高中3.2 双曲线精品习题

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3.2.2双曲线简单的几何性质
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：求双曲线的焦距；共焦点双曲线；求双曲线中的范围或最值；点和双曲线的位置关系；双曲线的对称性；双曲线的实轴/虚轴；等轴双曲线；双曲线的渐近线；双曲线的离心率；双曲线的实际应用
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳

双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长    实轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
，越大，双曲线的开口越阔
渐近线方程


三、 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

考点讲解


考点1：求双曲线的焦距
例1．若双曲线的焦距等于虚轴长的3倍，则的值为______．
【方法技巧】
1.理解焦距的概念
2.把理论转化为实际
【变式训练】
【变式1】．双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为（       ）
A． B． C．4 D．
【变式2】．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦距等于_________.
考点2：共焦点双曲线
例2（多选）．过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（       ）
A． B． C． D．

【方法技巧】
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法和双曲线的简单性质和双曲线的标准方程，考查计算能力．求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用圆锥曲线经过的点，求解即可．
【变式训练】
【变式1】．已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【变式2】．已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为.
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)求双曲线的标准方程．
考点3：求双曲线中的范围或最值
例3．曲线，则（       ）
A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称
C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点
【方法技巧】
1.结合点在曲线上，转化为函数最值问题.
2.去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断.
【变式训练】
【变式1】．已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】．已知双曲线的右焦点为F，且P是双曲线上一点，写出的最小值．

考点4：双曲线的对称性
例4．已知双曲线：的左右焦点为，，点在双曲线的右支上，点关于原点的对称点为，则（       ）
A．4 B． C．6 D．

【方法技巧】
由双曲线的性质可得，再利用双曲线的定义即得.
【变式训练】
【变式1】．过等轴双曲线的右焦点F作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若的面积为2，则a的值为（       ）
A． B．2 C． D．4
【变式2】．若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则___________.
考点5：双曲线的实轴/虚轴
例5（多选）．已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（       ）
A．的长轴长与的实轴长相等 B．的短轴长与的虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率不相等
【方法技巧】
利用椭圆、双曲线的几何性质逐项判断可得出合适的选项.
【变式训练】
【变式1】．已知双曲线，则该双曲线的虚轴长为（       ）
A．1 B．2 C． D．
【变式2】．已知点是双曲线的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF（点O为坐标原点）的面积为8，则C的实轴长为（       ）
A．8 B． C．6 D．
【变式3】．已知双曲线，则（       ）
A．双曲线C的焦距为
B．双曲线的顶点坐标为
C．双曲线C的虚轴长是实轴长的倍
D．双曲线与双曲线C的渐近线相同
考点6：等轴双曲线
例6．等轴双曲线：的焦距为4，则的一个顶点到一条渐近线的距离为（       ）
A．1 B． C．2 D．

【方法技巧】
利用等轴双曲线，实轴和虚轴长度相等，即，即可求解渐近线方程、顶点坐标等.
【变式训练】
【变式1】．过双曲线的一个焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于P，Q两点，则|PQ|=_________．
【变式2】．圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点.光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线：的图象以直线为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与的交点到中心的距离为____________.
考点7：双曲线的渐近线
例7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，求双曲线的标准方程．

【方法技巧】
求解此类焦点位置不确定的椭圆、双曲线的方程问题，常见错误是因思维定式默认焦点在轴上，导致考虑不全，从而漏解，因此，当由题目条件不能确定椭圆或双曲线的焦点所在的坐标轴时，应当分两种情况讨论，有时也可巧设方程，利用待定系数法求解．

【变式训练】
【变式1】．已知双曲线C：（，）的实轴长为8，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
【变式2】．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为（       ）

A． B． C． D．
【变式3】．与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为___________.


考点8：双曲线的离心率
例8．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【变式训练】
【变式1】．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C．2 D．3
【变式2】．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．

【变式3】（2022·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【变式4】．（2021·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
【变式5】．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.

考点9：双曲线的实际应用
例9．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为（       ）

A．cm B．cm C．cm D．cm

【方法技巧】
作该塔筒的轴截面图像并建立坐标系，根据双曲线的性质求出其实轴长度即可.
【变式训练】
【变式1】．已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；②若 为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（       ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【变式2】．一种冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图）．现要求制造一个最小半径为8m，下口半径为15m，下口到最小半径圆面的距离为24m，高为27m的双曲线冷却塔，试计算上口的半径（精确到0.01m）．


知识小结

　⑴①双曲线标准⽅程：. ⼀般⽅程：.
　　⑵①i. 焦点在x轴上：
　　顶点：焦点：准线⽅程渐近线⽅程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线⽅程：. 渐近线⽅程：或，参数⽅程：或 .
　　②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离⼼率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线⽅程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)
　　长加短减原则：
　　构成满⾜(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，⽽双曲线不带符号)
　　⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线⽅程为，离⼼率.
　　⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
　　⑸共渐近线的双曲线系⽅程：的渐近线⽅程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线⽅程可设为.　　例如：若双曲线⼀条渐近线为且过，
巩固提升


一、单选题
1．已知双曲线的渐近线方程是（       ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线（，）的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线C的方程为（       ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（       ）
A． B．2 C． D．
4．已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，点在直线上运动，若的最大值为，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
6．若双曲线的两条渐近线与圆的交点等分圆周，则（       ）
A． B． C． D．
7．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的焦距为（       ）

A． B． C． D．
8．，分别是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程是（       ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．若直线与双曲线仅有一个交点，则a的值可以是（       ）
A．4 B．2 C．1 D．
10．已知对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点，则（       ）
A．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
B．双曲线C的虚轴长为2
C．双曲线C的两条渐近线互相垂直
D．为双曲线C的两个焦点，过的直线与双曲线C的一支相交于P，Q两点，则的周长为8

三、填空题
11．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长为___________.
12．已知椭圆：，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为______．
13．已知点P在双曲线上，若P，Q两点关于原点O对称，直线与圆相切于点M且，其中，分别为双曲线C的左、右焦点，则的面积为______．

14．已知F为双曲线的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为，过F且垂直于x轴的直线交双曲线C于A、B两点，若长为10，则C的离心率为________．

四、解答题
15．已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线在第一象限的点，的内切圆与x轴交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设圆上任意一点Q处的切线l，若l与双曲线C左、右两支分别交于点M、N，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．

16．已知双曲线的方程为，直线.
(1)求双曲线的渐近线方程、离心率；
(2)若直线与双曲线仅有一个公共点，求实数的值.