高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征优秀习题

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7.3.1离散型随机变量的方差
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：求离散型随机变量的方差与标准差；方差的性质；方差的期望表；两点分布的方差
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
知识点：方差；
方差：对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…称为随机变量 的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望．
标准差：的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作
方差的性质：①；② .
方差的意义：
(1)随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
(2)随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.
考点讲解


考点1：求离散型随机变量的方差与标准差
例1．某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
【答案】(1)分布列见解析，，；
(2)均值为71元，方差为.
（1）
由题意，得．∴．
∴X的分布列为
X
20
22
24
26
28
30
P
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.2

∴，
．
（2）
设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，
∴，．
故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4．
【方法技巧】
（1）利用概率和为1求出的值，然后可得X的分布列，然后算出其期望方差即可；
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，然后利用期望方差的性质可算出答案.
【变式训练】
1．随机变量的概率分别为，，其中是常数，则的值为（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】先求得参数k的值，进而求得的值，再利用随机变量的方差的计算公式即可求得的值
【详解】，，，解得，
，
.
故选：C.
2．若随机变量的分布列如表，则的方差是（    ）


0
1




A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据分布列利用期望与方差的公式计算即可得解.
【详解】解：，
则.
故选：D.
3．已知随机变量X的分布列为


0
1




下列结论正确的有（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用分布列的性质判断A，期望、方差的定义计算判断B，D；期望的性质计算判断C作答.
【详解】由分布列的性质得：，解得，A正确；
，B正确，C不正确；
，D正确.
故选：ABD
4．已知随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
0.4
p
0.4

则P＝___；D（X）＝___．
【答案】     ##     ##
【分析】利用随机变量分布列的性质知，求得；利用期望和方差的公式求得；
【详解】根据随机变量分布列的性质，知，所以，
，；
故答案为：；.
考点2：方差的性质
例2．离散型随机变量X的分布为：

0
1
2
4
5






若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为______．
①；②；③；④．
【答案】①③
【分析】根据分布列的性质，求得，利用期望和方差的公式，求得的值，进而根据，进而求得的值，即可求解.
【详解】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得，
则，
，
所以①③正确；
又由离散型随机变量Y满足，所以，
，所以②④错误，
故答案为：①③．
【方法技巧】
方差的性质：①；② .
【变式训练】
1．已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由数学期望与方差的性质求解
【详解】，得，
，得，
故选：B
2．若样本数据，，…，的标准差为4，则数据，，…，的标准差为___________.
【答案】8
【分析】利用方差的性质有，即可求新数据的标准差.
【详解】由题设，，故，
所以新数据的标准差为8.
故答案为：8
3．已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则______．
【答案】##
【分析】根据题意和方差公式，以及方差的线性公式即可求解.
【详解】因为，
由，
得.
故答案为：.
4．医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为（摄氏度）．医学统计发现，X的分布列如下．
X
37
38
39
40
P
0.1
0.5
0.3
0.1
(1)求出，；
(2)已知人体体温为时，相当于，求，．
【答案】(1)38.4，0.64.
(2)101.12，2.0736.

【分析】（1）利用期望及方差公式即求；
（2）由可得,即求.
(1)
由题可得，
.
(2)
由可知，，
.
考点3：方差的期望表示
例3．将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则_______，_______．
【答案】     1     1
【分析】根据题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，进而求出和，根据计算即可.
【详解】解：的所有可能取值为0，1，2，3．
；
；
；
．
得，
所以，
所以．
故答案为：1；1
【变式训练】
1．随机变量的分布列是

-2
1
2




若，则（    ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由于分布列的概率之和为1，以及，列出关于的方程，再根据方差公式即可求出．
【详解】由题意可知，，
又，所以；
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的性质、期望公式和方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
2．已知随机变量ξ的分布列为：
ξ
m
n
P

a
若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于（    ）
A．0 B．2 C．4 D．无法计算
【答案】D
【分析】根据题意，结合期望和方差的计算公式，即可求解.
【详解】由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.
又D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2，
当n＝2时，D(ξ)取得最小值，此时m＝2，不符合题意，故D(ξ)无法取得最小值．
故选：D
3．随机变量的分布列是

2
4
P
a
b
若，则__________．
【答案】
【分析】根据概率之和等于1及求得，然后再利用方差公式即可求得答案.
【详解】解：，即，
又因，所以，
所以.
故答案为：.
考点4：两点分布的方差
例4．设一随机试验的结果只有和，且，令随机变量，则的方差______．
【答案】
【详解】解析：随机变量的分布列为

0
1



所以随机变量服从参数为的两点分布，
所以．
故答案为：
【方法技巧】
随机变量符合两点分布,根据两点分布的方差公式得到结果．
【变式训练】
1．若离散型随机变量X服从两点分布，且，，则（    ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】根据两点分布的方差公式求解．
【详解】由题意，解得或．
故选：C．
2．若X的概率分布为：
X
0
1
P
0.5
a
则D(X)等于（    ）A．0.8 B．0.25 C．0.4 D．0.2
【答案】B
【分析】由分布列的性质求得，再求数学期望后可求方差.
【详解】由0.5＋a＝1，得a＝0.5，
∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，
D(X)＝(0－0.5)2×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.
故选：B
3．（多选）若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据随机分布的定义和随机分布的期望方差计算进行求解即可.
【详解】对于选项A：随机变量X服从两点分布，因为
故，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B错误；
对于选项C：，故选项C正确；
对于选项D：，故D正确.
故选：ACD
4．（多选）若随机变量服从两点分布，其中，、分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据随机变量服从两点分布推出，再根据公式计算出，由此分别计算其他选项得到结果.，
【详解】根据随机变量服从两点分布，其中，，故A正确；
，故B正确；
则，故C错误；
，则，故D错误.
故选：AB.
知识小结

方差：对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…称为随机变量 的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望．
标准差：的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作
方差的性质：①；② .
方差的意义：
(1)随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
(2)随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.
巩固提升


一、单选题
1．随机变量的分布列是.若，则（    ）

-2
1
2




A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用分布列的概率之和为1，利用期望的性质和方差公式求解.
【详解】由题意可知，，解得，
所以.
故选：B.
2．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据方差和期望的性质即可求解.
【详解】根据方差和期望的性质可得：,,
故选：D
3．若数据，，，的方差为2，则数据，，，（a为实数）的方差是（    ）
A．6＋a B．8 C．4＋a D．12
【答案】B
【分析】根据方差的性质求新数据集的方差.
【详解】由题设，则，
故选：B
4．“生活里没有书籍，就好像没有阳光；智慧里没有书籍，就好像鸟儿没有翅膀.”某学校开展书香校园活动，甲、乙两学生统计某一周内的读书时长数据.若学生甲一周内每天的读书时长（单位：小时）分别为，，…，，其均值和方差分别为和，学生乙该周内每天的读书时长均比学生甲多半个小时，则学生乙该周内每天读书时长的均值和方差分别为（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据均值、方差的性质求新数据集的均值和方差.
【详解】由题意，若学生甲每天的读书时长，则学生乙该周内每天的读书时长，
所以，.
故选：D
5．已知离散型随机变量X的方差为1，则（    ）
A．2 B．3 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据方差的性质，得到，即可求解.
【详解】由题意，离散型随机变量的方差为1，即，
则.
故选：D.
6．设X，Y为随机变量，且，则（    ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】B
【分析】根据方差的公式求得，再根据方差的性质求解即可
【详解】由题意，，故
故选：B
7．设，随机变量的分布列为：

0

1





则当在上增大时（    ）A．单调递增，最大值为
B．先增后减，最大值为
C．单调递减，最小值为
D．先减后增，最小值为
【答案】D
【分析】根据方差公式，结合二次函数性质可得.
【详解】由题知，解得，
所以
所以

由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有最小值.
故选：D
8．若，其中，则的最大值为（    ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用期望和方差的性质计算得到，设函数，，求导研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，得到答案.
【详解】∵，
∴，，
∴．
设函数（），则．
当时，，单调递增，
当时，．单调递减，
所以在取得极大值，也是最大值，
故，
即的最大值为．
故选：C

二、多选题
9．已知随机变量X的分布列如下表：若，则（    ）


0
1





A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】结合概率之和为以及求得，由此求得，从而判断出正确答案.
【详解】依题意，AB选项正确.
，C选项正确.
，D选项错误.
故选：ABC
10．（多选）下列说法正确的是（    ）．
A．随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”
B．随机变量的均值反映波动幅度的大小
C．随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度
D．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散
【答案】ACD
【分析】根据均值、方差和标准差的定义,即可求解.
【详解】随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以A正确，B错误．
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散，所以CD正确．
故选：ACD．

三、填空题
11．已知，则___________.
【答案】1
【分析】由,化简计算即可.
【详解】解：由，有，可得
故答案为：1.
12．已知样本､､､…､的平均数与方差分别是1和4，且样本､､､…､的平均数与方差分别是1和16，则___________.
【答案】5
【分析】依据随机变量的均值和方差的性质列方程组即可求得，进而求得的值.
【详解】因为样本、、、…、的平均数与方差分别是1和4，
样本、、、…、的平均数与方差是1和16，
所以，又，解得，.
所以.
故答案为：5
13．已知离散型随机变量的分布如下表：


0
2
P
a
b


若随机变量的期望值，则______．
【答案】11
【分析】利用离散型随机变量的分布列的概率和为1，再根据其期望和方差的性质求解即可.
【详解】由表中数据得：，解得，
又，，
所以，
所以．
故答案为：11．
14．某同学上学路上要经过个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记为遇到红灯的次数，若，则Y的方差______．
【答案】
【分析】依题意，再根据二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质计算可得．
【详解】解：同学上学路上要经过个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，
且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．
记为遇到红灯的次数，则，
，
，．
故答案为：．

四、解答题
15．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为.
（1）求的分布列；
（2）求和.
【答案】（1）分布列见解析；（2）3.5；2.92.
【分析】（1）由题意，的可能取值为且概率均为，写出其分布列即可；
（2）根据、分别求和.
【详解】（1）由题意，的可能取值为且各点面的概率均为，
∴的分布列为

1
2
3
4
5
6








（2）；
.
16．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量、，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8、7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2．
(1)求、的分布；
(2)比较甲、乙的射击技术．
【答案】(1)答案见解析；
(2)甲比乙的射击技术好．

【分析】（1）由概率和为1求出对应概率，列出分布列即可；
（2）分别计算期望和方差，比较即可作出判断.
（1）
由题意得：，解得．因为乙射中10、9、8环的概率分别为0.3、0.3、0.2，
所以乙射中7环的概率为，所以的分布为

10
9
8
7

0.5
0.3
0.1
0.1


的分布为

10
9
8
7

0.3
0.3
0.2
0.2

（2）
由（1）得：；；
；
．
由于，，说明甲射击的环数的期望比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．