重难点专题：常见的排列组合问题解题策略-2023-2024学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第三册）

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重难点专题：常见的排列组合问题解题策略考点1：排列的意义理解例1．将4封信投入3个信箱中，共有_______种不同的投法；【方法技巧】重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【变式训练】】1．仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（    ）种.A． B． C． D．2．核糖核酸()分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有种不同的碱基，分别用、、、表示.在一个分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类分子由个碱基组成，那么能有多少种不同的分子？3．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有多少种？考点2：相邻问题捆绑法例2．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为______．【方法技巧】 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.使用捆绑法，然后进行排列，简单计算可得结果. 【变式训练】1．3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（    ）A．48种 B．36种 C．20种 D．24种2．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的排列方法有（    ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种3．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（    ）A．72种 B．60种 C．48种 D．36种考点3：相离问题插空法例3．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（    ）.A． B．C． D．【方法技巧】元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端【变式训练】1．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和2个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法有多少种？（    ）A．24 B．12 C．6 D．22．五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（    ）A．30 B．54 C．63 D．723．有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（    ）A．120种 B．32种 C．24种 D．16种考点4：元素分析法（位置分析法）例4．6人排成一排照相，其中甲、乙两人必须排在中间两个位置，有_________种不同的排法．【方法技巧】、某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。【变式训练】1．将甲、乙、丙、丁四名大学生分到三个不同单位实习，每个单位至少分到一名实习生，则甲、乙两名大学生不被分到同一个单位实习的概率为（    ）A． B． C． D．2．五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的站法种数为______.3．成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶．把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前的不同音序的种数为___________．（用数字作答）考点5：多排问题单排法例5. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（     ）A、36种      B、120种      C、720种     D、1440种【方法技巧】把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。【变式训练】1.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？考点6：定序问题缩倍法（等几率法）例6.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数【方法技巧】在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【变式训练】1 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？【解析】    ：法一：    法二：2，将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？  考点7：标号排位问题（不配对问题）例7 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（     ）A、6种      B、9种      C、11种     D、23种【方法技巧】 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【变式训练】1：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有(   )   （A）6种  （B）9种  （C）11种  （D）23种    2．编号为A，B，C，D，E的5个小球放在如图所示的5个盒子里，要求每个盒子只能放1个小球，且A球不能放在1，2号盒子里，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？考点7：不同元素的分配问题（先分堆再分配）：例7．某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.【方法技巧】注意平均分堆的算法【变式训练】1．甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有 __种 2．已知有6本不同的书.(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？.考点8：相同元素的分配问题隔板法例8.把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？【方法技巧】相同元素的分配问题隔板法【变式训练】1，  10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 2.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？  考点9：走楼梯问题 例9．某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法数为（    ）A．5 B．10 C．15 D．21 【方法技巧】（分类法与插空法相结合）注意把实际问题转化为组合问题，本题属于基础题.【变式训练】1 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？  。考点10：排数问题例10．由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________【方法技巧】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案.【变式训练】1．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（    ）.A．9个 B．24个 C．36个 D．54个2．用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（    ）A．36 B．48 C．60 D．723．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（    ）A．288 B．336 C．368 D．412考点11：染色问题例11．如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种.【方法技巧】涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论; （3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。【变式训练】1．用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（    ）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种2．用种不同颜色给正三角形的个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条边的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种A． B． C． D．3．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.考点12：几何中的排列组合问题:例12．设为正六边形的中心，在O，A，B，C，D，E，F中任取三点，则取到的三点构成等边三角形的概率为（    ）A． B． C． D． 【方法技巧】首先求出基本事件总数，再列出使三点为等边三角形的情况，最后利用古典概型的概率公式计算可得；【变式训练】1．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（    ）A． B． C． D．2．一空间有10个点，其中5个点在同一平面上，其余没有4点共面，则10个点可以确定不同平面的个数是______． 一、单选题1．（2015·山东·高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（    ）A．10 B．20 C．60 D．1002．（2015·山东·高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（    ）A． B． C． D．3．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种4．（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ）A． B． C． D．5．（2020·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（    ）A． B． C． D．6．（2020·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（    ）A．12 B．120 C．1440 D．172807．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种8．（2021·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.89．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ）A．2种 B．3种 C．6种 D．8种10．（2020·海南·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）A．120种 B．90种C．60种 D．30种11．（2020·全国·高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ）A．5 B．8 C．10 D．1512．（2019·全国·高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A． B． C． D．13．（2019·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A． B． C． D．14．（2012·浙江·高考真题（理））若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种 B．63种 C．65种 D．66种15．（2012·全国·高考真题（理））将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有A．12种 B．18种 C．24种 D．36种16．（2014·全国·高考真题（理））4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A． B． C． D．17．（2012·安徽·高考真题（理））6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为A．或 B．或 C．或 D．或二、填空题18．（2022·全国·高考真题（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．19．（2022·全国·高考真题（理））从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．20．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.