福建省漳州市第三中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份福建省漳州市第三中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了考试结束，监考员将答题卡收回， 下列计算正确的是， 函数的定义域为， 三个数，，之间的大小关系是， “”是“函数在上单调递增”的， 已知函数，同时满足条件等内容，欢迎下载使用。
漳州三中2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷
（命题范围：集合与逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数的概念与性质，指数函数）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上填涂区域是否准确，前两位填涂班级，后两位填涂座号.
2.考试结束，监考员将答题卡收回.
第Ⅰ卷 选择题
一.选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断.
【详解】由题，故A错；
∵，，∴，B正确；
，C错；
，D错；
故选:B
2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】判断两函数是否同一函数，只需判断是否有相同的定义域和对应关系即可.
【详解】选项A：的定义域为,定义域为，两函数定义域不同，故不是同一函数；
选项B：定义域为且,定义域为,两函数定义域对应关系相同，故是同一函数；
选项C：与的解析式不同，故不是同一函数；
选项D：
的定义域为，定义域为，两函数定义域不同，故不是同一函数；
故选：B
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数幂的运算逐一判断即可得到结果.
【详解】∵，∴A错误；
∵，不是同类项，∴，∴B错误；
∵，∴C错误；
∵，∴D正确，
故选:D．
4. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数成立的意义，列方程组，从而解出答案.
【详解】要使函数有意义，
则 ，解得
则函数的定义域为.
故选：B．
5. 三个数，，之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先与1比较大小，再根据幂函数单调性确定大小.
【详解】因为，,
又为上单调递增函数，所以,
综上，选B.
【点睛】本题考查比较大小以及幂函数单调性，考查基本分析判断能力.
6. 已知正数x，y满足1，则xy的最小值是 （ ）
A. 18 B. 16 C. 15 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据“1”的技巧，利用均值不等式求解即可.
【详解】因为正数x，y满足1
所以，
即，解得，所以，
当且仅当时等号成立.
故选：B
7. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出函数在区间上单调的充要条件，再根据集合的包含关系及充分条件、必要条件的定义判断可得；
【详解】解：若函数在上单调递增，即在上单调递增，则，
因为，所以由得不到函数在上单调递增，由函数在上单调递增可以得到，故“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件；
故选：B
8. 已知函数，同时满足条件：①或；②，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数、二次函数图像与性质求解即可
【详解】当时，，
要使或，
则当时，恒成立，
此时根据二次函数的性质可知：，
又，使得，
当时，，
所以存在，使得，
由上面分析与二次函数的性质可知：
解得，
故选：B
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选漏选得2分，多选错选不得分）
9. 若，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】以求差法判断选项AB；以均值定理判断选项C；以绝对值几何意义判断选项D.
【详解】选项A：，由，可知，，，
则，即.选项A判断错误；
选项B：，由，可知，，，则，即.选项B判断正确；
选项C：当时，.选项C判断正确；
选项D：当时，.选项D判断正确.
故选：BCD
10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式的解集判断出，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.
【详解】关于的不等式的解集为选项正确；
且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，
则，则，C选项错误；
不等式即为，解得选项正确；
不等式即为，即，解得或选项正确.
故选：.
11. 设集合，，则的子集个数可能为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】BC
【解析】
【分析】讨论、确定集合M，在的情况继续讨论、确定的元素个数，即可求子集个数.
【详解】当时，，则：
若，则，子集有8个，
若，则，子集有4个；
当时，，此时，其子集有4个；
综上，的子集个数可能为4或8个.
故选：BC
12. 高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设，用符号表示不大于x的最大整数，如，称函数叫做高斯函数．下列关于高斯函数的说法正确的有（ ）
A. B. 若，则
C. 函数的值域是 D. 函数在上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】由高斯函数的定义逐一判断即可.
【详解】解：对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确；
对B，若，则，而表示不大于x的最大整数，则，即，故B正确；
对C，函数，当时，，故C错误；
对D，函数，即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷 非选择题
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. ______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂求解作答.
【详解】.
故答案为：8
14. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求解
【详解】时，，是奇函数，
此时
故答案为：
15. 已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.
【答案】
【解析】
【详解】令3x＋2＝4，得x＝，则2x＋1＝2×＋1＝，∴a＝.
16. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.
【详解】设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，
对于①，，，，，
∴，，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②，，，，
∴，，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③，，，，，
∴，，
，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④，，，，
∴，，
∴，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.
故答案为：①②④.
四．解答题（共6小题，满分70分，其中第17题10分，18-22题每题12分）
17. 已知全集，集合，.
（1）求，；
（2）求，并写出它的所有子集.
【答案】（1），；
（2），对应所有子集见解析.
【解析】
【分析】（1）解一元二次方程求集合A，应用集合的交、并运算求、；
（2）应用交补运算可得，进而写出所有子集.
【小问1详解】
由题设，，，
所以，.
【小问2详解】
由（1）知：，则，
对应子集有，
18. 已知函数．

（1）求，；
（2）若，求的值；
（3）在给定的坐标系中，作出函数的图象．
【答案】（1）
（2）的值为或1或4
（3）图见详解
【解析】
【分析】（1）根据分段函数的解析式求解．
（2）对的范围分三种情况讨论，分别求出对应的的值即可．
（3）根据分段函数的解析式，分别画出每一段的图象即可．
【小问1详解】
因为，
所以，
由，
所以；
【小问2详解】
当时，，
当时，；
当时，；
综上所述的值为或1或4；
【小问3详解】
函数的图像，如图所示，

19. 已知，
（1）当时，求;
（2）已知“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先解分式不等式得到集合A，再解指数不等式得到集合，再求出集合的补集，从而可求出；
（2）先求得集合，再由题设条件得到，列不等式可求出结果.
【小问1详解】
由，得，得，
即，解得或，故或，
当时，由，得 ，故，即，
故，所以，
所以或
【小问2详解】
由得，故，即，故，
由“”是“”的必要条件得，
所以，解得，即.
20. 已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）当，时，记，的值域分别为集合，，设命题，命题，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）0；（2）.
【解析】
【分析】（1）由幂函数的定义，再结合单调性，即得解.
（2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解.
【详解】（1）依题意得：，或，
当时，在上单调递减，
与题设矛盾，舍去，
.
（2）由（1）得：，
当，时，，，即，，
当，时，，，即，，
若命题是成立的必要条件，则，
则，即，
解得：.
【点睛】本题考查了函数性质与逻辑综合，考查了学生综合分析，逻辑推理，数形运算能力，属于中档题.
21. 1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
（1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
（2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.
【答案】（1）40 （2）该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元.
【解析】
【分析】（1）设出未知数，列不等式进行求解；（2）根据题意，得到关于的关系式，，利用基本不等式进行求解
【小问1详解】
设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米

解得：
所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米
【小问2详解】

整理得：
除以得：
由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元/平方米.
22. 设，函数.
（1）若，求证：函数奇函数；
（2）若，判断并证明函数的单调性；
（3）若，函数在区间上的取值范围是，求的范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断，即可得到结果；
（2）根据函数单调性定义判断，即可得到结果；
（3）根据题意可得，，然后分，两种情况，结合函数的单调性分类讨论，即可得到结果.
【小问1详解】
当时，有且定义域为，
综上有：的定义域关于原点对称且，即为奇函数；
【小问2详解】
时，有，即定义域为，结论为：在上单调递增.
设对任意两个实数：，则
而，
，即得证.
【小问3详解】
由知，，由知：，所以，，所以或，
当时，由（2）知在上单调递增，结合题意有，
，得，即是的两个不同的实根，
令，则在上有两个不同实根，
故，可得，
当时，在上都递减，
若，有，则与矛盾，舍去；
若，有，即有
即，所以，两式相减得
，又，即有，则；
综上有.