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2022-2023学年山西省临汾市侯马市七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山西省临汾市侯马市七年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省临汾市侯马市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若x=1是方程ax+3x=1的解，则a的值是( )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
3. 若关于x的方程x+k=2x−1的解是负数，则k的取值范围是( )
A. k>−1 B. k<−1 C. k≥−1 D. k≤−1
4. 小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是( )
A. 20 B. 22 C. 23 D. 25
5. 下列正多边形中，与正八边形组合能够铺满地面的是( )
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
6. 如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了( )
A. 100m B. 90m C. 54m D. 60m
7. 把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG按照如图所示的方式叠合在一起，则∠EAG的度数是( )
A. 18°
B. 20°
C. 28°
D. 30°
8. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为( )
A. 60°
B. 85°
C. 75°
D. 90°
9. 轮船在河流中来往航行于A、B两码头之间，顺流航行全程需7小时，逆流航行全程需9小时，已知水流速度为每小时3km，求A、B两码头间的距离．若设A、B两码头间距离为x，则所列方程为( )
A. x7+3=x9−3 B. x7−3=x9+3 C. x7+3=x9 D. x7−3=x9
10. 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外面时，此时测得∠1=112°，∠A=40°，则∠2的度数为( )
A. 32°
B. 33°
C. 34°
D. 38°
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 三角形的三条边长分别为3、5、x，则x的取值范围是______．
12. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4cm，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若DE=6cm，EC=1cm，则四边形ABFD的周长为______cm．
13. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为______
14. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°能与△ADE重合点D在线段BC的延长线上，若∠BAC=20°，则∠AED的大小为______．
15. 如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推.若OA1=1，则a2023= ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共13.0分）
16. 为了更好治理流溪河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
A型
B型
价格(万元/台)
a
b
处理污水量(吨/月)
240
200
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
(1)求a，b的值．
(2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案．
(3)在(2)问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
四、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)解方程组：x+32+y+53=7x−43+2y−35=2；
(2)解不等式组：x−3(x−2)<4x−1≤1+2x3，并把解集表示在下面的数轴上．
18. (本小题8.0分)
如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．(不写做法)
(1)画出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(3)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的图形△A3B3C3；
(4)画出△ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移7个单位长度得到的△A4B4C4．
19. (本小题7.0分)
甲、乙两人共同解方程组ax+5y=15①4x−by=−2②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4，试计算a2023+(−0.1b)2024的值．
20. (本小题9.0分)
如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖.从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．
①第3中分别含有______ 块正方形和______ 块正三角形地板砖．
②第n层中含有______ 块正三角形地板砖(用含n的代数式表示)．
【应用】该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由．
21. (本小题8.0分)
已知关于x的不等式组5x+2>3(x−1)12x≤8−32x+2a有三个整数解，求实数a的取值范围．
22. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
23. (本小题12.0分)
问题情景如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上(P点在△ABC内)，使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．
试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：若∠A=50°，
则∠ABC+∠ACB=______度，
∠PBC+∠PCB=______度，
∠ABP+∠ACP=______度；
(2)类比探索：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系．
(3)类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，(2)中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2.【答案】A
【解析】解：将x=1代入原方程得：a+3×1=1，
解得：a=−2，
∴a的值为−2．
故选：A．
将x=1代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：x+k=2x−1，
整理得：x=k+1，
∵关于x的方程x+k=2x−1的解是负数，
∴k+1<0，
解得：k<−1．
故选：B．
求出方程的解(把k看作已知数)，得出不等式k+1<0，求出即可．
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次不等式，得出关于k的一元一次不等式的解是本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：设投中外环得x分，投中内环得y分，
依题意得：3x+2y=192x+3y=21，
解得：x=3y=5，
∴x+4y=23．
故选：C．
设投中外环得x分，投中内环得y分，根据小虎得19分和明明得21分，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入(x+4y)中即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵正八边形的每个内角的度数是(8−2)×180°8=135°，正三角形的每个内角的度数是60°，正方形的每个内角的度数是90°，正，五边形的每个内角的度数是(5−2)×180°5=108°，正六边形的每个内角的度数是(6−2)×180°6=120°，
∴与正八边形组合能够铺满地面的是正方形(两个正八边形和一个正方形，
故选：B．
先求出每个多边形的内角的度数，再逐个判断即可．
本题考查了正多边形的内角和外角，平面镶嵌等知识点，能理解平面镶嵌的定义是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，
由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，
360°÷20°=18，
所以它是一个正18边形，
因此所走的路程为18×3=54(m)，
故选：C．
根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可．
本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理以及正多边形的判定是解决问题的前提．
7.【答案】A
【解析】解：正五边形的一个内角的度数是15×(5−2)×180°=108°，
正方形的一个内角是90°，
则∠EAG=108°−90°=18°．
故选：A．
∠EAG的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解．
本题考查了多边形的内角和定理，求得正五边形的内角的度数是关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角；先根据旋转的性质得∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，再根据垂直的定义得∠AFC=90°，则利用互余计算出∠CAF=90°−∠C=20°，所以∠DAE=∠CAF+∠EAC=85°，于是得到∠BAC=85°．
【解答】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=90°−∠C=90°−70°=20°，
∴∠DAE=∠CAF+∠EAC=20°+65°=85°，
∴∠BAC=∠DAE=85°．
故选B．
9.【答案】B
【解析】解：设A、B两码头间距离为x，可得：x7−3=x9+3，
故选：B．
首先理解题意找出题中存在的等量关系，再列出方程即可．
此题考查一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，注对于此类题目要意审题．
10.【答案】A
【解析】解：如图，设A′D与AD交于点O，
∵∠A=40°，
∴∠A′=∠A=40°，
∵∠1=∠DOA+∠A，∠1=112°，
∴∠DOA=∠1−∠A=112°−40°=72°，
∵∠DOA=∠2+∠A′，
∴∠2=∠DOA−∠A′=72°−40°=32°．
故选：A．
根据折叠性质得出∠A′=∠A=40°，根据三角形外角性质得出∠DOA=∠1−∠A=72°，∠2=∠DOA−∠A′=72°−40°=32°．
本题考查了三角形内角和定理，熟记掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
11.【答案】2
∴第三边长x的取值范围是：5−3
此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．
12.【答案】22
【解析】解：根据题意，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴AD=CF=BE，BF=BC+CF，DE=AB=AC=DF=6cm；
又∵BC=4cm，EC=1cm，
∴BE=BC−EC=3cm，
∴AD=CF=BE=3cm，BF=BC+CF=7cm，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=3+6+7+6=22cm．
故答案为22．
根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=3+6+7+6，即可得出答案．
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到DE=AB=AC=DF=6cm，AD=CF=BE=3cm，BF=BC+CF=7cm是解题的关键．
13.【答案】360°
【解析】解：如图，
∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
故答案为：360°．
根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．
14.【答案】115°
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°能与△ADE重合，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠AED=∠ACB，
∴∠ADC=∠ABD=45°，
∴∠ACB=180°−∠ABC−∠BAC=115°，
∴∠AED=115°，
故答案为：115°．
由旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，∠AED=∠ACB，由三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
15.【答案】22022
【解析】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠2=∠3=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=60°−30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠OB1A2=60°+30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3是等边三角形，
同理可得：
OA2=B2A2=2，
∴a2=2a1=2，
同理：a3=4a1=4=1×22，
a4=8a1=8=1×23，
a5=16a1=16=1×24，
…，
以此类推：
所以a2023=1×22022=22022．
故答案是：22022．
根据等腰三角形的性质以及平行线的判定定理得出A1B1//A2B2//A3B3，以及a2=2a1，得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…进而得出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．
16.【答案】解：(1)根据题意得：a−b=23b−2a=6，
∴a=12b=10；
答：a，b的值分别为12，10．
(2)设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备(10−x)台，
则：12x+10(10−x)≤105，
∴x≤2.5，
∵x取非负整数，
∴x=0，1，2，
∴有三种购买方案：
①A型设备0台，B型设备10台；
②A型设备1台，B型设备9台；
③A型设备2台，B型设备8台．
(3)由题意：240x+200(10−x)≥2040，
∴x≥1，
又∵x≤2.5，x取非负整数，
∴x为1，2.
当x=1时，购买资金为：12×1+10×9=102(万元)，
当x=2时，购买资金为：12×2+10×8=104(万元)，
∵102<104，
∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台．
【解析】(1)根据“购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”即可列出方程组，继而进行求解；
(2)可设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备(10−x)台，则有12x+10(10−x)≤105，解之确定x的值，即可确定方案；
(3)因为每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，所以有240x+200(10−x)≥2040，解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择．
本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用．
17.【答案】解：(1)原方程组整理得3x+2y=23①5x+6y=59②，
由①×3−②，得4x=10，
解得x=52，
将x=52代入①，得152+2y=23，
解得y=314．
故原方程组的解集是：x=52y=314．
(2)x−3(x−2)<4①x−1≤1+2x3②，
由①得：x>1，
由②得：x≤4，
在数轴上表示如下：
所以，这个不等式组的解集为：1
(2)先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题考查了解二元一次方程，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2即为所求；
(3)如图所示：△A3BC3即为所求．
(4)如图所示：△A4B4C4即为所求．
【解析】(1)利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用中心对称图形的性质得出答案；
(3)利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
(4)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了旋转变换以及平移变换、轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
19.【答案】解：将x=−3y=−1代入方程组中的4x−by=−2得：−12+b=−2，即b=10；
将x=5y=4代入方程组中的ax+5y=15得：5a+20=15，即a=−1，
则a2023+(−b10)2024=(−1)2023+(−1)2024=−1+1=0．
【解析】将x=−3y=−1代入方程组的第二个方程，将x=5y=4代入方程组的第一个方程，联立求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
此题是二元一次方程组错解问题，关键是将解代入没看错的方程即可求出参数的值．
20.【答案】6 30 6(2n−1)
【解析】解：(1)①∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖，
第二层包括6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，
∴第三层包括6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖．
故答案为：6，30；
②∵每一层中正方形地板砖块数不变；
正三角形地板砖的块数分别为：
第一层6=6×1=6×(2×1−1)块，
第二层18=6×3=6×(2×2−1)块，
第三层30=6×5=6×(2×3−1)块，
∴第n层6(2n−1)块正三角形地板砖．
故答案为：6(2n−1)；
【应用】铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．理由如下：
∵150÷6=25(层)，
∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层；
∵铺设n层需要正三角形地板砖的数量为：6[1+3+5+⋯+(2n−1)]=6n2，
∴当n=25时，6×252=3750．
故铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．
(1)①第一层6块正方形和6块正三角形地板砖，第二层6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，第三层6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖；
②每一层中正方形地板砖块数不变；正三角形地板砖的块数分别为：第一层6=6×1=6×(2×1−1)块，第二层18=6×3=6×(2×2−1)块，第三层30=6×5=6×(2×3−1)块，由此得出第n层6=6×1=6(2n−1)块；
【应用】150块正方形地板砖可以铺设这样的图案150÷6=25(层)，铺设n层需要正三角形地板砖的数量为：6[1+3+5+…+(2n−1)]=6n2，将n=25代入计算即可．
本题考查了平面镶嵌(密铺)，图形的变化规律，列代数式，正确找出图形变化规律是解题的关键．
21.【答案】解：5x+2>3(x−1)①12x≤8−32x+2a②
∵解不等式①，得x>−52，
解不等式②，得x≤4+a，
∴原不等式组的解集为−52
∴0≤4+a<1，
∴−4≤a<−3．
【解析】先求出不等式组的解集，根据已知和不等式组的解集得出答案即可．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和已知得出关于a的不等式组是解此题的关键．
22.【答案】解：∵∠CAB=50°，∠C=60°
∴∠ABC=180°−50°−60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°−90°−∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，
∴∠DAE=∠DAC−∠EAF=5°，
∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
故∠DAE=5°，∠BOA=120°．
【解析】解答：见答案。
分析：先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．
23.【答案】(1)130；90；40
(2)结论：∠ABP+∠ACP=90°−∠A．
证明：∵90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，
∴∠ABP+∠ACP=90°−∠A．
(3)不成立； 存在 ∠ACP−∠ABP=90°−∠A．
理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∵∠MPN=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴(∠ABC+∠ACB)−(∠PBC+∠PCB)=180°−∠A−90°，
即∠ABC+∠ACP+∠PCB−∠ABP−∠ABC−∠PCB=90°−∠A，
∴∠ACP−∠ABP=90°−∠A．
【解析】
解：(1)∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−50°=130°，
∵∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP+∠ACP=130°−90°=40°．
故答案为：130，90，40；
(2)见答案
(3)见答案
【分析】
(1)已知∠A=50°，根据三角形内角和定理易求∠ABC+∠ACB的度数．已知∠P=90°，根据三角形内角和定理易求∠PBC+∠PCB的度数，进而得到∠ABP+∠ACP的度数；
(2)由(1)中∠ABC+∠ACB的度数，∠PBC+∠PCB的度数，相减即可得到∠ABP+∠ACP与∠A的关系．
(3)由于在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，同理在△PBC中，∠PBC+∠PCB=90°，相减即可得到∠ACP−∠ABP=90°−∠A．
本题考查的是三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB的度数．
2022-2023学年山西省临汾市侯马市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若x=1是方程ax+3x=1的解，则a的值是( )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
3. 若关于x的方程x+k=2x−1的解是负数，则k的取值范围是( )
A. k>−1 B. k<−1 C. k≥−1 D. k≤−1
4. 小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是( )
A. 20 B. 22 C. 23 D. 25
5. 下列正多边形中，与正八边形组合能够铺满地面的是( )
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
6. 如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了( )
A. 100m B. 90m C. 54m D. 60m
7. 把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG按照如图所示的方式叠合在一起，则∠EAG的度数是( )
A. 18°
B. 20°
C. 28°
D. 30°
8. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为( )
A. 60°
B. 85°
C. 75°
D. 90°
9. 轮船在河流中来往航行于A、B两码头之间，顺流航行全程需7小时，逆流航行全程需9小时，已知水流速度为每小时3km，求A、B两码头间的距离．若设A、B两码头间距离为x，则所列方程为( )
A. x7+3=x9−3 B. x7−3=x9+3 C. x7+3=x9 D. x7−3=x9
10. 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外面时，此时测得∠1=112°，∠A=40°，则∠2的度数为( )
A. 32°
B. 33°
C. 34°
D. 38°
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 三角形的三条边长分别为3、5、x，则x的取值范围是______．
12. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4cm，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若DE=6cm，EC=1cm，则四边形ABFD的周长为______cm．
13. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为______
14. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°能与△ADE重合点D在线段BC的延长线上，若∠BAC=20°，则∠AED的大小为______．
15. 如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推.若OA1=1，则a2023= ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共13.0分）
16. 为了更好治理流溪河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
A型
B型
价格(万元/台)
a
b
处理污水量(吨/月)
240
200
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
(1)求a，b的值．
(2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案．
(3)在(2)问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
四、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)解方程组：x+32+y+53=7x−43+2y−35=2；
(2)解不等式组：x−3(x−2)<4x−1≤1+2x3，并把解集表示在下面的数轴上．
18. (本小题8.0分)
如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．(不写做法)
(1)画出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(3)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的图形△A3B3C3；
(4)画出△ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移7个单位长度得到的△A4B4C4．
19. (本小题7.0分)
甲、乙两人共同解方程组ax+5y=15①4x−by=−2②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4，试计算a2023+(−0.1b)2024的值．
20. (本小题9.0分)
如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖.从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．
①第3中分别含有______ 块正方形和______ 块正三角形地板砖．
②第n层中含有______ 块正三角形地板砖(用含n的代数式表示)．
【应用】该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由．
21. (本小题8.0分)
已知关于x的不等式组5x+2>3(x−1)12x≤8−32x+2a有三个整数解，求实数a的取值范围．
22. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
23. (本小题12.0分)
问题情景如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上(P点在△ABC内)，使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．
试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：若∠A=50°，
则∠ABC+∠ACB=______度，
∠PBC+∠PCB=______度，
∠ABP+∠ACP=______度；
(2)类比探索：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系．
(3)类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，(2)中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2.【答案】A
【解析】解：将x=1代入原方程得：a+3×1=1，
解得：a=−2，
∴a的值为−2．
故选：A．
将x=1代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：x+k=2x−1，
整理得：x=k+1，
∵关于x的方程x+k=2x−1的解是负数，
∴k+1<0，
解得：k<−1．
故选：B．
求出方程的解(把k看作已知数)，得出不等式k+1<0，求出即可．
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次不等式，得出关于k的一元一次不等式的解是本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：设投中外环得x分，投中内环得y分，
依题意得：3x+2y=192x+3y=21，
解得：x=3y=5，
∴x+4y=23．
故选：C．
设投中外环得x分，投中内环得y分，根据小虎得19分和明明得21分，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入(x+4y)中即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵正八边形的每个内角的度数是(8−2)×180°8=135°，正三角形的每个内角的度数是60°，正方形的每个内角的度数是90°，正，五边形的每个内角的度数是(5−2)×180°5=108°，正六边形的每个内角的度数是(6−2)×180°6=120°，
∴与正八边形组合能够铺满地面的是正方形(两个正八边形和一个正方形，
故选：B．
先求出每个多边形的内角的度数，再逐个判断即可．
本题考查了正多边形的内角和外角，平面镶嵌等知识点，能理解平面镶嵌的定义是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，
由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，
360°÷20°=18，
所以它是一个正18边形，
因此所走的路程为18×3=54(m)，
故选：C．
根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可．
本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理以及正多边形的判定是解决问题的前提．
7.【答案】A
【解析】解：正五边形的一个内角的度数是15×(5−2)×180°=108°，
正方形的一个内角是90°，
则∠EAG=108°−90°=18°．
故选：A．
∠EAG的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解．
本题考查了多边形的内角和定理，求得正五边形的内角的度数是关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角；先根据旋转的性质得∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，再根据垂直的定义得∠AFC=90°，则利用互余计算出∠CAF=90°−∠C=20°，所以∠DAE=∠CAF+∠EAC=85°，于是得到∠BAC=85°．
【解答】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=90°−∠C=90°−70°=20°，
∴∠DAE=∠CAF+∠EAC=20°+65°=85°，
∴∠BAC=∠DAE=85°．
故选B．
9.【答案】B
【解析】解：设A、B两码头间距离为x，可得：x7−3=x9+3，
故选：B．
首先理解题意找出题中存在的等量关系，再列出方程即可．
此题考查一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，注对于此类题目要意审题．
10.【答案】A
【解析】解：如图，设A′D与AD交于点O，
∵∠A=40°，
∴∠A′=∠A=40°，
∵∠1=∠DOA+∠A，∠1=112°，
∴∠DOA=∠1−∠A=112°−40°=72°，
∵∠DOA=∠2+∠A′，
∴∠2=∠DOA−∠A′=72°−40°=32°．
故选：A．
根据折叠性质得出∠A′=∠A=40°，根据三角形外角性质得出∠DOA=∠1−∠A=72°，∠2=∠DOA−∠A′=72°−40°=32°．
本题考查了三角形内角和定理，熟记掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
11.【答案】2
∴第三边长x的取值范围是：5−3
此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．
12.【答案】22
【解析】解：根据题意，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴AD=CF=BE，BF=BC+CF，DE=AB=AC=DF=6cm；
又∵BC=4cm，EC=1cm，
∴BE=BC−EC=3cm，
∴AD=CF=BE=3cm，BF=BC+CF=7cm，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=3+6+7+6=22cm．
故答案为22．
根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=3+6+7+6，即可得出答案．
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到DE=AB=AC=DF=6cm，AD=CF=BE=3cm，BF=BC+CF=7cm是解题的关键．
13.【答案】360°
【解析】解：如图，
∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
故答案为：360°．
根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．
14.【答案】115°
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°能与△ADE重合，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠AED=∠ACB，
∴∠ADC=∠ABD=45°，
∴∠ACB=180°−∠ABC−∠BAC=115°，
∴∠AED=115°，
故答案为：115°．
由旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，∠AED=∠ACB，由三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
15.【答案】22022
【解析】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠2=∠3=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=60°−30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠OB1A2=60°+30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3是等边三角形，
同理可得：
OA2=B2A2=2，
∴a2=2a1=2，
同理：a3=4a1=4=1×22，
a4=8a1=8=1×23，
a5=16a1=16=1×24，
…，
以此类推：
所以a2023=1×22022=22022．
故答案是：22022．
根据等腰三角形的性质以及平行线的判定定理得出A1B1//A2B2//A3B3，以及a2=2a1，得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…进而得出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．
16.【答案】解：(1)根据题意得：a−b=23b−2a=6，
∴a=12b=10；
答：a，b的值分别为12，10．
(2)设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备(10−x)台，
则：12x+10(10−x)≤105，
∴x≤2.5，
∵x取非负整数，
∴x=0，1，2，
∴有三种购买方案：
①A型设备0台，B型设备10台；
②A型设备1台，B型设备9台；
③A型设备2台，B型设备8台．
(3)由题意：240x+200(10−x)≥2040，
∴x≥1，
又∵x≤2.5，x取非负整数，
∴x为1，2.
当x=1时，购买资金为：12×1+10×9=102(万元)，
当x=2时，购买资金为：12×2+10×8=104(万元)，
∵102<104，
∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台．
【解析】(1)根据“购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”即可列出方程组，继而进行求解；
(2)可设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备(10−x)台，则有12x+10(10−x)≤105，解之确定x的值，即可确定方案；
(3)因为每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，所以有240x+200(10−x)≥2040，解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择．
本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用．
17.【答案】解：(1)原方程组整理得3x+2y=23①5x+6y=59②，
由①×3−②，得4x=10，
解得x=52，
将x=52代入①，得152+2y=23，
解得y=314．
故原方程组的解集是：x=52y=314．
(2)x−3(x−2)<4①x−1≤1+2x3②，
由①得：x>1，
由②得：x≤4，
在数轴上表示如下：
所以，这个不等式组的解集为：1
(2)先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题考查了解二元一次方程，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2即为所求；
(3)如图所示：△A3BC3即为所求．
(4)如图所示：△A4B4C4即为所求．
【解析】(1)利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用中心对称图形的性质得出答案；
(3)利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
(4)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了旋转变换以及平移变换、轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
19.【答案】解：将x=−3y=−1代入方程组中的4x−by=−2得：−12+b=−2，即b=10；
将x=5y=4代入方程组中的ax+5y=15得：5a+20=15，即a=−1，
则a2023+(−b10)2024=(−1)2023+(−1)2024=−1+1=0．
【解析】将x=−3y=−1代入方程组的第二个方程，将x=5y=4代入方程组的第一个方程，联立求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
此题是二元一次方程组错解问题，关键是将解代入没看错的方程即可求出参数的值．
20.【答案】6 30 6(2n−1)
【解析】解：(1)①∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖，
第二层包括6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，
∴第三层包括6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖．
故答案为：6，30；
②∵每一层中正方形地板砖块数不变；
正三角形地板砖的块数分别为：
第一层6=6×1=6×(2×1−1)块，
第二层18=6×3=6×(2×2−1)块，
第三层30=6×5=6×(2×3−1)块，
∴第n层6(2n−1)块正三角形地板砖．
故答案为：6(2n−1)；
【应用】铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．理由如下：
∵150÷6=25(层)，
∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层；
∵铺设n层需要正三角形地板砖的数量为：6[1+3+5+⋯+(2n−1)]=6n2，
∴当n=25时，6×252=3750．
故铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．
(1)①第一层6块正方形和6块正三角形地板砖，第二层6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，第三层6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖；
②每一层中正方形地板砖块数不变；正三角形地板砖的块数分别为：第一层6=6×1=6×(2×1−1)块，第二层18=6×3=6×(2×2−1)块，第三层30=6×5=6×(2×3−1)块，由此得出第n层6=6×1=6(2n−1)块；
【应用】150块正方形地板砖可以铺设这样的图案150÷6=25(层)，铺设n层需要正三角形地板砖的数量为：6[1+3+5+…+(2n−1)]=6n2，将n=25代入计算即可．
本题考查了平面镶嵌(密铺)，图形的变化规律，列代数式，正确找出图形变化规律是解题的关键．
21.【答案】解：5x+2>3(x−1)①12x≤8−32x+2a②
∵解不等式①，得x>−52，
解不等式②，得x≤4+a，
∴原不等式组的解集为−52
∴0≤4+a<1，
∴−4≤a<−3．
【解析】先求出不等式组的解集，根据已知和不等式组的解集得出答案即可．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和已知得出关于a的不等式组是解此题的关键．
22.【答案】解：∵∠CAB=50°，∠C=60°
∴∠ABC=180°−50°−60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°−90°−∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，
∴∠DAE=∠DAC−∠EAF=5°，
∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
故∠DAE=5°，∠BOA=120°．
【解析】解答：见答案。
分析：先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．
23.【答案】(1)130；90；40
(2)结论：∠ABP+∠ACP=90°−∠A．
证明：∵90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，
∴∠ABP+∠ACP=90°−∠A．
(3)不成立； 存在 ∠ACP−∠ABP=90°−∠A．
理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∵∠MPN=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴(∠ABC+∠ACB)−(∠PBC+∠PCB)=180°−∠A−90°，
即∠ABC+∠ACP+∠PCB−∠ABP−∠ABC−∠PCB=90°−∠A，
∴∠ACP−∠ABP=90°−∠A．
【解析】
解：(1)∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−50°=130°，
∵∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP+∠ACP=130°−90°=40°．
故答案为：130，90，40；
(2)见答案
(3)见答案
【分析】
(1)已知∠A=50°，根据三角形内角和定理易求∠ABC+∠ACB的度数．已知∠P=90°，根据三角形内角和定理易求∠PBC+∠PCB的度数，进而得到∠ABP+∠ACP的度数；
(2)由(1)中∠ABC+∠ACB的度数，∠PBC+∠PCB的度数，相减即可得到∠ABP+∠ACP与∠A的关系．
(3)由于在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，同理在△PBC中，∠PBC+∠PCB=90°，相减即可得到∠ACP−∠ABP=90°−∠A．
本题考查的是三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB的度数．
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