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2023年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 9的值等于( )
A. ± 3 B. 3 C. ±3 D. 3
2. 下列计算中，结果是−8a6是( )
A. −5a6+3a6 B. −5a3−3a3 C. (−2a)3⋅a3 D. (4a3)2÷2a
3. 反比例函数y=k2+1x(k为常数)的图象位于( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
4. 如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出.已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为50公斤、70公斤.设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为x公斤，则x的取值范围是( )
A. 330
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在11×7的点阵中，甲、乙、丙、丁四个玻璃球分别从A、B、C、D四个点处同时出发，按各自箭头方向做匀速直线运动，运动2秒后分别到达A′、B′、C′、D′处，若按照上述方式继续运动，则第一次发生碰撞的是( )
A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 甲和丁 D. 丙和丁
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. 数轴上表示−2的点与表示6的点之间的距离为______ ．
8. 若式子x+ x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9. 据测量，柳絮纤维的直径约为0.0000105米，用科学记数法表示0.0000105是______ ．
10. 计算2 8− 2的结果是______ ．
11. 已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为−3和−1，则p+q=______．
12. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于______ ．
13. 已知⊙O的直径为8，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的最短弦的长度为______ ．
14. 如图，▱ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，D在x轴上，边CD与y轴交于点E，若BD=3，AD= 2，∠ADB=45°，则点E的坐标为______ ．
15. 如图，点O是正五边形ABCDE和正三角形AFG的中心，连接AD，EF交于点P，则∠APE的度数为______ °.
16. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是边BC上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，与CD边交于点F，连接AF，则AF的最小值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
17. 解方程：2xx−2=1−12−x．
四、解答题（本大题共10小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题7.0分)
先化简，再求值：(1a−b−ba2−b2)÷aa+b，其中a= 3+1，b=1．
19. (本小题9.0分)
每年6月6日为“全国爱眼日”.按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示．
类别
A
B
C
D
视力
视力≥5.0
4.9
4.6≤视力≤4.8
视力≤4.5
健康状况
视力正常
轻度视力不良
中度视力不良
重度视力不良
为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有______ 人，D类所在扇形的圆心角的度数是______ ；
(2)对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为______ 类；
(3)已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数．
20. (本小题7.0分)
有四根细木棒，它们的长度分别为2cm，2cm，4cm，5cm．
(1)从中任取两根，求长度恰好相等的概率．
(2)从中任取三根，恰好能搭成一个三角形的概率为______ ．
21. (本小题7.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.E是CB上一点，且CE=CD，过点E作EF//AB，与CA交于点F．
(1)证明△ADC≌△FCE；
(2)若E是BC的中点，CD=6，则△ABC的面积为______ ．
22. (本小题7.0分)
如图，投影仪镜头A(看成一个点)离地面的距离AE为120cm，投影在墙上的像的高度BC为156cm，经测量，镜头A到像顶端B的仰角为17.7°，到像底端C的俯角为11.3°，求像底端C到地面的距离CD.(参考数据：tan11.3°≈0.2，tan17.7°≈0.32)
23. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，过点D作DE//BC，与AB交于点E，过点E作EF//AC，与BC交于点F．
(1)判断四边形DEFC的形状，并说明理由；
(2)若∠BDC=2∠BEF，BD=2，则AC的长为______ ．
24. (本小题9.0分)
如图，一块周长为40cm的矩形铁皮，如果在该铁皮的四个角上截去四个边长为2cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的长方体铁盒．
(1)要使铁盒的容积为40cm3，求矩形铁皮的长和宽；
(2)要使铁盒的容积最大，矩形铁皮的长和宽应为多少？最大容积是多少？
25. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，将点A(2,1)先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B．
(1)求直线AB对应的函数表达式；
(2)将直线AB ______ 可以得到函数y=−3x+1的图象.(填写所有正确的序号)
①向右平移6个单位长度；
②向下平移6个单位长度；
③绕点(0,4)按逆时针方向旋转180°；
④先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度．
26. (本小题9.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，DA，DC是⊙O的切线，切点分别为A，C．
(1)求证△ABC∽△DAC；
(2)若CD=3，BC=4，
①求⊙O的半径：
②连接OD，与AC交于点P，连接BP，BD，则BPBD= ______ ．
27. (本小题10.0分)
已知函数y=x2+mx+n(m,n为常数)．
(1)若m=4，n=3，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离；
(2)若函数y=x2+mx+n的图象与x轴有两个交点，将该函数的图象向右平移k(k>0)个单位长度得到新函数y′的图象，且这两个函数图象与x轴的四个交点中任意相邻两点之间的距离都相等．
①若函数y=x2+mx+n的图象如图所示，直接写出新函数y′的表达式；
②若函数y=x2+mx+n的图象经过点(1,3)，当k=1时，求m，n的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵32=9，
∴ 9=3．
故选：D．
根据算术平方根定义解答．
此题考查了算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：−5a6+3a6=−2a6，故A不符合题意；
−5a3−3a3=−8a3，故B不符合题意；
(−2a)3⋅a3=−8a6，故C符合题意；
(4a3)2÷2a=8a5，故D不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项，积的乘方与幂的乘方法则，单项式乘除法则，逐项判断可得答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关的运算法则．
3.【答案】B
【解析】解：∵k2+1≥1>0，
∴反比例函数y=k2+1x(k为常数)的图象位于第一、三象限．
故选B．
先根据一个数的平方为非负数的特点确定比例系数，再利用反比例函数的性质求解．
本题考查反比例函数y=kx(k≠0)的性质：
①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；
②当k<0时，图象分别位于第二、四象限．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得：x+50≤450x+50+70>450，
解得：330
根据“小丽进入电梯后不超重，小欧进入电梯后超重”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
B选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
C选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
D选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意；
故选：D．
三棱柱的侧面展开图是长方形，底面是三角形，据此进行判断即可．
本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：各个球继续运动如图示：
由图示得：甲和乙不相撞；
甲和丙经过4秒相撞；
甲和丁不相撞；
丙和丁不相撞，
故选：B．
先画各个球的运动路径，再根据图示求解．
本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．
7.【答案】8
【解析】解：6−(−2)=6+2=8．
故答案为：8．
用数轴上右边的数6减去左边的(−2)，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可求解．
本题考查了数轴上两点间的距离的求解，用右边的数减去左边的数进行计算即可，比较简单．
8.【答案】x≥−1
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【解答】
解：由题意可知：x+1≥0，
∴x≥−1．
故答案为：x≥−1．
9.【答案】1.05×10−5
【解析】解：0.0000105=1.05×10−5，
故答案为：1.05×10−5．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10.【答案】 2
【解析】解：原式=2( 8+ 2)6=3 23= 2．
先分母有理化，再合并同类二次根式．
本题考查了二次根式的加减法运算，掌握二次根式的化简及合并同类二次根式是解题的关键．
11.【答案】7
【解析】解：
∵关于x的方程x2+px+q=0的两根为−3和−1，
∴−3+(−1)=−p，−3×(−1)=q，
∴p=4，q=3，
∴p+q=7，
故答案为：7．
由根与系数的关系可分别求得p、q的值，代入则可求得答案．
本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根之和等于−ba、两根之积等于ca是解题的关键．
12.【答案】120°
【解析】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=12lr=πrR，
∵侧面积是底面积的3倍，
∴3πr2=πrR，
∴R=3r，即r=13R，
设圆心角为n，有nπR180=23πR，
∴n=120°．
故答案为：120°．
根据圆锥的侧面积是底面积的3倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角度数．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长等于圆锥侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求解是解题的关键．
13.【答案】2 7
【解析】解：与OP垂直的弦AB最短．证明如下：
过点P任作一条弦CD，作OQ垂直于CD，垂足为Q，连接OD，
AB=2AP=2 OA2−OP2=2 42−32=2 7，
CD=2QD=2 OD2−OQ2=2 42−OQ2，
在Rt△OPQ中，OP>OQ，即3>OQ，
∴42−32<42−OQ2，
∴AB
故答案为：2 7．
与OP垂直的弦最短，利用勾股定理求．
本题考查了垂径定理，弄清与OP垂直的弦最短是关键．
14.【答案】(0,−12)
【解析】解：∵AD= 2，∠ADB=45°，
∴AO=OD=1，
∵BD=3，
∴OB=BD−OD=2，
∴B(2,0)，
∴A(0,1)，D(1,0)，B(2,0)，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C(−1,1)，
过点C作CF⊥x轴于点F，
∴CF=1，OF=1，
∵OE//CF，
∴OE=12CF=12，
∴E(0,−12).
故答案为：(0,−12).
求出A(0,1)，D(1,0)，B(2,0)，由平行四边形的性质得出C(−1,1)，过点C作CF⊥x轴于点F，求出CF=1，OF=1，求出OE的长，则可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15.【答案】84
【解析】解：如图，连接OC、OD、OF、OG，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠COD=360°5=72°，
∴∠AFE=36°，
∵△AFG是⊙O的内接正三角形，
∴∠FOG=360°3=120°，
根据对称性可知，∠COF=∠DOG=12×(120°−72°)=24°，
∴∠FAD=12(∠COF+∠COD)
=12×(24°+72°)
=48°，
∴∠APE=∠FAD+∠AFE
=48+36°
=84°，
故答案为：84．
根据正多边形的中心角的计算方法分别求出，∠COD=72°，∠FAG=120°，进而求出∠COF的度数，由圆周角定理和三角形内角和定理即可求出答案．
本题考查正多边形和圆，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握正三角形、正五边形的性质以及圆周角定理是正确解答的前提．
16.【答案】263
【解析】解：BE的长为x，则CE=BC−BE=8−x，CF的长为y，
∵AB⊥BC，EF⊥AE，DC⊥BC，
∴∠ABE=∠ECF=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴ABCE=BECF，即68−x=xy，
∴y=−16x2+43x=−16(x−4)2+83，(0
当CF=83时，DF=6−83=103，此时AF为最小，
AF= AD2+DC2= 82+(103)2= 6769=263．
故答案为：263．
根据垂直的定义得到∠ABC=∠AEF=∠DCB=90°，再根据等角的余角相等得到∠A=∠CEF，根据三角形相似的判定得到Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比得到y与x之间的函数关系式，由关系顶点式即可求得．
本题考查了相似三角形的性质和二次函数的最大值，关键在于数形结合的熟练应用．
17.【答案】解：去分母得：2x=x−2+1，
移项合并得：x=−1，
经检验x=−1是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18.【答案】解：原式=[a+b(a+b)(a−b)−b(a+b)(a−b)]÷aa+b
=a(a+b)(a−b)⋅a+ba
=1a−b，
当a= 3+1，b=1时，原式=1a−b=1 3= 33．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】4 18° B
【解析】解：(1)观察两个统计题知：B类有7人，占35%，
所以调查的总人数为7÷35%=20(人)，
所以视力情况属于A类的学生有20×20%=4(人)，
D类所在扇形的圆心角的度数为360°×(1−20%−35%−40%)=18°，
故答案为：4，18°；
(2)每类人数分别为4人，7人，8人，1人，共20人，
所以中位数为第10人和第11人的平均数，均落在了B类，
所以本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为B类，
故答案为：B．
(3)300×(40%+5%)=135(人)，
所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人．
(1)首先利用B组的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以A类所占的百分比即可求得A类学生的人数；
(2)用周角乘以D类所占的百分比即可；
(3)用样本数据估计总体数据即可．
本题考查扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
20.【答案】12
【解析】解：(1)列表如下：
2
2
4
5
2
(2,2)
(4,2)
(5,2)
2
(2,2)
(4,2)
(5,2)
4
(2,4)
(2,4)
(5,4)
5
(2,5)
(2,5)
(4,5)
由表知，共有12种等可能结果，其中长度恰好相等的有2种结果，
所以长度恰好相等的概率为212=16；
(2)从中任取三根，有(2,2,4)、(2,2,5)、(2,4,5)、(2,4,5)这4种等可能结果，其中恰好能搭成一个三角形的有2种结果，
所以恰好能搭成一个三角形的概率为24=12，
故答案为：12．
(1)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
(2)列举出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了三角形三边的关系．
21.【答案】24 3
【解析】(1)证明：∵EF//AB，CD⊥AB，
∴CD⊥EF，
∵∠ACB=90°，
∴∠CEF+∠CFE=90°，∠CFE+∠ACD=90°，
∴∠CEF=∠ACD，
在△ADC与△FCE中，
∠CEF=∠ACDCE=CD∠ECF=∠CDA=90°，
∴△ADC≌△FCE(ASA)；
(2)解：由(1)可知△ADC≌△FCE，
∴CD=CE=6，
连接DE，
∵E是BC的中点，
∴DE=CE=6，BC=2CE=12，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠ECD=60°，
∴∠CFE=60°，
∴∠ACD=30°，
∴AC=4 3，
∴△ABC的面积=12AC⋅BC=12×4 3×12=24 3，
故答案为：24 3．
(1)根据平行线的性质得出CD⊥EF，进而利用ASA证明△ADC≌△FCE解答；
(2)连接DE，根据等边三角形的判定和性质以及三角形的面积公式解答．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据ASA证明△ADC≌△FCE解答．
22.【答案】解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，
由题意得：AE=DF=120cm，
设AF=x cm，
在Rt△ABF中，∠BAF=17.7°，
∴BF=AF⋅tan17.7°≈0.32x(cm)，
在Rt△AFC中，∠FAC=11.3°，
∴FC=AF⋅tan11.3°≈0.2x(cm)，
∵BF+CF=BC，
∴0.32x+0.2x=156，
解得：x=300，
∴CF=0.2x=60(cm)，
∴DC=DF−CF=120−60=60(cm)，
∴像底端C到地面的距离CD约为60cm．
【解析】过点A作AF⊥BC，垂足为F，根据题意可得：AE=DF=120cm，然后设AF=x cm，分别在Rt△ABF和Rt△AFC中，利用锐角三角函数的定义求出BF和CF的长，从而列出关于x的方程，进行计算可求出CF的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】1+ 5
【解析】解：(1)四边形DEFC是菱形，理由如下：
∵DE//BC，EF//AC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠BDE=∠CBD，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF//AC，
∴∠BFE=∠C，
∴∠ABC=∠BFE，
∴BE=EF，
∴DE=EF，
∴四边形DEFC是菱形；
(2)∵EF//AC，
∴∠BEF=∠A，
∵∠BDC=∠ABD+∠A，∠BDC=2∠BEF，
∴∠ABD=∠A，
∴∠CBD=∠A，
∴AD=DB=2，
∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C=∠BDC，
∴BC=BD=2，
∵∠BCD=∠BCA，
∴△CBD∽△CAB，
∴BC：CA=CD：BC，
∴BC2=CA⋅CD=AC⋅(AC−AD)，
∴22=AC⋅(AC−2)，
∴AC=1+ 5(舍去负值)．
故答案为：1+ 5．
(1)先证得四边形DEFC是平行四边形，再根据角平分线的定义结合平行线和等腰三角形的性质证得BE=EF=DE，即可证得结论；
(2)由△CBD∽△CAB，推出BC：CA=CD：BC，得到BC2=CA⋅CD=AC⋅(AC−AD)，因此22=AC⋅(AC−2)，即可求出AC=1+ 5．
本题考查菱形的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，关键是由平行四边形的性质，等腰三角形的性质推出DE=EF；证明△CBD∽△CAB，得到BC2=AC⋅(AC−AD)．
24.【答案】解：(1)设矩形铁皮的长为x cm，则宽为(20−x)cm，
由图知，铁盒的长为(x−4)cm，宽为(20−x−4)cm，
根据题意得：2(x−4)(20−x−4)=40，
整理得：x2−20x+84=0．
解得x1=14，x2=6(舍)，
∴矩形铁皮的长为14cm，宽为6cm；
(2)设铁盒的容积为ycm3，
根据题意得：y=2(x−4)(20−x−4)=−2x2+40x−128=−2(x−10)2+72，
∵−2<0，
∴当x=10时，y有最大值，最大值为72，
此时20−x=10，
∴矩形铁皮的长和宽应各位10cm时，容积最大，最大容积为72cm3．
【解析】(1)设矩形铁皮的长为x cm，则宽为(20−x)cm，然后根据题意求出铁盒的长和宽，再根据长×宽×高=40列出方程，解方程即可；
(2)设铁盒的容积为ycm3，然后根据长方体的体积公式写出函数解析式，由函数的性质求出最值．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程．
25.【答案】②③④
【解析】解：(1)将点A(2,1)先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为(3,−2)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
代入A(2,1)，B(3,−2)得2k+b=13k+b=−2，
解得k=−3b=7，
∴直线AB的解析式为y=−3x+7；
(2)①将直线AB向右平移6个单位长度得到y=−3(x−6)+7=−3x+25；
②将直线AB向下平移6个单位长度得到y=−3x+7−6=−3x+1；
③将直线AB绕点(0,4)按逆时针方向旋转180°得到y=−3x+1；
④将直线AB先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y=−3(x+1)+7−3=−3x+1；
故答案为：②③④．
(1)求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得；
(2)分别求得变换后的函数解析式判断即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律和旋转的性质是解题的关键．
26.【答案】 33
【解析】(1)证明：连接AO并延长交BC于点E，如图：
∵点O是三角形的外心，
∴AE⊥BC，
∵DA，DC是⊙O的切线，
∴AE⊥AD，DA=DC，
∴AD//BC，∠DAC=∠DCA．
∴∠DAC=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
即∠B=∠ACB=∠DAC=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC．
(2)①由(1)可得ACBC=CDAC，即AC2=BC⋅CD，
∴AC= 3×4=2 3，连接OC，
在Rt△AEC中，AC=2 3，CE=2，
∴AE=2 2，
设半径为r，则OE=2 2−r，CE=2，
在Rt△COE中，OE2+CE2=CO2，
代入解得r=3 22，
∴圆的半径为：3 22．
②过点P作PF⊥BC，DM⊥BC，如图：
∵DA，DC是⊙O的切线，
∴OD垂直平分AC，
∴P是AC的中点，
∴PF=12AE= 2，CP= 3，
∴CF=1，BF=3，
在Rt△BPF中，BP= BF2+PF2= 11，
∵AD//BC，
∴DM=AE=2 2，
在Rt△CDM中，CD=3，
∴CM= CD2−DM2=1，
∴BM=5，
在Rt△BDM中，BD= BM2+DM2= 33，
∴BPBD= 11 33= 33，
故答案为： 33．
(1)连接AO并延长交BC与点E，由三角形的外心可得AE⊥BC，再由切线的性质即可得AD//BC，即可得证．
(2)①由(1)可求出AC，AE的长，进而求出圆的半径．
②过P作PF⊥BC，过D作DM⊥BC，分别求出BP、BD的长即可．
本题考查圆的有关性质和勾股定理，熟练性质是解题关键．
27.【答案】解：(1)若m=4，n=3，则有y=x2+4x+3．
当y=x2+4x+3=(x+1)(x+3)=0时，解得：x=−1或x=−3．
∴该函数图象与x轴的两个交点之间的距离为3−(−1)=4．
(2)①将(0,0)和(4,0)代入y=x2+mx+n，得0=n0=16+4m+n，
解得：m=−4，n=0．
∴y=x2−4x，整理得y=(x−2)2−4．
若k=2，则y′的对称轴为x=4，
∴y′=(x−4)2−4，即y′=x2−8x+12．
若k=8时，则y′的对称轴为x=10，
∴y′=(x−10)2−4，即y′=x2−20x+96．
②将点(1,3)代入y=x2+mx+n，得m+n=2．
设x1和x2分别为函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标，
∴x1+x2=−m，x1x2=n．
∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=m2−4n，
∴|x1−x2|= m2−4n．
当k=12|x1−x2|=1时，有12 m2−4n=1，
∴m2−4n−4=0．
∴m2−4n−4=0m+n=2，
解得：m=2，n=0；m=−6，n=8．
当k=2|x1−x2|=1时，有2 m2−4n=1，
∴4m2−16n−1=0．
∴4m2−16n−1=0m+n=2，
解得：m=32，n=12；m=−112，n=152．
【解析】(1)用待定系数法求出函数解析式，再求出与x轴的交点坐标，二者相减取绝对值即可；
(2)①利用待定系数法求出函数解析式，并写成关于x的完全平方形式，新函数的对称轴是将原函数的对称轴向右平移与x轴的两个交点之间距离的12倍或2倍；
②k值为函数与x轴的两个交点之间距离的12倍或2倍，再将点(1,3)代入函数求解方程组即可．
本题通过几何变换，考查了二次函数与x轴的交点、性质等，综合性较强，难度不小，注意分情况讨论．
2023年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 9的值等于( )
A. ± 3 B. 3 C. ±3 D. 3
2. 下列计算中，结果是−8a6是( )
A. −5a6+3a6 B. −5a3−3a3 C. (−2a)3⋅a3 D. (4a3)2÷2a
3. 反比例函数y=k2+1x(k为常数)的图象位于( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
4. 如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出.已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为50公斤、70公斤.设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为x公斤，则x的取值范围是( )
A. 330
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在11×7的点阵中，甲、乙、丙、丁四个玻璃球分别从A、B、C、D四个点处同时出发，按各自箭头方向做匀速直线运动，运动2秒后分别到达A′、B′、C′、D′处，若按照上述方式继续运动，则第一次发生碰撞的是( )
A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 甲和丁 D. 丙和丁
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. 数轴上表示−2的点与表示6的点之间的距离为______ ．
8. 若式子x+ x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9. 据测量，柳絮纤维的直径约为0.0000105米，用科学记数法表示0.0000105是______ ．
10. 计算2 8− 2的结果是______ ．
11. 已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为−3和−1，则p+q=______．
12. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于______ ．
13. 已知⊙O的直径为8，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的最短弦的长度为______ ．
14. 如图，▱ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，D在x轴上，边CD与y轴交于点E，若BD=3，AD= 2，∠ADB=45°，则点E的坐标为______ ．
15. 如图，点O是正五边形ABCDE和正三角形AFG的中心，连接AD，EF交于点P，则∠APE的度数为______ °.
16. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是边BC上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，与CD边交于点F，连接AF，则AF的最小值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
17. 解方程：2xx−2=1−12−x．
四、解答题（本大题共10小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题7.0分)
先化简，再求值：(1a−b−ba2−b2)÷aa+b，其中a= 3+1，b=1．
19. (本小题9.0分)
每年6月6日为“全国爱眼日”.按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示．
类别
A
B
C
D
视力
视力≥5.0
4.9
4.6≤视力≤4.8
视力≤4.5
健康状况
视力正常
轻度视力不良
中度视力不良
重度视力不良
为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有______ 人，D类所在扇形的圆心角的度数是______ ；
(2)对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为______ 类；
(3)已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数．
20. (本小题7.0分)
有四根细木棒，它们的长度分别为2cm，2cm，4cm，5cm．
(1)从中任取两根，求长度恰好相等的概率．
(2)从中任取三根，恰好能搭成一个三角形的概率为______ ．
21. (本小题7.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.E是CB上一点，且CE=CD，过点E作EF//AB，与CA交于点F．
(1)证明△ADC≌△FCE；
(2)若E是BC的中点，CD=6，则△ABC的面积为______ ．
22. (本小题7.0分)
如图，投影仪镜头A(看成一个点)离地面的距离AE为120cm，投影在墙上的像的高度BC为156cm，经测量，镜头A到像顶端B的仰角为17.7°，到像底端C的俯角为11.3°，求像底端C到地面的距离CD.(参考数据：tan11.3°≈0.2，tan17.7°≈0.32)
23. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，过点D作DE//BC，与AB交于点E，过点E作EF//AC，与BC交于点F．
(1)判断四边形DEFC的形状，并说明理由；
(2)若∠BDC=2∠BEF，BD=2，则AC的长为______ ．
24. (本小题9.0分)
如图，一块周长为40cm的矩形铁皮，如果在该铁皮的四个角上截去四个边长为2cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的长方体铁盒．
(1)要使铁盒的容积为40cm3，求矩形铁皮的长和宽；
(2)要使铁盒的容积最大，矩形铁皮的长和宽应为多少？最大容积是多少？
25. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，将点A(2,1)先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B．
(1)求直线AB对应的函数表达式；
(2)将直线AB ______ 可以得到函数y=−3x+1的图象.(填写所有正确的序号)
①向右平移6个单位长度；
②向下平移6个单位长度；
③绕点(0,4)按逆时针方向旋转180°；
④先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度．
26. (本小题9.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，DA，DC是⊙O的切线，切点分别为A，C．
(1)求证△ABC∽△DAC；
(2)若CD=3，BC=4，
①求⊙O的半径：
②连接OD，与AC交于点P，连接BP，BD，则BPBD= ______ ．
27. (本小题10.0分)
已知函数y=x2+mx+n(m,n为常数)．
(1)若m=4，n=3，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离；
(2)若函数y=x2+mx+n的图象与x轴有两个交点，将该函数的图象向右平移k(k>0)个单位长度得到新函数y′的图象，且这两个函数图象与x轴的四个交点中任意相邻两点之间的距离都相等．
①若函数y=x2+mx+n的图象如图所示，直接写出新函数y′的表达式；
②若函数y=x2+mx+n的图象经过点(1,3)，当k=1时，求m，n的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵32=9，
∴ 9=3．
故选：D．
根据算术平方根定义解答．
此题考查了算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：−5a6+3a6=−2a6，故A不符合题意；
−5a3−3a3=−8a3，故B不符合题意；
(−2a)3⋅a3=−8a6，故C符合题意；
(4a3)2÷2a=8a5，故D不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项，积的乘方与幂的乘方法则，单项式乘除法则，逐项判断可得答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关的运算法则．
3.【答案】B
【解析】解：∵k2+1≥1>0，
∴反比例函数y=k2+1x(k为常数)的图象位于第一、三象限．
故选B．
先根据一个数的平方为非负数的特点确定比例系数，再利用反比例函数的性质求解．
本题考查反比例函数y=kx(k≠0)的性质：
①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；
②当k<0时，图象分别位于第二、四象限．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得：x+50≤450x+50+70>450，
解得：330
根据“小丽进入电梯后不超重，小欧进入电梯后超重”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
B选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
C选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
D选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意；
故选：D．
三棱柱的侧面展开图是长方形，底面是三角形，据此进行判断即可．
本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：各个球继续运动如图示：
由图示得：甲和乙不相撞；
甲和丙经过4秒相撞；
甲和丁不相撞；
丙和丁不相撞，
故选：B．
先画各个球的运动路径，再根据图示求解．
本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．
7.【答案】8
【解析】解：6−(−2)=6+2=8．
故答案为：8．
用数轴上右边的数6减去左边的(−2)，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可求解．
本题考查了数轴上两点间的距离的求解，用右边的数减去左边的数进行计算即可，比较简单．
8.【答案】x≥−1
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【解答】
解：由题意可知：x+1≥0，
∴x≥−1．
故答案为：x≥−1．
9.【答案】1.05×10−5
【解析】解：0.0000105=1.05×10−5，
故答案为：1.05×10−5．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10.【答案】 2
【解析】解：原式=2( 8+ 2)6=3 23= 2．
先分母有理化，再合并同类二次根式．
本题考查了二次根式的加减法运算，掌握二次根式的化简及合并同类二次根式是解题的关键．
11.【答案】7
【解析】解：
∵关于x的方程x2+px+q=0的两根为−3和−1，
∴−3+(−1)=−p，−3×(−1)=q，
∴p=4，q=3，
∴p+q=7，
故答案为：7．
由根与系数的关系可分别求得p、q的值，代入则可求得答案．
本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根之和等于−ba、两根之积等于ca是解题的关键．
12.【答案】120°
【解析】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=12lr=πrR，
∵侧面积是底面积的3倍，
∴3πr2=πrR，
∴R=3r，即r=13R，
设圆心角为n，有nπR180=23πR，
∴n=120°．
故答案为：120°．
根据圆锥的侧面积是底面积的3倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角度数．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长等于圆锥侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求解是解题的关键．
13.【答案】2 7
【解析】解：与OP垂直的弦AB最短．证明如下：
过点P任作一条弦CD，作OQ垂直于CD，垂足为Q，连接OD，
AB=2AP=2 OA2−OP2=2 42−32=2 7，
CD=2QD=2 OD2−OQ2=2 42−OQ2，
在Rt△OPQ中，OP>OQ，即3>OQ，
∴42−32<42−OQ2，
∴AB
故答案为：2 7．
与OP垂直的弦最短，利用勾股定理求．
本题考查了垂径定理，弄清与OP垂直的弦最短是关键．
14.【答案】(0,−12)
【解析】解：∵AD= 2，∠ADB=45°，
∴AO=OD=1，
∵BD=3，
∴OB=BD−OD=2，
∴B(2,0)，
∴A(0,1)，D(1,0)，B(2,0)，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C(−1,1)，
过点C作CF⊥x轴于点F，
∴CF=1，OF=1，
∵OE//CF，
∴OE=12CF=12，
∴E(0,−12).
故答案为：(0,−12).
求出A(0,1)，D(1,0)，B(2,0)，由平行四边形的性质得出C(−1,1)，过点C作CF⊥x轴于点F，求出CF=1，OF=1，求出OE的长，则可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15.【答案】84
【解析】解：如图，连接OC、OD、OF、OG，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠COD=360°5=72°，
∴∠AFE=36°，
∵△AFG是⊙O的内接正三角形，
∴∠FOG=360°3=120°，
根据对称性可知，∠COF=∠DOG=12×(120°−72°)=24°，
∴∠FAD=12(∠COF+∠COD)
=12×(24°+72°)
=48°，
∴∠APE=∠FAD+∠AFE
=48+36°
=84°，
故答案为：84．
根据正多边形的中心角的计算方法分别求出，∠COD=72°，∠FAG=120°，进而求出∠COF的度数，由圆周角定理和三角形内角和定理即可求出答案．
本题考查正多边形和圆，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握正三角形、正五边形的性质以及圆周角定理是正确解答的前提．
16.【答案】263
【解析】解：BE的长为x，则CE=BC−BE=8−x，CF的长为y，
∵AB⊥BC，EF⊥AE，DC⊥BC，
∴∠ABE=∠ECF=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴ABCE=BECF，即68−x=xy，
∴y=−16x2+43x=−16(x−4)2+83，(0
当CF=83时，DF=6−83=103，此时AF为最小，
AF= AD2+DC2= 82+(103)2= 6769=263．
故答案为：263．
根据垂直的定义得到∠ABC=∠AEF=∠DCB=90°，再根据等角的余角相等得到∠A=∠CEF，根据三角形相似的判定得到Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比得到y与x之间的函数关系式，由关系顶点式即可求得．
本题考查了相似三角形的性质和二次函数的最大值，关键在于数形结合的熟练应用．
17.【答案】解：去分母得：2x=x−2+1，
移项合并得：x=−1，
经检验x=−1是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18.【答案】解：原式=[a+b(a+b)(a−b)−b(a+b)(a−b)]÷aa+b
=a(a+b)(a−b)⋅a+ba
=1a−b，
当a= 3+1，b=1时，原式=1a−b=1 3= 33．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】4 18° B
【解析】解：(1)观察两个统计题知：B类有7人，占35%，
所以调查的总人数为7÷35%=20(人)，
所以视力情况属于A类的学生有20×20%=4(人)，
D类所在扇形的圆心角的度数为360°×(1−20%−35%−40%)=18°，
故答案为：4，18°；
(2)每类人数分别为4人，7人，8人，1人，共20人，
所以中位数为第10人和第11人的平均数，均落在了B类，
所以本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为B类，
故答案为：B．
(3)300×(40%+5%)=135(人)，
所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人．
(1)首先利用B组的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以A类所占的百分比即可求得A类学生的人数；
(2)用周角乘以D类所占的百分比即可；
(3)用样本数据估计总体数据即可．
本题考查扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
20.【答案】12
【解析】解：(1)列表如下：
2
2
4
5
2
(2,2)
(4,2)
(5,2)
2
(2,2)
(4,2)
(5,2)
4
(2,4)
(2,4)
(5,4)
5
(2,5)
(2,5)
(4,5)
由表知，共有12种等可能结果，其中长度恰好相等的有2种结果，
所以长度恰好相等的概率为212=16；
(2)从中任取三根，有(2,2,4)、(2,2,5)、(2,4,5)、(2,4,5)这4种等可能结果，其中恰好能搭成一个三角形的有2种结果，
所以恰好能搭成一个三角形的概率为24=12，
故答案为：12．
(1)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
(2)列举出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了三角形三边的关系．
21.【答案】24 3
【解析】(1)证明：∵EF//AB，CD⊥AB，
∴CD⊥EF，
∵∠ACB=90°，
∴∠CEF+∠CFE=90°，∠CFE+∠ACD=90°，
∴∠CEF=∠ACD，
在△ADC与△FCE中，
∠CEF=∠ACDCE=CD∠ECF=∠CDA=90°，
∴△ADC≌△FCE(ASA)；
(2)解：由(1)可知△ADC≌△FCE，
∴CD=CE=6，
连接DE，
∵E是BC的中点，
∴DE=CE=6，BC=2CE=12，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠ECD=60°，
∴∠CFE=60°，
∴∠ACD=30°，
∴AC=4 3，
∴△ABC的面积=12AC⋅BC=12×4 3×12=24 3，
故答案为：24 3．
(1)根据平行线的性质得出CD⊥EF，进而利用ASA证明△ADC≌△FCE解答；
(2)连接DE，根据等边三角形的判定和性质以及三角形的面积公式解答．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据ASA证明△ADC≌△FCE解答．
22.【答案】解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，
由题意得：AE=DF=120cm，
设AF=x cm，
在Rt△ABF中，∠BAF=17.7°，
∴BF=AF⋅tan17.7°≈0.32x(cm)，
在Rt△AFC中，∠FAC=11.3°，
∴FC=AF⋅tan11.3°≈0.2x(cm)，
∵BF+CF=BC，
∴0.32x+0.2x=156，
解得：x=300，
∴CF=0.2x=60(cm)，
∴DC=DF−CF=120−60=60(cm)，
∴像底端C到地面的距离CD约为60cm．
【解析】过点A作AF⊥BC，垂足为F，根据题意可得：AE=DF=120cm，然后设AF=x cm，分别在Rt△ABF和Rt△AFC中，利用锐角三角函数的定义求出BF和CF的长，从而列出关于x的方程，进行计算可求出CF的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】1+ 5
【解析】解：(1)四边形DEFC是菱形，理由如下：
∵DE//BC，EF//AC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠BDE=∠CBD，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF//AC，
∴∠BFE=∠C，
∴∠ABC=∠BFE，
∴BE=EF，
∴DE=EF，
∴四边形DEFC是菱形；
(2)∵EF//AC，
∴∠BEF=∠A，
∵∠BDC=∠ABD+∠A，∠BDC=2∠BEF，
∴∠ABD=∠A，
∴∠CBD=∠A，
∴AD=DB=2，
∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C=∠BDC，
∴BC=BD=2，
∵∠BCD=∠BCA，
∴△CBD∽△CAB，
∴BC：CA=CD：BC，
∴BC2=CA⋅CD=AC⋅(AC−AD)，
∴22=AC⋅(AC−2)，
∴AC=1+ 5(舍去负值)．
故答案为：1+ 5．
(1)先证得四边形DEFC是平行四边形，再根据角平分线的定义结合平行线和等腰三角形的性质证得BE=EF=DE，即可证得结论；
(2)由△CBD∽△CAB，推出BC：CA=CD：BC，得到BC2=CA⋅CD=AC⋅(AC−AD)，因此22=AC⋅(AC−2)，即可求出AC=1+ 5．
本题考查菱形的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，关键是由平行四边形的性质，等腰三角形的性质推出DE=EF；证明△CBD∽△CAB，得到BC2=AC⋅(AC−AD)．
24.【答案】解：(1)设矩形铁皮的长为x cm，则宽为(20−x)cm，
由图知，铁盒的长为(x−4)cm，宽为(20−x−4)cm，
根据题意得：2(x−4)(20−x−4)=40，
整理得：x2−20x+84=0．
解得x1=14，x2=6(舍)，
∴矩形铁皮的长为14cm，宽为6cm；
(2)设铁盒的容积为ycm3，
根据题意得：y=2(x−4)(20−x−4)=−2x2+40x−128=−2(x−10)2+72，
∵−2<0，
∴当x=10时，y有最大值，最大值为72，
此时20−x=10，
∴矩形铁皮的长和宽应各位10cm时，容积最大，最大容积为72cm3．
【解析】(1)设矩形铁皮的长为x cm，则宽为(20−x)cm，然后根据题意求出铁盒的长和宽，再根据长×宽×高=40列出方程，解方程即可；
(2)设铁盒的容积为ycm3，然后根据长方体的体积公式写出函数解析式，由函数的性质求出最值．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程．
25.【答案】②③④
【解析】解：(1)将点A(2,1)先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为(3,−2)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
代入A(2,1)，B(3,−2)得2k+b=13k+b=−2，
解得k=−3b=7，
∴直线AB的解析式为y=−3x+7；
(2)①将直线AB向右平移6个单位长度得到y=−3(x−6)+7=−3x+25；
②将直线AB向下平移6个单位长度得到y=−3x+7−6=−3x+1；
③将直线AB绕点(0,4)按逆时针方向旋转180°得到y=−3x+1；
④将直线AB先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y=−3(x+1)+7−3=−3x+1；
故答案为：②③④．
(1)求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得；
(2)分别求得变换后的函数解析式判断即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律和旋转的性质是解题的关键．
26.【答案】 33
【解析】(1)证明：连接AO并延长交BC于点E，如图：
∵点O是三角形的外心，
∴AE⊥BC，
∵DA，DC是⊙O的切线，
∴AE⊥AD，DA=DC，
∴AD//BC，∠DAC=∠DCA．
∴∠DAC=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
即∠B=∠ACB=∠DAC=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC．
(2)①由(1)可得ACBC=CDAC，即AC2=BC⋅CD，
∴AC= 3×4=2 3，连接OC，
在Rt△AEC中，AC=2 3，CE=2，
∴AE=2 2，
设半径为r，则OE=2 2−r，CE=2，
在Rt△COE中，OE2+CE2=CO2，
代入解得r=3 22，
∴圆的半径为：3 22．
②过点P作PF⊥BC，DM⊥BC，如图：
∵DA，DC是⊙O的切线，
∴OD垂直平分AC，
∴P是AC的中点，
∴PF=12AE= 2，CP= 3，
∴CF=1，BF=3，
在Rt△BPF中，BP= BF2+PF2= 11，
∵AD//BC，
∴DM=AE=2 2，
在Rt△CDM中，CD=3，
∴CM= CD2−DM2=1，
∴BM=5，
在Rt△BDM中，BD= BM2+DM2= 33，
∴BPBD= 11 33= 33，
故答案为： 33．
(1)连接AO并延长交BC与点E，由三角形的外心可得AE⊥BC，再由切线的性质即可得AD//BC，即可得证．
(2)①由(1)可求出AC，AE的长，进而求出圆的半径．
②过P作PF⊥BC，过D作DM⊥BC，分别求出BP、BD的长即可．
本题考查圆的有关性质和勾股定理，熟练性质是解题关键．
27.【答案】解：(1)若m=4，n=3，则有y=x2+4x+3．
当y=x2+4x+3=(x+1)(x+3)=0时，解得：x=−1或x=−3．
∴该函数图象与x轴的两个交点之间的距离为3−(−1)=4．
(2)①将(0,0)和(4,0)代入y=x2+mx+n，得0=n0=16+4m+n，
解得：m=−4，n=0．
∴y=x2−4x，整理得y=(x−2)2−4．
若k=2，则y′的对称轴为x=4，
∴y′=(x−4)2−4，即y′=x2−8x+12．
若k=8时，则y′的对称轴为x=10，
∴y′=(x−10)2−4，即y′=x2−20x+96．
②将点(1,3)代入y=x2+mx+n，得m+n=2．
设x1和x2分别为函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标，
∴x1+x2=−m，x1x2=n．
∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=m2−4n，
∴|x1−x2|= m2−4n．
当k=12|x1−x2|=1时，有12 m2−4n=1，
∴m2−4n−4=0．
∴m2−4n−4=0m+n=2，
解得：m=2，n=0；m=−6，n=8．
当k=2|x1−x2|=1时，有2 m2−4n=1，
∴4m2−16n−1=0．
∴4m2−16n−1=0m+n=2，
解得：m=32，n=12；m=−112，n=152．
【解析】(1)用待定系数法求出函数解析式，再求出与x轴的交点坐标，二者相减取绝对值即可；
(2)①利用待定系数法求出函数解析式，并写成关于x的完全平方形式，新函数的对称轴是将原函数的对称轴向右平移与x轴的两个交点之间距离的12倍或2倍；
②k值为函数与x轴的两个交点之间距离的12倍或2倍，再将点(1,3)代入函数求解方程组即可．
本题通过几何变换，考查了二次函数与x轴的交点、性质等，综合性较强，难度不小，注意分情况讨论．
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