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2023年福建省厦门一中中考数学诊断试卷（6月份）（含解析）
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这是一份2023年福建省厦门一中中考数学诊断试卷（6月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省厦门一中中考数学诊断试卷（6月份）
一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的相反数是( )
A. 12023 B. −12023 C. 2023 D. −2023
2. 下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
3. 2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近1600000个.将数据1600000用科学记数法表示为( )
A. 160×104 B. 16×105 C. 1.6×106 D. 1.6×107
4. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示.下列结论中正确的是( )
A. a>−b B. b<−a C. a>b D. |a|<|b|
6. 下列计算正确的是( )
A. a3+a2=a5 B. a3⋅a2=a5 C. (a2)3=a5 D. a10÷a2=a5
7. 如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损.已知该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为( )
A. 140m B. 70 3m C. 70 5m D. 140 3m
8. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体的密度ρ(单位：kg/m3)随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3根据图象可知，下列说法不正确的是( )
A. ρ与V的函数关系式是ρ=9.9V(V>0)
B. 当ρ=9时，y=1.1
C. 当V>5时，ρ>1.98
D. 当3
9. 不等式x+3≤4的解集是______ ．
10. 四边形的内角和的度数为______ ．
11. 二次函数y=2(x−1)2+3的图象的顶点坐标是______．
12. 在一个不透明的盒子里，装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是______ ．
13. 如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，若∠BDC=42°，则∠AOB的度数为______ ．
14. 如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE=30°，EC=1，则EF= ______ ．
15. 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD、EC交于点G，已知半径为3，则BG的长为______ ．
16. 如图，在正方形ABCD中，∠ADB的平分线交AB边于点E，点F在BC边上，BE=CF，连接AF分别交DE和BD于点G、H，动点P在DE上，PQ⊥BD于点Q，连接PH，则下列结论正确的是：①AF⊥DE；②BF+CD=BD；③CF=32BF；④若BC=2，则PH+PQ的最小值是 2.其中正确的是______ .(填写序号)
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：|1− 3|−(2023−π)0+ 12．
18. (本小题8.0分)
如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC//AD，∠D=∠BAC.求证：AB=DE．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1+1−xx+1)÷2x−2x2+2x+1，其中x= 2+1．
20. (本小题8.0分)
为培养学生“爱护环境，绿化祖国”的观念，厦门一中于3月12日植树节组织全校学生进行植树，活动结束后，学校随机调查了部分学生本次种植树木的数量(单位：棵).根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受调查的学生人数为______ ，图②中m的值为______ ，扇形图中5棵所对应区域的圆心角为______ °；
(2)根据统计的这组学生植树数量的样本数据，估计该校1200名学生植树数量在4棵及4棵以上的人数．
21. (本小题8.0分)
如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AD平分∠BAC．
(1)在线段AD上确定点E，使点∠BED=45°；
(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕边)
(2)在(1)的条件下，连接CE，若∠BAC=50°，求∠CED的度数．
22. (本小题10.0分)
厦门一中数学组为校园“科技节”筹备“数学知识竞赛”活动，计划对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品，已知3件甲种奖品和2件乙种奖品共需70元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需80元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元？
(2)根据颁奖计划，学校需甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品的数量不超过乙的3倍，求购买两种奖品的总费用的最小值．
23. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(1,1)，B(−1,1)，B(−1,1)，C(−1,−1).对于图形M，给出定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M)．
(1)点D的坐标为______ ；
(2)设一次函数y=−x+3的图象是直线l，与x轴交于点E，
①求d(E)；
②记两点的横坐标分别为m和n，若线段PQ在直线l上平移，PQ= 2，m
24. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将线段CA绕点C逆时针旋转α角得到线段CD，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BD，分别交CA、CE于点F、G．
(1)当α=60°时，求∠CBD的大小；
(2)当α≠60°时，试写出线段BG与CE满足的数量关系，并证明；
(3)若F为线段CA的中点，求DG的长．
25. (本小题14.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c经过点A(−12,278)和点B(4,0)，与y轴交于点C，点P抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当S1S2=3625时，求点P的坐标；
(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】C
【解析】解：A、左视图是等腰梯形，不符合题意；
B、左视图是长方形，不符合题意；
C、左视图是三角形，符合题意；
D、左视图是长方形，不符合题意；
故选：C．
根据几何体的特点及三视图的确定方法依次判断即可．
此题考查了几何体的三视图，正确掌握三视图的确定方法及几何体的特点是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：1600000=1.6×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：A.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5.【答案】B
【解析】解：∵−3
∴a<−b
∵|a|=−a；|b|=b．
∴|a|>|b|．
故D错误．
故选：B．
有数轴可知−3
本题以数轴为背景考查了相反数和绝对值比较大小，考核了学生数轴中数形结合的能力，解题关键掌握不等式的性质，以及相反数和绝对的性质．
6.【答案】B
【解析】解：A.a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.a3⋅a2=a5，故本选项符合题意；
C.(a2)3=a6，故本选项不合题意；
D.a10÷a2=a8，故本选项不合题意．
故选：B．
利用合并同类项法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图：
∵该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，
∴BC=12×140=70(m)，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴AC=BC⋅tan60°=70 3(m)，
∴则金字塔原来高度为70 3m，
故选：B．
根据已知易得BC=70m，再根据垂直定义可得∠ACB=90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设ρ=kv(k>0)，
把(5,1.98)代入上式得，k5=1.98，
∴k=9.9，
∴ρ=9.9v，
故选项A正确，不符合题意，
当ρ=9时，v=1.1，
故选项B正确，不符合题意，
由图象可得，当V>5时，0<ρ<1.98，
故选项C不正确，符合题意，
当v=3时，ρ=3.3，v=9时，ρ=1.1，
∴3
故选：C．
设ρ=kv(k>0)，把(5,1.98)代入求出k，即可判断A；令ρ=9，求出v，即可判断B；结合图象即可判断C；当v=3或9时，求出ρ的对应值，即可判断D．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，求出函数解析式是解题的关键．
9.【答案】x≤1
【解析】解：移项得：x≤4−3，
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
不等式移项，合并同类项即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
10.【答案】360°
【解析】解：(4−2)×180°=360°．
故答案为：360°．
根据多边形内角和定理：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)，求解即可．
本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)．
11.【答案】(1,3)
【解析】解：y=ax2+bx+c，
配方得y=a(x+b2a)2+4ac−b24a，
顶点坐标是(−b2a,4ac−b24a)，
∵y=2(x−1)2+3，
∴二次函数y=2(x−1)2+3的图象的顶点坐标是(1,3)．
首先知二次函数的顶点坐标根据顶点式y=a(x+b2a)2+4ac−b24a，知顶点坐标是(−b2a,4ac−b24a)，把已知代入就可求出顶点坐标．
解此题的关键是知二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是(−b2a,4ac−b24a)，和转化形式y=a(x+b2a)2+4ac−b24a，代入即可
12.【答案】25
【解析】解：在不透明的盒子里，共有5个球，其中红球有2个，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到每一个球的可能性是均等的，
所以随意摸出一球是红球的概率为23+2=25，
故答案为：25．
共有5个小球，摸到每一个球的可能性是均等的，其中红球有2个，可以求出任意摸出一球摸到红球的概率．
本题考查简单的随机事件的概率，列举出所有等可能出现的结果情况是解决问题的关键．
13.【答案】84°
【解析】解：∵∠BDC=42°，
∴∠BAC=∠BDC=42°，
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC=42°，
∴∠AOB=2∠ACB=84°，
故答案为：84°．
根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角易得∠ACB的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得答案．
本题考查圆与等腰三角形的性质，结合已知条件求得∠ACB的度数是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：如图，作EG⊥AO于点G，
∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，EC=1，
∴EG=EC=1，
∵∠AFE=30°，
∴EF=2EG=2×1=2，
故答案为：2．
作EG⊥AO于点G，根据角平分线的性质求得EG的长，然后利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
本题考查了角平分线的性质及直角三角形的性质，解题的关键是根据角平分线的性质求得EG的长，难度不大．
15.【答案】2 3
【解析】解：如图，连接OB，OC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠BOC=360°6=60°，∠BCD=∠CDE=(6−2)×180°6=120°，
∵OB=OC，
∴△BOC是正三角形，
∴OB=OC=BC=3，
∵BC=CD=DE，
∴∠CBD=∠DCE=180°−120°2=30°，
∴∠BCG=120°−30°=90°，
在Rt△BCG中，BC=3，∠CBG=30°，
∴BG=BCcos30∘=3 32=2 3，
故答案为：2 3．
根据正六边形的性质得出直角三角形△BCG中，BC=3，∠CBG=30°，由直角三角形的边角关系即可求出BG即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
16.【答案】①②④
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAE=90°=∠ABF，
∵AE=BF，
∴△DAE≌△ABF(SAS)，
∴∠ADE=∠BAF，AE=BF，
∵∠BAF+∠DAF=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE，选项A正确，符合题意；
∴∠AGD=90°=∠HGD，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADG=∠HDG，
∵DG=DG，
∴△ADG≌△HDG(ASA)，
∴AD=DH，∠DAH=∠DHA，AG=GH，
∵∠DAH=∠BFH，
∴∠DHA=∠BFH，
∴∠BHF=∠BFH，
∴BF=BH，
∴AE=BF=BH，
∵BD=DH+BH，
∴BF+CD=BD，故选项B正确，符合题意；
没有条件能说明CF=32BF，故选项C错误，不符合题意；
连接AP，过A作AQ′⊥BD于Q′，AQ′交DE于P′，如图：
∵△ADG≌△HDG，
∴AG=HG，
又DE⊥AF，
∴DE是AH的垂直平分线，
∴AP=PH，
∴PH+PQ=AP+PQ，
∴当A、P、Q共线，即Q与Q′重合，P与P′重合时，AP+PQ最小，PH+PQ也最小，最小值即为AQ′的长，
在Rt△ADQ′中，∠ADQ′=∠ADB=45°，AD=BC=2，
∴AQ′= 22AD= 2，
∴PH+PQ最小值是 2，故选项D正确，符合题意，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
证明△DAE≌△ABF(SAS)，可得∠ADE=∠BAF，AE=BF，AF⊥DE，即可判断A正确；再证明△ADG≌△HDG(ASA)，可得AE=BF=BH，从而判断选项B正确；由已知条件不能说明CF=32BF，可判断选项C错误；连接AP，过A作AQ′⊥BD于Q′，AQ′交DE于P′，可得AP=PH，即知当A、P、Q共线，即Q与Q′重合，P与P′重合时，AP+PQ最小，PH+PQ也最小，最小值即为AQ′的长，在Rt△ADQ′中，可得AQ′= 22AD= 2，从而判断选项D正确．
本题考查轴对称−最短路线问题，正方形的性质，全等三角形判定与性质，动点问题等，解题的关键是熟练应用全等三角形判定定理，熟悉“将军饮马”问题的解决方法．
17.【答案】解：|1− 3|−(2023−π)0+ 12
= 3−1−1+2 3
=3 3−2．
【解析】先算乘方和开方，再化简绝对值，最后加减．
本题考查了实数的运算，掌握零指数幂、绝对值的意义及二次根式的化简是解决本题的关键．
18.【答案】证明：∵BC//AD，
∴∠C=∠DAE，
在△ABC和△DEA中，
∠BAC=∠D∠C=∠DAEBC=EA，
∴△ABC≌△DEA(AAS)，
∴AB=DE．
【解析】由BC//AD，得∠C=∠DAE，而AE=BC，∠D=∠BAC，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABC≌△DEA，得AB=DE．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABC≌△DEA是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(x+1x+1+1−xx+1)÷2x−2x2+2x+1
=2x+1÷2(x−1)(x+1)2
=2x+1⋅(x+1)22(x−1)
=x+1x−1，
当x= 2+1时，
原式= 2+1+1 2+1−1= 2+2 2= 2+1．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】40 20 18
【解析】解：(1)本次接受调查的学生人数为：2÷5%=40(名)；
图②中m的值为：840×100%=20%，即m=20；
扇形图中5棵所对应区域的圆心角为：360°×5%=18°．
故答案为：40；20；18；
(2)1200×(25%+5%)=360(名)．
答：估计该校1200名学生植树数量在4棵及4棵以上的人数为360名．
(1)用植树数量为5棵的人数除以5%即可得出接受调查的学生人数为40；用8除以40即可得出m的值；用360°乘5%即可得出扇形图中5棵所对应区域的圆心角度数；
(2)利用样本估计总体即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】解：(1)作图如下；
(2)∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠BAC=50°，
∴∠ABC=40°，
∴∠ADC=∠ABC=40°，
∵AD平分∠BAC，
∴BD=CD，
∴BD=BC，
∵∠BED=45°，
∴△BDE是等腰Rt△，
∴DB=DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=12(180°−40°)=70°．
【解析】(1)连接BD，以D为圆心，DB为半径，作弧交AD与点E，连接BE，点E即为所求．
(2)证明DB=DE=DC，求出∠ADC=∠ABC=40°，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)设甲种奖品的单价为x元乙种奖品的单价为y元，
根据题意得：3x+2y=702x+3y=80，
解得x=10y=20，
∴甲种奖品的单价为10元，乙种奖品的单价为20元；
答：甲、乙两种奖品的单价分别为10和20元；
(2)设购买甲a件，则a≤3(30−a)，
解得：a≤2212，
w=10a+20(30−a)=−10a+600，
∵−10<0，
∴w随a增大而减小，
∴当a=22时，w有最小值：−10×22+600=380(元)．
答：购买两种奖品的总费用的最小值为380元．
【解析】(1)设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，可得：3x+2y=702x+3y=80，即可解得答案；
(2)设购买甲种奖品a件，购买两种奖品的总费用为w元，由甲种奖品的数量不超过乙的3倍，知a≤3(30−a)，而w=10a+20(30−a)=−10a+600，由一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程组和函数关系式．
23.【答案】(1,−1)
【解析】解：(1)由点A、C的坐标知，点D(1,−1)，
故答案为：(1,−1)；
(2)①对于y=−x+3，
当y=0时，0=−x+3，x=3，
∴E(3,0)，
∴d(E)=BE= (3+1)2+(0−1)2= 17；
②作PG⊥x轴于G，QH⊥y，QH⊥y轴于H，PG与QH交于M，
∴∠PMQ=90°，
由直线l的表达式知，∠PQM=45°，
∵PQ= 2，
∴PM=QM=1，
∵m
∵P、Q均在直线y=−x+3上，
∴P(m,−m+3)，Q(m+1,−m+2)，
∵d(E)=d(E)= 17< 29，
∴d(E)=d(E)
即m<0或m>2；
(ⅰ)当m<0时，d(PQ)=PD，
即：PD2=(1−m)2+(−1+m−3)2=29，
即m2−5m−6=0，
解得：m=−1或6(舍)．
(ⅱ)当m>2时，d(PQ)=BQ，
即：BQ2=(−1−m−1)2+(1+m−2)2=29，
即m2+m−12=0，
解得：m=3或−4(舍)，
综上，m的值为−1或3．
(1)由点A、C的坐标，即可求解；
(2)①求出点E的坐标，即可求解；
②(ⅰ)当m<0时，d(PQ)=PD，即：PD2=(1−m)2+(−1+m−3)2=29，即可求解；(ⅱ)当m>2时，d(PQ)=BQ，同理可解．
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的性质、新定义等，分类求解和数形结合是本题解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，∠ACD=60°，
∴∠BCD=150°，
∵CD=AC=BC，
∴∠CBD=180°−150°2=15°；
(2)如图1，
BG= 2CE，理由如下：
作BH⊥CE，交EC的延长线于点H，
∴∠H=90°，
∴∠CBH+∠BCH=90°，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠H，
∵∠DCB=90°+α，CD=AC=AB，
∴∠BDC=∠CBD=180°−(90°+α)2=45°−12α，
∵CE⊥AD，
∴∠DCE=12∠ACD=12α，
∴∠BGC=∠BDC+∠DCE=45°，
∴BG= 2BH，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCH+∠ACE=90°，
∴∠CBH=∠ACE，
∴△ACE≌△CBH(AAS)，
∴BH=CE，
∴BG= 2CE；
(3)如图2，
作CH⊥BD于H，
由(2)知：∠BGC=45°，
∴CG= 2GH= 2CH，
∵F是AC得中点，
∴CF=12AC=12BC，
∴tan∠BCF=CHBH=CFBC=12，
∴BH=2CH=2GH，
∴BG=3CH，
由(2)知：CE= 22BG，
∴CE=3 22CH，
∴EG=CE−CG= 22CH，
∴DG= 2EG=CH，
∴BC=4，tan∠BCF=12，
∴CH= 55BC=4 55
∴DG=4 55．
【解析】(1)可得出CD=CB，∠BCD=150°，进而得出结果；
(2)作BH⊥CE，可推出∠BGC=45°，可证得△ACE≌△CBH，进而得出BG= 2BH= 2CE；
(3)作CH⊥BD于H，可推出BG=3CH，CG= 2CH，从而得出CE= 22BG=3 22CH，从而得出EG= 22CH，进而得出DG=CH，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
25.【答案】解：(1))∵抛物线y=−12x2+bx+c经过点A(−12,278)和点B(4,0)，
∴−12×14−12b+c=278−12×16+4b+c=0，
解得：b=1c=4，
∴抛物线的解析式：y=−12x2+x+4；
(2)如图1，设直线AB与y轴交于点D，
∴D(0,3)，
∴OD=3，OB=4，OB=4，
∴DB=5；
∵PH⊥AB，PE⊥x，PE⊥x轴，且∠BFE=∠PFH，
∴∠1=∠2，
∴HF=PF⋅sin∠1=35PF，HP=PF⋅cos∠1=45PF，HP=PF⋅cos∠1=45PF，S1=12HF⋅HP=625PF2，
设P(t,−12t2+t+4)，其中0
∴S2=12BE⋅EF=12⋅(4−t)⋅(−34t+3)=38(t−4)2，S1=625(−12t2+74t+1)2=3200(2t+1)2(t−4)2，
当S1S2=3625时，S1S2=125(2t+1)2=3625，
解得：t=52，或t=−72(舍)，
∴P(52,278)；
(3)存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN．
当P在BC上方时，如图2，构Rt△BPQ，
∵∠OBC=45°，BC垂直平分PN，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=45°，∠1=∠2，BP=BN，
∴∠3=∠4，
又∵∠BQP=∠BMN=90°，
∴Rt△BPQ≌Rt△BNM(AAS)，
∴BQ=BM=3，
∴3=−12t2+t+4，
解得：t=1− 3(舍)，或t=1+ 3，
NM=PQ=4−(1+ 3)=3− 3，
∴N(1,3− 3)；
当P在BC下方时，如图3，
同理：Rt△BPQ≌Rt△BNM(AAS)，
∴NQ=PM=3，
于是，3=−12t2+t+4，
解得：t=1− 3，或t=1+ 3(舍)，
BQ=BM=4−(1− 3)=3+ 3，N(1,3+ 3)；
综上，存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN；N的坐标是(1,3− 3)或(1,3+ 3)．
【解析】(1)将A，B的坐标分别代入抛物线和直线AB的解析式，组成方程组，解之即可；
(2)如图，设直线AB与y轴交于点G，易证△PDF∽△BOG，所以PD：DF：PF=OB：OG：AB=3：4：5，所以PD=45PF，DF=35PF，则S1=12⋅PD⋅DF=625PF2，设点P的横坐标为m，则P(m,−12m2+m+4)(0
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，三角形的面积，全等三角形的性质与判定等知识，第(3)问解题关键是将垂直平分的条件转化为三角形的全等，得出线段之间的关系．
2023年福建省厦门一中中考数学诊断试卷（6月份）
一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的相反数是( )
A. 12023 B. −12023 C. 2023 D. −2023
2. 下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
3. 2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近1600000个.将数据1600000用科学记数法表示为( )
A. 160×104 B. 16×105 C. 1.6×106 D. 1.6×107
4. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示.下列结论中正确的是( )
A. a>−b B. b<−a C. a>b D. |a|<|b|
6. 下列计算正确的是( )
A. a3+a2=a5 B. a3⋅a2=a5 C. (a2)3=a5 D. a10÷a2=a5
7. 如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损.已知该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为( )
A. 140m B. 70 3m C. 70 5m D. 140 3m
8. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体的密度ρ(单位：kg/m3)随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3根据图象可知，下列说法不正确的是( )
A. ρ与V的函数关系式是ρ=9.9V(V>0)
B. 当ρ=9时，y=1.1
C. 当V>5时，ρ>1.98
D. 当3
9. 不等式x+3≤4的解集是______ ．
10. 四边形的内角和的度数为______ ．
11. 二次函数y=2(x−1)2+3的图象的顶点坐标是______．
12. 在一个不透明的盒子里，装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是______ ．
13. 如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，若∠BDC=42°，则∠AOB的度数为______ ．
14. 如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE=30°，EC=1，则EF= ______ ．
15. 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD、EC交于点G，已知半径为3，则BG的长为______ ．
16. 如图，在正方形ABCD中，∠ADB的平分线交AB边于点E，点F在BC边上，BE=CF，连接AF分别交DE和BD于点G、H，动点P在DE上，PQ⊥BD于点Q，连接PH，则下列结论正确的是：①AF⊥DE；②BF+CD=BD；③CF=32BF；④若BC=2，则PH+PQ的最小值是 2.其中正确的是______ .(填写序号)
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：|1− 3|−(2023−π)0+ 12．
18. (本小题8.0分)
如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC//AD，∠D=∠BAC.求证：AB=DE．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1+1−xx+1)÷2x−2x2+2x+1，其中x= 2+1．
20. (本小题8.0分)
为培养学生“爱护环境，绿化祖国”的观念，厦门一中于3月12日植树节组织全校学生进行植树，活动结束后，学校随机调查了部分学生本次种植树木的数量(单位：棵).根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受调查的学生人数为______ ，图②中m的值为______ ，扇形图中5棵所对应区域的圆心角为______ °；
(2)根据统计的这组学生植树数量的样本数据，估计该校1200名学生植树数量在4棵及4棵以上的人数．
21. (本小题8.0分)
如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AD平分∠BAC．
(1)在线段AD上确定点E，使点∠BED=45°；
(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕边)
(2)在(1)的条件下，连接CE，若∠BAC=50°，求∠CED的度数．
22. (本小题10.0分)
厦门一中数学组为校园“科技节”筹备“数学知识竞赛”活动，计划对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品，已知3件甲种奖品和2件乙种奖品共需70元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需80元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元？
(2)根据颁奖计划，学校需甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品的数量不超过乙的3倍，求购买两种奖品的总费用的最小值．
23. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(1,1)，B(−1,1)，B(−1,1)，C(−1,−1).对于图形M，给出定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M)．
(1)点D的坐标为______ ；
(2)设一次函数y=−x+3的图象是直线l，与x轴交于点E，
①求d(E)；
②记两点的横坐标分别为m和n，若线段PQ在直线l上平移，PQ= 2，m
24. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将线段CA绕点C逆时针旋转α角得到线段CD，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BD，分别交CA、CE于点F、G．
(1)当α=60°时，求∠CBD的大小；
(2)当α≠60°时，试写出线段BG与CE满足的数量关系，并证明；
(3)若F为线段CA的中点，求DG的长．
25. (本小题14.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c经过点A(−12,278)和点B(4,0)，与y轴交于点C，点P抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当S1S2=3625时，求点P的坐标；
(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】C
【解析】解：A、左视图是等腰梯形，不符合题意；
B、左视图是长方形，不符合题意；
C、左视图是三角形，符合题意；
D、左视图是长方形，不符合题意；
故选：C．
根据几何体的特点及三视图的确定方法依次判断即可．
此题考查了几何体的三视图，正确掌握三视图的确定方法及几何体的特点是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：1600000=1.6×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：A.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5.【答案】B
【解析】解：∵−3
∴a<−b
∵|a|=−a；|b|=b．
∴|a|>|b|．
故D错误．
故选：B．
有数轴可知−3
本题以数轴为背景考查了相反数和绝对值比较大小，考核了学生数轴中数形结合的能力，解题关键掌握不等式的性质，以及相反数和绝对的性质．
6.【答案】B
【解析】解：A.a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.a3⋅a2=a5，故本选项符合题意；
C.(a2)3=a6，故本选项不合题意；
D.a10÷a2=a8，故本选项不合题意．
故选：B．
利用合并同类项法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图：
∵该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，
∴BC=12×140=70(m)，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴AC=BC⋅tan60°=70 3(m)，
∴则金字塔原来高度为70 3m，
故选：B．
根据已知易得BC=70m，再根据垂直定义可得∠ACB=90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设ρ=kv(k>0)，
把(5,1.98)代入上式得，k5=1.98，
∴k=9.9，
∴ρ=9.9v，
故选项A正确，不符合题意，
当ρ=9时，v=1.1，
故选项B正确，不符合题意，
由图象可得，当V>5时，0<ρ<1.98，
故选项C不正确，符合题意，
当v=3时，ρ=3.3，v=9时，ρ=1.1，
∴3
故选：C．
设ρ=kv(k>0)，把(5,1.98)代入求出k，即可判断A；令ρ=9，求出v，即可判断B；结合图象即可判断C；当v=3或9时，求出ρ的对应值，即可判断D．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，求出函数解析式是解题的关键．
9.【答案】x≤1
【解析】解：移项得：x≤4−3，
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
不等式移项，合并同类项即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
10.【答案】360°
【解析】解：(4−2)×180°=360°．
故答案为：360°．
根据多边形内角和定理：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)，求解即可．
本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)．
11.【答案】(1,3)
【解析】解：y=ax2+bx+c，
配方得y=a(x+b2a)2+4ac−b24a，
顶点坐标是(−b2a,4ac−b24a)，
∵y=2(x−1)2+3，
∴二次函数y=2(x−1)2+3的图象的顶点坐标是(1,3)．
首先知二次函数的顶点坐标根据顶点式y=a(x+b2a)2+4ac−b24a，知顶点坐标是(−b2a,4ac−b24a)，把已知代入就可求出顶点坐标．
解此题的关键是知二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是(−b2a,4ac−b24a)，和转化形式y=a(x+b2a)2+4ac−b24a，代入即可
12.【答案】25
【解析】解：在不透明的盒子里，共有5个球，其中红球有2个，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到每一个球的可能性是均等的，
所以随意摸出一球是红球的概率为23+2=25，
故答案为：25．
共有5个小球，摸到每一个球的可能性是均等的，其中红球有2个，可以求出任意摸出一球摸到红球的概率．
本题考查简单的随机事件的概率，列举出所有等可能出现的结果情况是解决问题的关键．
13.【答案】84°
【解析】解：∵∠BDC=42°，
∴∠BAC=∠BDC=42°，
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC=42°，
∴∠AOB=2∠ACB=84°，
故答案为：84°．
根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角易得∠ACB的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得答案．
本题考查圆与等腰三角形的性质，结合已知条件求得∠ACB的度数是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：如图，作EG⊥AO于点G，
∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，EC=1，
∴EG=EC=1，
∵∠AFE=30°，
∴EF=2EG=2×1=2，
故答案为：2．
作EG⊥AO于点G，根据角平分线的性质求得EG的长，然后利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
本题考查了角平分线的性质及直角三角形的性质，解题的关键是根据角平分线的性质求得EG的长，难度不大．
15.【答案】2 3
【解析】解：如图，连接OB，OC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠BOC=360°6=60°，∠BCD=∠CDE=(6−2)×180°6=120°，
∵OB=OC，
∴△BOC是正三角形，
∴OB=OC=BC=3，
∵BC=CD=DE，
∴∠CBD=∠DCE=180°−120°2=30°，
∴∠BCG=120°−30°=90°，
在Rt△BCG中，BC=3，∠CBG=30°，
∴BG=BCcos30∘=3 32=2 3，
故答案为：2 3．
根据正六边形的性质得出直角三角形△BCG中，BC=3，∠CBG=30°，由直角三角形的边角关系即可求出BG即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
16.【答案】①②④
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAE=90°=∠ABF，
∵AE=BF，
∴△DAE≌△ABF(SAS)，
∴∠ADE=∠BAF，AE=BF，
∵∠BAF+∠DAF=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE，选项A正确，符合题意；
∴∠AGD=90°=∠HGD，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADG=∠HDG，
∵DG=DG，
∴△ADG≌△HDG(ASA)，
∴AD=DH，∠DAH=∠DHA，AG=GH，
∵∠DAH=∠BFH，
∴∠DHA=∠BFH，
∴∠BHF=∠BFH，
∴BF=BH，
∴AE=BF=BH，
∵BD=DH+BH，
∴BF+CD=BD，故选项B正确，符合题意；
没有条件能说明CF=32BF，故选项C错误，不符合题意；
连接AP，过A作AQ′⊥BD于Q′，AQ′交DE于P′，如图：
∵△ADG≌△HDG，
∴AG=HG，
又DE⊥AF，
∴DE是AH的垂直平分线，
∴AP=PH，
∴PH+PQ=AP+PQ，
∴当A、P、Q共线，即Q与Q′重合，P与P′重合时，AP+PQ最小，PH+PQ也最小，最小值即为AQ′的长，
在Rt△ADQ′中，∠ADQ′=∠ADB=45°，AD=BC=2，
∴AQ′= 22AD= 2，
∴PH+PQ最小值是 2，故选项D正确，符合题意，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
证明△DAE≌△ABF(SAS)，可得∠ADE=∠BAF，AE=BF，AF⊥DE，即可判断A正确；再证明△ADG≌△HDG(ASA)，可得AE=BF=BH，从而判断选项B正确；由已知条件不能说明CF=32BF，可判断选项C错误；连接AP，过A作AQ′⊥BD于Q′，AQ′交DE于P′，可得AP=PH，即知当A、P、Q共线，即Q与Q′重合，P与P′重合时，AP+PQ最小，PH+PQ也最小，最小值即为AQ′的长，在Rt△ADQ′中，可得AQ′= 22AD= 2，从而判断选项D正确．
本题考查轴对称−最短路线问题，正方形的性质，全等三角形判定与性质，动点问题等，解题的关键是熟练应用全等三角形判定定理，熟悉“将军饮马”问题的解决方法．
17.【答案】解：|1− 3|−(2023−π)0+ 12
= 3−1−1+2 3
=3 3−2．
【解析】先算乘方和开方，再化简绝对值，最后加减．
本题考查了实数的运算，掌握零指数幂、绝对值的意义及二次根式的化简是解决本题的关键．
18.【答案】证明：∵BC//AD，
∴∠C=∠DAE，
在△ABC和△DEA中，
∠BAC=∠D∠C=∠DAEBC=EA，
∴△ABC≌△DEA(AAS)，
∴AB=DE．
【解析】由BC//AD，得∠C=∠DAE，而AE=BC，∠D=∠BAC，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABC≌△DEA，得AB=DE．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABC≌△DEA是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(x+1x+1+1−xx+1)÷2x−2x2+2x+1
=2x+1÷2(x−1)(x+1)2
=2x+1⋅(x+1)22(x−1)
=x+1x−1，
当x= 2+1时，
原式= 2+1+1 2+1−1= 2+2 2= 2+1．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】40 20 18
【解析】解：(1)本次接受调查的学生人数为：2÷5%=40(名)；
图②中m的值为：840×100%=20%，即m=20；
扇形图中5棵所对应区域的圆心角为：360°×5%=18°．
故答案为：40；20；18；
(2)1200×(25%+5%)=360(名)．
答：估计该校1200名学生植树数量在4棵及4棵以上的人数为360名．
(1)用植树数量为5棵的人数除以5%即可得出接受调查的学生人数为40；用8除以40即可得出m的值；用360°乘5%即可得出扇形图中5棵所对应区域的圆心角度数；
(2)利用样本估计总体即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】解：(1)作图如下；
(2)∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠BAC=50°，
∴∠ABC=40°，
∴∠ADC=∠ABC=40°，
∵AD平分∠BAC，
∴BD=CD，
∴BD=BC，
∵∠BED=45°，
∴△BDE是等腰Rt△，
∴DB=DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=12(180°−40°)=70°．
【解析】(1)连接BD，以D为圆心，DB为半径，作弧交AD与点E，连接BE，点E即为所求．
(2)证明DB=DE=DC，求出∠ADC=∠ABC=40°，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)设甲种奖品的单价为x元乙种奖品的单价为y元，
根据题意得：3x+2y=702x+3y=80，
解得x=10y=20，
∴甲种奖品的单价为10元，乙种奖品的单价为20元；
答：甲、乙两种奖品的单价分别为10和20元；
(2)设购买甲a件，则a≤3(30−a)，
解得：a≤2212，
w=10a+20(30−a)=−10a+600，
∵−10<0，
∴w随a增大而减小，
∴当a=22时，w有最小值：−10×22+600=380(元)．
答：购买两种奖品的总费用的最小值为380元．
【解析】(1)设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，可得：3x+2y=702x+3y=80，即可解得答案；
(2)设购买甲种奖品a件，购买两种奖品的总费用为w元，由甲种奖品的数量不超过乙的3倍，知a≤3(30−a)，而w=10a+20(30−a)=−10a+600，由一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程组和函数关系式．
23.【答案】(1,−1)
【解析】解：(1)由点A、C的坐标知，点D(1,−1)，
故答案为：(1,−1)；
(2)①对于y=−x+3，
当y=0时，0=−x+3，x=3，
∴E(3,0)，
∴d(E)=BE= (3+1)2+(0−1)2= 17；
②作PG⊥x轴于G，QH⊥y，QH⊥y轴于H，PG与QH交于M，
∴∠PMQ=90°，
由直线l的表达式知，∠PQM=45°，
∵PQ= 2，
∴PM=QM=1，
∵m
∵P、Q均在直线y=−x+3上，
∴P(m,−m+3)，Q(m+1,−m+2)，
∵d(E)=d(E)= 17< 29，
∴d(E)=d(E)
即m<0或m>2；
(ⅰ)当m<0时，d(PQ)=PD，
即：PD2=(1−m)2+(−1+m−3)2=29，
即m2−5m−6=0，
解得：m=−1或6(舍)．
(ⅱ)当m>2时，d(PQ)=BQ，
即：BQ2=(−1−m−1)2+(1+m−2)2=29，
即m2+m−12=0，
解得：m=3或−4(舍)，
综上，m的值为−1或3．
(1)由点A、C的坐标，即可求解；
(2)①求出点E的坐标，即可求解；
②(ⅰ)当m<0时，d(PQ)=PD，即：PD2=(1−m)2+(−1+m−3)2=29，即可求解；(ⅱ)当m>2时，d(PQ)=BQ，同理可解．
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的性质、新定义等，分类求解和数形结合是本题解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，∠ACD=60°，
∴∠BCD=150°，
∵CD=AC=BC，
∴∠CBD=180°−150°2=15°；
(2)如图1，
BG= 2CE，理由如下：
作BH⊥CE，交EC的延长线于点H，
∴∠H=90°，
∴∠CBH+∠BCH=90°，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠H，
∵∠DCB=90°+α，CD=AC=AB，
∴∠BDC=∠CBD=180°−(90°+α)2=45°−12α，
∵CE⊥AD，
∴∠DCE=12∠ACD=12α，
∴∠BGC=∠BDC+∠DCE=45°，
∴BG= 2BH，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCH+∠ACE=90°，
∴∠CBH=∠ACE，
∴△ACE≌△CBH(AAS)，
∴BH=CE，
∴BG= 2CE；
(3)如图2，
作CH⊥BD于H，
由(2)知：∠BGC=45°，
∴CG= 2GH= 2CH，
∵F是AC得中点，
∴CF=12AC=12BC，
∴tan∠BCF=CHBH=CFBC=12，
∴BH=2CH=2GH，
∴BG=3CH，
由(2)知：CE= 22BG，
∴CE=3 22CH，
∴EG=CE−CG= 22CH，
∴DG= 2EG=CH，
∴BC=4，tan∠BCF=12，
∴CH= 55BC=4 55
∴DG=4 55．
【解析】(1)可得出CD=CB，∠BCD=150°，进而得出结果；
(2)作BH⊥CE，可推出∠BGC=45°，可证得△ACE≌△CBH，进而得出BG= 2BH= 2CE；
(3)作CH⊥BD于H，可推出BG=3CH，CG= 2CH，从而得出CE= 22BG=3 22CH，从而得出EG= 22CH，进而得出DG=CH，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
25.【答案】解：(1))∵抛物线y=−12x2+bx+c经过点A(−12,278)和点B(4,0)，
∴−12×14−12b+c=278−12×16+4b+c=0，
解得：b=1c=4，
∴抛物线的解析式：y=−12x2+x+4；
(2)如图1，设直线AB与y轴交于点D，
∴D(0,3)，
∴OD=3，OB=4，OB=4，
∴DB=5；
∵PH⊥AB，PE⊥x，PE⊥x轴，且∠BFE=∠PFH，
∴∠1=∠2，
∴HF=PF⋅sin∠1=35PF，HP=PF⋅cos∠1=45PF，HP=PF⋅cos∠1=45PF，S1=12HF⋅HP=625PF2，
设P(t,−12t2+t+4)，其中0
∴S2=12BE⋅EF=12⋅(4−t)⋅(−34t+3)=38(t−4)2，S1=625(−12t2+74t+1)2=3200(2t+1)2(t−4)2，
当S1S2=3625时，S1S2=125(2t+1)2=3625，
解得：t=52，或t=−72(舍)，
∴P(52,278)；
(3)存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN．
当P在BC上方时，如图2，构Rt△BPQ，
∵∠OBC=45°，BC垂直平分PN，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=45°，∠1=∠2，BP=BN，
∴∠3=∠4，
又∵∠BQP=∠BMN=90°，
∴Rt△BPQ≌Rt△BNM(AAS)，
∴BQ=BM=3，
∴3=−12t2+t+4，
解得：t=1− 3(舍)，或t=1+ 3，
NM=PQ=4−(1+ 3)=3− 3，
∴N(1,3− 3)；
当P在BC下方时，如图3，
同理：Rt△BPQ≌Rt△BNM(AAS)，
∴NQ=PM=3，
于是，3=−12t2+t+4，
解得：t=1− 3，或t=1+ 3(舍)，
BQ=BM=4−(1− 3)=3+ 3，N(1,3+ 3)；
综上，存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN；N的坐标是(1,3− 3)或(1,3+ 3)．
【解析】(1)将A，B的坐标分别代入抛物线和直线AB的解析式，组成方程组，解之即可；
(2)如图，设直线AB与y轴交于点G，易证△PDF∽△BOG，所以PD：DF：PF=OB：OG：AB=3：4：5，所以PD=45PF，DF=35PF，则S1=12⋅PD⋅DF=625PF2，设点P的横坐标为m，则P(m,−12m2+m+4)(0
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，三角形的面积，全等三角形的性质与判定等知识，第(3)问解题关键是将垂直平分的条件转化为三角形的全等，得出线段之间的关系．
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