高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用精品综合训练题

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5.3.1 函数的单调性
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：用导数判断或证明函数的单调性；用导数求函数的单调区间（不含参）；用函数单调区间求参数；由函数在区间上的单调性求参数；函数与导函数图像之间的关系
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳

函数的单调性：设函数在某个区间内可导，
（1）该区间内为增函数；
（2）该区间内为减函数；
注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。
（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
1、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
(2)判断导函数在区间上的符号
(3)下结论
①该区间内为增函数；
②该区间内为减函数；
2、利用导数求单调区间
求函数单调区间的步骤为：
（1）分析 的定义域； （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
3、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。
考点讲解



考点1：用导数判断或证明函数的单调性
例1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称，因为，所以此函数为奇函数，所以A错误，
对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称，因为，所以此函数为偶数，因为的对称轴为轴，开口向上，所以此函数在上递增，所以B错误，
对于C，定义域为，定义域关于原点对称，因为，所以此函数为偶函数，
当时，，则，当时，，当时，，所以函数在递减，在上递增，所以C错误，
对于D，函数的定义域为，因为，所以此函数为偶函数，因为在上递减，，所以在上单调递减，所以D正确，
故选：D

【变式训练】
根据函数奇偶性的定义和单调性的定义结合基本函数的性质逐个分析判断.
【变式训练】
1．已知函数的导数是，那么“函数在R上单调递增”是“”的（    ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用定义法直接判断.
【详解】充分性：因为函数在R上单调递增，所以.即充分性成立；
必要性：取特殊函数，有符合“”，但是不符合“函数在R上单调递增”.即必要性不满足.
所以已知函数的导数是，那么“函数在R上单调递增”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．（多选）下列命题中正确的是（    ）
A．函数的周期是
B．函数的图像关于直线对称
C．函数在上是减函数
D．函数的最大值为
【答案】AD
【分析】A：根据正弦型函数的周期公式进行求解即可；
B：根据余弦型函数的对称性的性质进行判断即可
C：利用导数的性质进行求解判断即可；
D：根据诱导公式，结合余弦弦型函数的单调性进行求解判断即可.
【详解】A：由正弦型函数的周期公式可知：该函数的周期为，故本命题是真命题；
B：，令：，
，所以不是该函数的对称轴，因此本命题是假命题；
C：，由，
即，所以该函数在上是增函数，所以本命题是假命题；
D：
，显然该函数的最大值为，因此本命题是真命题，
故选：AD
3．已知函数，则不等式的解集为_______．
【答案】
【分析】先根据函数特点构造，得到其奇偶性和单调性，再对不等式变形得到，根据单调性得到，解不等式求出答案.
【详解】令，定义域为R，
且，
所以为奇函数，
变形为，
即，
其，当且仅当，即时，等号成立，
所以在R上单调递增，
所以，解得：，
所以解集为.
故答案为：
考点2：用导数求函数的单调区间（不含参）
例2．下列区间中能使函数单调递增的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由，得，解得或，
所以函数的定义域为.
令，则，
由，得，
令即，解得，或，
当或时，；
所以在和上单调递增；
所以在定义域内是单调递增函数,
所以函数在和上单调递增.
故选：BD.

【方法技巧】
利用导数的正负与函数单调性的关系及复合函数的单调性的解决办法即可求解.
【变式训练】
1．函数的单调增区间为_________.
【答案】，
【分析】根据导数与单调性的关系，由即可求出单调增区间．
【详解】因为函数的定义域为，而，所以函数的单调增区间为，．
故答案为：，．
2．函数的单调递增区间为________．
【答案】
【分析】求出导数，由结合函数的定义域，得出单调递增区间．
【详解】
令，解得
又函数的定义域为
则函数的单调递增区间为．
故答案为：．
3．已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递减区间
解：，
所以，，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）解：.
又，故当和时，，即，
当时，，即，
所以函数的单调递减区间为和.
考点3：用函数单调区间求参数
例3．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，则，所以.
故选:B.

【方法技巧】
根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.
【变式训练】
1．已知函数的单调递减区间为，则（    ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据得到，再根据的单调递减区间是，得到和1是方程的两个根，代入解方程即可.
【详解】由得，又的单调递减区间是，所以和1是方程的两个根，代入得.经检验满足题意
故选：B.
2．若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果.
【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
3．已知函数，若在内为减函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据在内为减函数，在内恒成立求解.
【详解】解：，
∵在内为减函数，
∴在内恒成立，
∴，即，
解得．
所以实数a的取值范围是．
故答案为：．
考点4：由函数在区间上的单调性求参数
例4．若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ）
A．或或 B．或
C． D．不存在这样的实数
【答案】B
【详解】解：
，
令，解得，或，所以当或时，
当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，
即函数极值点为，
若函数在区间上不是单调函数，
则或，
所以或，
解得或
故选：B
【方法技巧】
利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，依题意函数的极值点在区间上，即可得到不等式组，解得即可；
【变式训练】
1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为在上恒成立，采用分离变量法可得，由可构造不等式求得结果.
【详解】在上单调递增，在上恒成立，
即在上恒成立，
又在上单调递增，，，解得：，
即实数的取值范围为.
故选：A.．
8．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【分析】先求导，由导函数在上恒大于零，列出不等式即可求出答案.
【详解】依题意，，则，因为，故.
故答案为：
3．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】在上单调递减，等价于在上恒成立，分离常数，利用均值不等式可求出常数取值范围.
【详解】，，
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立．
当时，有（当且仅当时等号成立），所以．
故答案为：
考点5：函数与导函数图像之间的关系
例5．已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于不等式对，
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．
综上，原不等式的解集为．
故选：A

【方法技巧】
根据原函数图象与导函数的关系，即可得到结果.
【变式训练】
1．如图为函数（其定义域为）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（    ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据的图象，分析的函数值的正、负情况，即可判断.
【详解】解：由图象知在上先减后增，故在上函数值先负后正，
同理在上的符号是先负后正，四个选项中仅有选项A符合.
故选：A.
2．设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（    ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】当时，，当时，，当时，，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；
当时，,函数单调递减；
当时，,函数单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选:C.
3．如图是的图像，则函数的单调递减区间是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由导数与单调性的关系判断．
【详解】由图象知或时，，因此减区间是，．
故选：B．
考点6：含参分类讨论求函数单调区间
1．求函数的单调区间.
【详解】因为，所以.
由，解得x＝0或x＝2a.
当a＝0时，，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为；
当时，当时，；当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（0，2a）；
当时，当时，；当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（2a，0）.
【方法技巧】
求导分与0的大小关系分别讨论导函数的正负区间与原函数的单调性即可.
【变式训练】
1．已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；
(2)讨论f（x）的单调性.
解：(1)若a＝1，则f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0，，
令f′（x）＝0，可得x＝1，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝1处取得极小值，也是最小值，最小值为f（1）＝1，故f（x）≥1.
(2)f（x）＝ax3﹣3lnx，x＞0，（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，令f′（x）＞0，得x，令f′（x）＜0，得0＜x，
所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.
2．设函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求；
(2)求函数的单调区间．
解：(1)由于切点在切线上，所以，函数通过点

又，根据导数几何意义，
；
(2)由可知
当时，则；
当时，则；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为
当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
知识小结


函数的单调性：设函数在某个区间内可导，
（1）该区间内为增函数；
（2）该区间内为减函数；
注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。
（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
1、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
(2)判断导函数在区间上的符号
(3)下结论
①该区间内为增函数；
②该区间内为减函数；
2、利用导数求单调区间
求函数单调区间的步骤为：
（1）分析 的定义域； （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
3、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。

巩固提升


一、单选题
1．函数的单调递减区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由结合定义域即可解出．
【详解】因为，所以，由解得：，所以函数的单调递减区间为．
故选：B．
2．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】由题意得，
在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
又函数在上单调递增，得，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B
3．函数的部分图像可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性排除求解即可.
【详解】对求导得恒成立,故在上单调递增，A正确.
故选：A.
4．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的单调减区间后可求参数的取值范围.
【详解】，
令，则，而在区间上单调递减，
故，故，
故选：A.
5．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可得在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围.
【详解】，
因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，
所以即，
故选：A.
6．已知函数，则（    ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是偶函数
【答案】C
【分析】根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B．
【详解】由知函数的定义域为，，
当时，，，∴，当时，，，∴，故在单调递增，在单调递减，A错误；
当时，，当时，，，
当时，，，所以只有一个零点，B错误；
令，，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；
由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误．
故选：C．
7．若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三次函数有三个单调区间，只需其导函数对应的方程有两个不同的实数根，对求导，分析导函数有两个不同零点的条件即可得到答案.
【详解】因为函数在定义域上恰有三个单调区间，
所以其导函数在定义域上有两个不同的零点，
由可得，即，
所以只需，方程在上有两个不同的实数根.
故选：A.
8．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数判断出函数的单调性，即可根据单调性的定义解出．
【详解】因为，所以，即函数单调递增，由可得，，解得．
故选：D．
二、多选题
9．若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（      ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】先求函数的定义域及导数，求出单调区间，结合所给区间列出关于的不等关系，结合选项可求正确答案.
【详解】定义域为，；
由得函数的增区间为；
由得函数的减区间为；
因为在区间上单调，
所以或
解得或；
结合选项可得A,C正确.
故选：AC.
10．已知函数在上单调递增，为其导函数，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用函数的单调性与导数符号之间的关系可判断ACD选项；分析的符号可判断B选项.
【详解】因为函数在上单调递增，对任意的，，A对；
的符号不能确定，B错；
，则，可得，C对D错.
故选：AC.

三、填空题
11．函数的单调递增区间是______________.
【答案】
【分析】先求解函数的定义域，再求导，令导函数大于等于0，解不等式，求出答案.
【详解】的定义域为R，
且，令，解得：，
即函数的单调递增区间是.
故答案为：
12．已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足，即可求解
【详解】，因为函数在上是单调函数，
故只能满足在上恒成立，即，，解得
故答案为:
13．若函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】由函数的单调性转化为导函数在区间上恒成立，进而分离参数求解最值即可.
【详解】因为函数在区间上为增函数，
所以在区间上恒成立，所以．
因为在区间上严格增，所以，
故答案为:．
14．设函数，若，则的值为___________.
【答案】
【分析】根据导数的运算法则求出，再解方程，根据函数的单调性即可求出．
【详解】因为，所以，即，设，，所以函数在上递减，在上递增，而当时，，所以只有唯一解，即．
故答案为：．
四、解答题
15．设函数，其中．若函数的图象在处的切线与x轴平行．
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为，

【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）由（1）得，再求导分析函数的单调区间即可
（1）
．∵函数的图象在处的切线与x轴平行，
∴，解得．此时，满足题意．∴．
（2）
由（1）得，故．令，解得或．当x变化时，，的变化情况如下表：


0

2



0

0


单调递减

单调递增

单调递减

∴函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．
16．已知函数．讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】利用导数法求解.
【详解】解：因为，
所以．
①当时，，在上单调递增；
②当时，时，；
时，；
故在和上单调递增，在上单调递减．
综上：当时， 在上单调递增；
当时， 在和上单调递增，在上单调递减．