高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优秀复习练习题

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3.3.2 抛物线的简单几何性质
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：抛物线定义辨析；求抛物线的轨迹；抛物线求焦点或方程；抛物线上的点到定点的距离与最值；抛物线的焦半径公式；抛物线的实际应用；抛物线方程求参数。
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
一．抛物线的几何性质：


图形




参数p几何意义
参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
开口方向
右
左
上
下
标 准方 程




焦 点位 置
X正
X负
Y正
Y负
焦 点坐 标




准 线方 程




范 围




对 称轴
X轴
X轴
Y轴
Y轴
顶 点坐 标
（0,0）
离心率

通 径
2p
焦半径




焦点弦长




二、焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点
(1) 若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。
(2) 若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。
(3) 已知直线AB是过抛物线焦点F ,
(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
(5) 两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
三、切线方程

图象

x
y
O
l
F

x
y
O
l
F


l
F
x
y
O

x
y
O
l
F







切线方程





考点讲解



考点1：抛物线的范围
例1．（多选）已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（    ）
A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【方法技巧】
由抛物线的定义可知曲线的轨迹是抛物线，进而可判断A,根据抛物线的性质可判断B,C,D.
【变式训练】
1．已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（    ）
A．2 B．3 C．4 D．0
2．已知过点的直线与抛物线相交于，两点，点，若直线，的斜率分别为，，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
3．已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是______．
考点2：求抛物线的对程轴
例2．（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（    ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴
【方法技巧】
根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.
【变式训练】
1．下列命题中正确的是（    ）
A．抛物线 的焦点坐标为 ．
B．抛物线 的准线方程为 x =−1．
C．抛物线 的图象关于 x 轴对称．
D．抛物线 的图象关于 y 轴对称．
2．抛物线的对称轴是直线
A． B．
C． D．
3（多选）．下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ）
A． B． C． D．
考点3：抛物线对称性应用
例3．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（    ）
A． B．
C．或 D．或
【方法技巧】
根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.
【变式训练】
1．如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（    ）

A． B． C． D．
2．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点，则___________.
3．若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为___________.
考点4：利用抛物线对称性应用求参数
例4．以抛物线：的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则等于__________．
【方法技巧】
本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思想，属于中
档题．

【变式训练】
1．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
2．已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则______.
3．已知圆与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是的中点，则p的值等于_________________.
考点5：求抛物线的轨迹
例5．已知点M到点的距离比到y轴的距离大2，求点M的轨迹方程．
【方法技巧】
由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离，即点M的轨迹是
抛物线，求其方程可得答案．
【变式训练】
1．点，点是轴上的动点，线段的中点在轴上，且垂直，则点的轨迹方程为________________．
2．已知直线和圆．若圆与直线相切，与圆外切，求圆的圆心的轨迹方程．
考点6抛物线综合题
例6．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点O到直线的距离为d，求d的最大值．

【方法技巧】
（1）结合准线方程，设出抛物线方程即可求解；
（2）设出，表示出圆的方程，联立准线方程，结合韦达定理表示出直线的方程，求出直线过定点，即可求出d的最大值.

【变式训练】
1．在曲线上有两个动点，且满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．1
2．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，设抛物线的准线与轴的交点为，当时，___________.

知识小结

知识归纳
一．抛物线的几何性质：


图形




参数p几何意义
参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
开口方向
右
左
上
下
标 准方 程




焦 点位 置
X正
X负
Y正
Y负
焦 点坐 标




准 线方 程




范 围




对 称轴
X轴
X轴
Y轴
Y轴
顶 点坐 标
（0,0）
离心率

通 径
2p
焦半径




焦点弦长




巩固提升


一、单选题
1．抛物线的焦点到准线的距离为（    ）
A．4 B．2 C．1 D．
2．直线与抛物线的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
3．已知点M为抛物线上的动点，过点M向圆引切线，切点分别为P，Q，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．1
4．已知抛物线的焦点为，，是上一点，，则（   ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（    ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则（    ）
A．2 B． C．6 D．
7．已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（    ）．
A． B． C． D．
8．过抛物线的焦点的直线与交于两点，若，则的倾斜角（    ）
A． B．或 C．或 D．或

二、多选题
9．已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（    ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
三、填空题
11．抛物线的顶点坐标为______．
12．已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
13．已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴的交点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线有且只有一个公共点，则______．
14．已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.
四、解答题
15．已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
(1)求实数的值；
(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
16．已知抛物线E：的焦点为F，直线与E相交所得线段的长为．
(1)求E的方程；
(2)若不过点F的直线l与E相交于A，B两点，请从①AB中点的纵坐标为3，②的重心在直线上，③这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
考点讲解
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