高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算精品随堂练习题

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5.2 导数的运算
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：基本初等函数的导数；导数的加减法；导数的乘除法；复合函数的导数；求某点处的导数值
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳

（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
①；②；；
③； ④ ⑤ ⑥；
⑦； ⑧
法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)
法则3：
(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)
（2）复合函数的导数求法：
①换元，令，则②分别求导再相乘③回代

考点讲解



考点1：基本初等函数的导数
例1．求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
(2)；
(3)；
(4)y＝3x；
(5)y＝log5x.

【分析】根据求导基本公式，计算即可得答案.
(1)

(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)

【方法技巧】
①；②；；
③； ④ ⑤ ⑥；
⑦； ⑧
【变式训练】
1．已知，且，则的值等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，由建立方程求解即可
【详解】，，解得.
故选：D
2．（多选）下列选项正确的是（    ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
【答案】BCD
【分析】根据基本初等函数的导数公式求各选项中函数的导函数.
【详解】A：，错误；
B：，则，正确；
C：，正确；
D：正确.
故选：BCD
3．下列函数求导运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据基本初等函数的导数公式判断各项的正误.
【详解】A：，错误；
B：，正确；
C：，正确；
D：，正确．
故选：BCD
4．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义、直线的点斜式方程进行求解.
【详解】因为函数，所以
切点为，即，
所以，所以切线方程为，
即.
故答案为：.
5．求下列函数的导数：
(1);
(2) ;
(3)；
(4) .
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）根据常函数的求导公式，即可求出结果；
（2）根据指数函数的求导公式，即可求出结果；
（3）根据幂函数的求导公式，即可求出结果；
（4）利用余弦二倍角公式化简，再根据余弦函数的求导公式，即可求出结果；
(1)
解:因为，所以.
(2)
解:因为，所以，即.
(3)
解:因为 ，所以，即.
(4)
解:因为，所以
.
考点2：导数的加减法
例2．已知函数，为的导函数，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，
所以，
所以，.
故选：B.
【方法技巧】
根据基本初等函数的求导公式结合导数的加法运算法则即可得出答案.
【变式训练】
1．已知，求（    ）
A．0.15 B．0.30 C．0.70 D．0.25
【答案】D
【分析】先求出导函数，进而可得，代入从而可求出.
【详解】解：因为，所以，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：D.
2．函数的导数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的运算法则，即可判断.
【详解】根据导数的运算法则可知，.
故选：B
3．函数的导函数为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用求导公式进行求解
【详解】
故选：B
4．已知，为非零常数，函数，则（    ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】B
【分析】求导，分别求出，即可得解.
【详解】解：，
则，，
所以.
故选：B.

考点3：导数的乘除法
3．下列函数的求导正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A：.故A错误；
对于B：.故B错误；
对于C：.故C错误；
对于D：.故D正确.
故选：D

【方法技巧】
利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算直接求出，再一一判断.
【变式训练】
1．函数的导数为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据导函数乘法法则计算即可.
【详解】定义域为，

故选：B
2．函数的导函数在区间上的图象大致为（    ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先对函数进行求导，然后判断导函数的奇偶性，最后根据图像特征，通过赋值法判断的符号即可求解.
【详解】∵，∴，
∴，∴为奇函数，
从而的图像在区间上关于原点对称，由此可排除选项A、B，
又∵，排除D，从而答案为C.
故选：C.
3．曲线在点处的切线方程为________．（用一般式表示）
【答案】
【分析】利用导数的几何意义即得.
【详解】由，得，
所以切线的斜率为，
所以所求的切线方程为，即.
故答案为：.
4．已知函数，则________．
【答案】##
【分析】先对函数求导，然后再求
【详解】由，得
，
所以，
故答案为：
5．已知函数的导函数为，且，则___________.
【答案】
【分析】首先求函数的导数，令，即可求得.
【详解】因为，
所以，
所以，即．
故答案为：.

考点4：复合函数的导数
例4．求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)．
解：（1）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（2）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴ .
（3）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（4）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（5）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴ ．
（6）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴．

【方法技巧】
根据导函数四则运算法则和简单复合函数求导法则计算出结果.
【变式训练】
1．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，，故A不正确；
对于B，，B错误.
对于C，，C正确
对于D，，D错误.
故选：C
2．函数的导数是______．
【答案】
【分析】利用复合函数的导数求解.
【详解】，
故答案为：．
3．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
解：（1）设，，则．
（2）
设，，，
则．
（3）
设，，，
则．
（4）
设，，则

考点5：求某点处的导数值
例5．已知函数的导函数是.若，则______.
【答案】
【详解】，，解得：，
，.
故答案为：.

【方法技巧】
求导后，代入可求得，将代入即可求得结果.
【变式训练】
1．已知函数 的导函数为，且满足，则 （   ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】求得函数的导数，令，即可求解.
【详解】由，可得，所以 ，则 .
故选：B.
2．已知函数的导数为，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导后，代入可得，由此可得，再代入即可.
【详解】，，解得：，
，.
故选：A.


知识小结

（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
①；②；；
③； ④ ⑤ ⑥；
⑦； ⑧
法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)
法则3：
(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)
（2）复合函数的导数求法：
①换元，令，则②分别求导再相乘③回代

巩固提升


一、单选题
1．已知函数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，再令可得解.
【详解】由，
得，
令，则，
解得，
故选：B.
2．若曲线在处的切线垂直于直线，则（    ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】B
【分析】求导，利用导函数的几何意义得到切线斜率，根据两直线垂直得到斜率乘积为-1，列出方程，求出的值.
【详解】，，
由题意得：，解得：
故选：B
3．下列各式正确的是（    ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由基本函数求导公式，依次对四个选项求导验证，只有C正确，故答案为C.
【详解】根据基本函数求导公式，
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
4．一物体做竖直上抛运动，它距地面的高度与时间间的函数关系式为，则的瞬时速度为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数的物理意义，求函数的导数，将代入到导函数即可.
【详解】，，
则的瞬时速度为.
故选：B.
5．曲线在处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对函数求导，代入则得到斜率，再得到点斜式方程.
【详解】对函数求导得,故当时,斜率，
又切线过点，故切线方程为，即
故选：C.
6．下列导数运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导数运算性质判断各选项即可.
【详解】因为 , 所以A错误；
因为 , 所以B错误；
因为, 所以C错误；
因为 , 所以D正确.
故选: D.
7．已知为的导函数，则的图象是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导后由函数性质判断
【详解】，
则，为奇函数，故排除B，D，
且，故排除C，
故选：A
8．设函数的图象在点处的切线为，当的斜率最大时，切线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先利用导数求得切线的斜率关于的关系式，进而求得切点，再求得切线方程即可.
【详解】依题意得，，
故切线的斜率，
所以当时，取得最大值12，
此时，即切点为，
所以切线的方程为，即.
故选：C.

二、多选题
9．如图，是可导函数，直线 l：是曲线在处的切线，令，其中是的导函数，则(    )

A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由图像即可求f(3)，可判断A；根据l过(3，1)可求，可判断B；根据f(3)可计算g(3)，可判断C；根据可求，可判断D.
【详解】由图可知，f(3)＝1，故A正确；
(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B错误；
，则，故C正确；
，，故D正确.
故选：ACD.
10．已知函数的导函数为，则（    ）
A．若为奇函数，则为偶函数 B．若，则为奇函数
C．若的最小值为0，则 D．若为偶函数，则为奇函数
【答案】ACD
【分析】根据导函数的性质和函数奇偶性进行逐项判断.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：若为奇函数，，则，故，又， 是偶函数，故A正确；
对于选项B：若，又，则，故，，当时，，是奇函数，当时，，不是奇函数，所以不一定是奇函数，故B错误；
对于选项C：若的最小值为0，，，则，故C正确；
对于选项D：若为偶函数，，，，解得，故，，所以为奇函数，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
11．函数的导函数为______．
【答案】
【分析】根据基本初等函数的求导公式以及求导法则即可求解.
【详解】由得，
故答案为：
12．曲线在点处的切线的斜率为____________．
【答案】2
【分析】由导数几何意义即可求.
【详解】，∴所求切线斜率为2.
故答案为：2
13．若曲线在点处的切线平行于x轴，则a＝______．
【答案】1
【分析】利用导数的几何意义与平行的性质得到方程，解之即可.
【详解】由已知得，故，即，则.
故答案为：1．
14．定义在上的奇函数，当时，，则曲线上的点到直线的最小距离为___________.
【答案】
【分析】先根据奇函数定义求时的解析式，此时斜率为1的点到直线的距离最小，再与原点到直线的距离相比较，取最小值．
【详解】由对称性可知，只需要比较与时的距离.
设，因为函数是奇函数，所以，则
设点，则，解得：
此时点到直线的距离，
设，则原点到直线的距离，
因为，所以曲线上的点到直线的最小距离为.
故答案为：．

四、解答题
15．求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)．

【分析】（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）结合导数的运算公式求得函数的导数.
（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
（5）
.
（6）

．
16．已知二次函数，其图象过点，且.
(1)求、的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数、的方程组，可求得实数、的值；
（2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.
（1）
解：因为，则，
所以，，解得.
（2）
解：因为的定义域为，且，
所以，，，故切点坐标为，
所以，函数在处的切线方程为.