高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品同步达标检测题

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3.2.1 双曲线及其标准方程
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：求椭圆焦点,焦距；求共焦点的椭圆方程；椭圆中x,y的取值范围；椭圆的对称性；求椭圆的短轴，长袖；求椭圆的离心率；椭圆的实际应用
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳

一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
二、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


考点讲解



考点1：双曲线定义辨析
例1．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于___________.
【答案】17
【详解】由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故.
因为点与一个焦点的距离等于1，而，
故点与该焦点同在轴的上方或下方，
故点与另一个焦点的距离为，
故答案为：.
【方法技巧】
根据双曲线的定义可求点与另一个焦点的距离.
【变式训练】
【变式1】．已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的定义即可求解.
【详解】解：由题意，因为，
所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，
故选：C.
【变式2】．已知双曲线的两个焦点分别为、，为双曲线上一点，且，则的面积为_________.
【答案】9
【分析】利用双曲线定义结合勾股定理求出，再计算面积作答.
【详解】依题意，双曲线的焦点、，，
因，则有，
即有，解得，
所以的面积.
故答案为：9
【变式3】．已知双曲线的左，右焦点分别为，，在双曲线的右支存在一点，使，求点的坐标．
【详解】解：由双曲线得，右准线方程为，
双曲线的右支存在一点，
由，，解得，
设d为点到准线的距离，则由双曲线的定义可得：，
所以，，又，解得，
代入得，
所以．

考点2：利用双曲线定义求方程
例2．数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由可得
4
表示点（x，1）到定点（-3，0）和（3，0）的距离之差等于4，
由双曲线的定义可知，点（x，1）在以（-3，0）和（3，0）为焦点，
的双曲线的右支上，所以，所以双曲线方程为，
令可得，因为，所以，
即方程的解是，
故选：C.
【方法技巧】
根据题意给的概念可知所求方程表示点（x,1）到定点（-3,0）和（3,0）的距离之差等于4，结合双曲线的定义求出双曲线方程，令，求出x即可.
【变式训练】
【变式1】．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.
故选：C.
【变式2】．已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.
【答案】
【详解】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，
设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.
故答案为：.
【变式3】．若动圆与两定圆及都外切，则动圆圆心的轨迹方程是___________.
【答案】
【详解】设圆为可得圆心，半径，
设圆为可得圆心，半径，且，
设动圆圆心为，半径为，因为动圆同时与圆外切和圆外切，
所以，，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
所以，，，
所以动圆的圆心的轨迹方程为：.
故答案为：.
考点3：利用双曲线的定义求到焦点的距离及最值
例3．已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则，
连接与双曲线的另一个焦点，如下所示：


由双曲线的定义可知，，
又双曲线方程为，故，
又点坐标为，双曲线的渐近线为，
故点到渐近线的距离为，
故.
故选：B.
【方法技巧】
根据双曲线的定义，结合点到直线的距离最短，求解即可.
【变式训练】
【变式1】．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（       ）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义即可求出答案.
【详解】因为双曲线，
所以，则，
因为点P到它的一个焦点的距离等于6，
设点P到另一个焦点的距离为，
所以，解得或
故选：D.
【变式2】．已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（       ）
A． B． C．7 D．8
【答案】A
【分析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.
【详解】
由题设知，，，，圆的半径
由点为双曲线右支上的动点知
，∴
∴.
故选：A
【变式3】．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（       ）
A．19 B．25 C．37 D．85
【答案】B
【分析】设，可表示，利用基本不等式计算即可.
【详解】由题意，双曲线焦点坐标为，
设，且，则，


当且仅当即时等号成立，
所以最小值为25，
故选：B.
考点4：求参数范围
例4．若方程表示双曲线，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，解得，
故选：A
【方法技巧】
根据双曲线的定义可知与同号，从而可求出m的取值范围
【变式训练】
【变式1】．“k<2”是“方程表示双曲线”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的定义，双曲线方程的定义进行分析即可
【详解】∵方程为双曲线，∴，
∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，
故选：A.
【变式2】（多选）．关于方程且所对应的图形，下列说法正确的是（       ）
A．若方程表示一个圆，则
B．无论为何值时，该方程只可能表示一个圆或一个椭圆
C．当时，方程表示一个焦点在轴上的椭圆
D．当时，方程表示一个焦点在轴上的椭圆
【答案】AD
【分析】根据给定方程逐一分析各选项中的条件即可判断作答.
【详解】对于A，方程表示一个圆，则，解得：，A正确；
对于B，当时，，方程表示焦点在y轴上的双曲线，B不正确；
当时，，方程表示一个焦点在轴上的椭圆，C不正确，D正确.
故选：AD
【变式3】．已知方程表示双曲线，则实数k的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据方程为双曲线，可得，解不等式即可得答案.
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，解得或，
所以实数k的取值范围为.
故答案为：
考点5：根据双曲线的点求标准方程
例5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)焦点轴上，且过点，.
解：（1）当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为，
将代入，得．
又点在双曲线上，
有，由此得，不合题意，舍去．
当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为0)，
∵a=4，故，
把点坐标代入，得，解得．
故所求双曲线方程为．
（2）设双曲线方程为，将已知点坐标代入，
得，解得．
∴所求方程为．
【方法技巧】
(1)根据双曲线焦点在x轴和y轴上进行讨论即可求解；
(2)可设双曲线方程为，代入两个点的坐标即可求解．
【变式训练】
【变式1】．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知得双曲线的焦点在x轴上，设该双曲线的方程为，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．
【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点在该双曲线上．
设该双曲线的方程为，
则解得，，
故该双曲线的标准方程是．
故选：D.
【变式2】．求适合下列条件的圆锥曲线方程：
(1)焦点坐标为，短轴长为2的椭圆方程.
(2)焦点在x轴上，经过点的双曲线.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知得，根据椭圆中a、b、c三量关系求出a值即可得到椭圆方程；
（2）已知a和双曲线上一点，设双曲线方程，通过待定系数法求解即可.
（1）根据题意可得，椭圆长轴在x轴上，且，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）根据题意可得，双曲线实轴在x轴上，
设双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线方程为.
考点6：求双曲线的轨迹方程
例6．已知，，若点满足，则P点的轨迹是什么，并求点P的轨迹方程.
【分析】分，，和，由分别求轨迹方程即可.
【详解】当时，易知，即点在的垂直平分线上，故P点的轨迹是直线，轨迹方程为：；
当时，由，知P点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，
又知，故轨迹方程为；
当时，由知P点的轨迹是射线，轨迹方程为；
当时，显然满足的点不存在.
综上：当时，轨迹是直线，轨迹方程为：；
当时，轨迹是以为焦点的双曲线的右支，轨迹方程为；
当时，轨迹是射线，轨迹方程为；
当时，点不存在.
【方法技巧】
1.建立坐标系
2.设出所求目标
3.找到限制条件
4.带入
5.化简
6.下结论
【变式训练】
【变式1】．如图，已知，两地相距600m，在地听到炮弹爆炸声比在地早1s，且声速为340m/s..以线段的中点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设炮弹爆炸点，可得，利用双曲线的定义即得.
【详解】设炮弹爆炸点的坐标为，则，
所以的轨迹是以，为焦点，实轴长为340的双曲线的左支.
因为，所以，又，
所以，，
故炮弹爆炸点的轨迹方程为.
故选：B.
【变式2】．方程－＝12的化简结果为（       ）
A．－＝1B．－＝1C．－＝1(x＞0)D．－＝1(x＞0)
【答案】C
【分析】设A(−10,0)，B(10,0)，，求出动点的轨迹方程即得解.
【详解】解：设A(−10,0)，B(10,0)，，
由于动点P(x,y)的轨迹方程为－＝12，
则|PA|−|PB|=12，故点P到定点A(−10,0)与到定点B(10,0)的距离差为12，
则动点P(x,y)的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，
由于2a=12，c=10，则，
故P的轨迹的标准方程为－＝1(x＞0).
所以原方程可以化简为－＝1(x＞0).
故选：C
【变式3】．已知点，，若曲线上存在点P满足，则下列正确的是（            ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可判断点P在双曲线上，将已知转化为曲线与双曲线相交，利用直线与渐近线的位置关系可得解.
【详解】点，，且，故点P在双曲线的下支上.
所以双曲线的方程为，其渐近线方程为，
又点P在曲线上，即点P在曲线上，
即曲线与双曲线相交，，即
故选：D
【变式4】．动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据圆与圆的位置关系，进而结合双曲线的定义即可求得答案.
【详解】设动圆M的半径为r，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为动圆M与圆和圆均外切，所以，，所以，所以点M的轨迹是以点，为焦点的双曲线的右支．，，，所以.所以动圆圆心M的轨迹方程为．
故选：A．

知识小结

一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
二、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


巩固提升

一、单选题
1．若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（       ）
A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5
【答案】D
【分析】由方程表示双曲线有，即可求参数范围.
【详解】由题设，，可得.
故选：D
2．设非零实数，使得曲线：是双曲线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线方程的特征判断即可得出结果.
【详解】曲线：是双曲线，则实数，异号，即.
故选：C
3．若双曲线的焦点为，，则b等于（       ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的列出方程，求出.
【详解】由题意得：，解得：
因为，
所以.
故选：B
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】由双曲线定义可直接构造方程求得结果.
【详解】由双曲线方程知：；
根据双曲线定义知：，解得：（舍）或.
故选：B.
5．双曲线 的虚轴长为（       ）
A． B．2 C．4 D．2
【答案】C
【分析】设双曲线的虚轴长为，根据双曲线方程，即可求出，由此即可求出结果.
【详解】设双曲线的虚轴长为，
因为，所以，所以双曲线的虚轴长为．
故选：C
6．已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（       ）
A．28 B．36 C．44 D．48
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义求解即可.
【详解】如图所示：

∵双曲线的左焦点为，
∴点是双曲线的右焦点，又，∴虚轴长为2b＝8，∴．
∵①，②，
∴①+②得，
∴的周长．
故选：C
7．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
8．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义知，，即可求出双曲线的标准方程.
【详解】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，
则由题意可知，，即，故，
所以双曲线的标准方程为.
故选：C．
二、多选题
9．已知曲线.则（       ）
A．若m>n>0，则C是椭圆
B．若m=n>0，则C是圆
C．若mn<0，则C是双曲线
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ABCD
【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，当时，，
，方程表示焦点在轴上的椭圆，A选项正确.
B选项，当时，，表示圆，B选项正确.
C选项，当时，，表示双曲线，C选项正确.
D选项，当时，，表示两条直线，D选项正确.
故选：ABCD
10．若为任意实数，则方程表示的曲线可能是（       ）
A．圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线
【答案】ABCD
【分析】对分类讨论，分别求出所对应的曲线方程，即可判断；
【详解】解：当时，由，得，方程表示圆，故A正确
当时，由，得，方程表示双曲线，故D正确；
当时，由，得，方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；
当时，得表示垂直轴的直线，故B正确；
故选：ABCD
三、填空题
11．经过两点，的双曲线的标准方程为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答.
【详解】设双曲线方程为，依题意有，解得，
所以所求双曲线的标准方程为：.
故答案为：
12．已知焦点､，双曲线上的一点P到､的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为___________.
【答案】
【分析】根据双曲线的定义，结合焦点坐标，即可求得，从而解得其标准方程.
【详解】因为双曲线的焦点为､，故可设其方程为，且，
根据双曲线的定义，由题可得：，即，故，
则所求所曲线方程为：.
故答案为：.
13．不等式的解集为______．
【答案】
【分析】根据,可看作是上的点到双曲线的焦点和的距离之差的绝对值小于4,进而根据双曲线的特征即可判断出点的位置,即可求解.
【详解】原不等式可化为，即平面上一点到点和距离之差的绝对值小于4的解．双曲线上的点到点和的距离之差的绝对值为4，且双曲线与直线的交点为和，所以原不等式的解集为．
故答案为:
14．在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________.
【答案】.
【分析】根据圆的性质，结合线段垂直平分线的性质、双曲线的定义进行求解即可.
【详解】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，
由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为，
故答案为：
四、解答题
15．已知1，当k为何值时：
(1)方程表示双曲线；
(2)表示焦点在x轴上的双曲线；
(3)表示焦点在y轴上的双曲线．
【分析】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．
（1）∵1，即，方程表示双曲线，
∴(k－1)(|k|－3)＜0，
可得k＜－3或1＜k＜3；
（2）∵1，即，焦点在x轴上的双曲线，
则，
∴1＜k＜3；
（3）∵1，即，焦点在y轴上的双曲线，
则，
∴k＜－3．
16．（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程.
（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程．
【详解】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为.
又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得，
解得λ=11或(舍去).
故所求椭圆的标准方程为.
（2）由题意，设双曲线的标准方程为，设焦距为2c，
∴，解得，
∴该双曲线的方程为．