥0，从而可得x=12，进而可得y=−3，然后代入式子中，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 a(a≥0)是解题的关键．

14.【答案】6 
【解析】解：在Rt△ABC中，AC=7m，BC=24m，
∴AB= AC2+BC2= 72+242=25(m)，
则AC+BC−AB=7+24−25=6(m)，
故答案为：6．
在Rt△ABC中，直接利用勾股定理得出AB的长，再利用AC+BC−AB进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．

15.【答案】−2a−2b 
【解析】解：由数轴可得：a0，|a|>|b|，
∴a+b|b|，进而得出a+b