高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列精品复习练习题

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7.2 离散型随机变量及其分布列
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：随机变量概念辨析；离散型随机变量概念辨析；离散性随机变量的分布列；两点分布；利用随机变量分布列性质解答；由离散型随机变量分布列求概率

2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
1、 随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、 离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn
X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

分布列性质① pi≥0, i =1，2， … 　； ② p1 + p2 +…+pn= 1．

4..两点分布
X
0
1
P
1-p
p

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率．
考点讲解



考点1：随机变量概念辨析
例1：1．先后抛掷一个骰子两次，记随机变量ξ为两次掷出的点数之和，则ξ的取值集合是（       ）
A．｛1，2，3，4，5，6｝ B．{2，3，4，5，6，7}
C．{2，4，6，8，10，12} D．{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}
【方法技巧】
随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
【变式训练】
1．袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（       ）
A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数
2．（多选）已知8件产品中有1件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，那么的可能取值为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．8
考点2：离散型随机变量概念辨析
例2：1．下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；
其中是离散型随机变量的为（       ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【方法技巧】
离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
【变式训练】
1．下面是离散型随机变量的是（       ）
A．电灯炮的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（       ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
考点3：离散性随机变量的分布列
例3．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：___________．

0
1
2





【方法技巧】
离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn
X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

分布列性质① pi≥0, i =1，2， … 　； ② p1 + p2 +…+pn= 1．
【变式训练】
1．设离散型随机变量的分布列为

0
1
2
3
4

0.2
0.1
0.1
0.3
0.3

（1）求的分布列；
（2）求的分布列．

2．抛掷一颗正方体骰子，用随机变量表示出现的点数，求：
(1)的分布列；
(2)及..
考点4：两点分布
例4．对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”．定义，如果，那么X的分布为______．
【方法技巧】
两点分布
X
0
1
P
1-p
p

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率．
【变式训练】
1．已知是一个离散型随机变量，分布列如下表，则常数的值为___．

0
1



2．在射击的试验中，令，如果射中的概率为0.8，求随机变量的分布列.

考点5：利用随机变量分布列性质解答
例5．两对孪生兄弟共4人随机排成一排，设随机变量表示孪生兄弟相邻的对数，则（    ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
根据离散型随机变量的分布列计算概率即可.
【变式训练】
1．随机变量X的分布列如下表，则等于（    ）
X

0
1
P
a

c
A． B． C． D．
2．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
则等于（    ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
3．下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（    ）
X
3
4
5
6
P




A． B． C． D．
考点6：由离散型随机变量分布列求概率
例6．已知随机变量X的概率分布为：，其中是常数，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
简称分布列

分布列性质① pi≥0, i =1，2， … 　； ② p1 + p2 +…+pn= 1．

【变式训练】
1．已知下表为离散型随机变量X的分布列，则（    ）
X
0
1
2
3
P




A． B． C． D．
2．已知随机变量的分布列如表所示：若，则的值为（    ）

1
2
3
4
5

0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

知识小结

3、 随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
4、 离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn
X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

分布列性质① pi≥0, i =1，2， … 　； ② p1 + p2 +…+pn= 1．

4..两点分布
X
0
1
P
1-p
p

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率．

巩固提升


一、单选题
1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（    ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
2．设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是（    ）
A．，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，
D．，，…，
3．若随机变量的分布列如表，则的值为（    ）

1
2
3
4






A． B． C． D．
4．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（    ）．
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到球的个数
5．若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则（    ）
A． B． C． D．
6．若离散型随机变量的分布列如下图所示．

0
1




则实数的值为（    ）
A．或 B． C． D．或
7．设随机变量的分布列为，、、，其中为常数，则（    ）
A． B． C． D．
8．2021年世界园艺博览会于2021年4月到10月在江苏省扬州市举行，“花艺园”的某个部位摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，……，9，若从任取1盆，则编号“大于5”的概率是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．下列随机变量中属于离散型随机变量的是（    ）
A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg~70kg之间的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在170cm~175cm之间的人数记为X
D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X
10．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，那么的可能取值为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．8
三、填空题
11．设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为___________.
12．甲､乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题.比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得分），若每个抢答题都有队伍抢答，是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则的可能取值是___________.
13．若，，其中，则______．
14．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c

其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.
四、解答题
15．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
（1）列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
（2）若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
16．2022年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩玩偶和现金.活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满300元的顾客，第二天上午8点前就可以从若干个抽奖箱（每个箱子装有8张卡片，3张印有“奖”字，5张印有“谢谢参与”，其他完全相同）中选一个箱子并一次性抽出3张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金10元，抽到2张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励1个冰墩墩玩偶，抽到3张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励2个冰墩墩玩偶.根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满300元的约占.
(1)求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率；
(2)设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为X，求X的分布列.