高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.4 二项分布与超几何分布优秀随堂练习题

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7.4.1二项分布
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：利用二项分布求分布列；二项分布的均值；二项分布的方差；服从二项分布随机变量最大问题；建立二项分布模型解决实际问题
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
1、相互独立事件
设A，B两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即),则称事件A与事件B相互独立。
一般地，如果事件A1,A2,…,An 两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即.
注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；
(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.

2、n次独立重复试验
一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
在次独立重复试验中，记是“第次试验的结果”，显然，
“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响
注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征
第一：每次试验是在同样条件下进行；
第二：各次试验中的事件是相互独立的；
第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.
n 次独立重复试验的公式：
，而称p为成功概率.
3、二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则

X
0
1
…
k
…
n
P


…

…

此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率.
二项分布的期望与方差：若，则 ，
几何分布的期望和方差：
若，其中，…， ．则 ，.
考点讲解


考点1：利用二项分布求分布列
例1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是．
(1)求甲被录用的概率；
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列．
【方法技巧】
（1）利用二项分布计算甲通过两个和三个的项目的概率，相加即可；
（2）利用二项分布，求分布列即可.
【变式训练】
1．　从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的概率分布.





2．食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响．
(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；
(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列．

考点2：二项分布的均值
例2．从一批含有13件正品，2件次品的产品中有放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率.
二项分布的期望与方差：若，则
【变式训练】
1．同时抛2枚质地均匀的硬币3次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的期望是（    ）
A． B． C．1 D．
2．曲靖一中某班级有学生58人，其中男生29人，从该班级中随机地有放回地抽取一人，连续抽58次，抽到女生的次数的期望等于（    ）
A．48 B．30 C．29 D．28
3．若随机变量，则数学期望E（X）＝（    ）
A．6 B．3 C． D．
4．若离散型随机变量，，且，则为（    ）
A． B． C． D．
考点3：二项分布的方差
例3．若随机变量，若则_____________.
【方法技巧】
根据二项分布的期望，方差公式即得.
【变式训练】
1．某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题道，已知该同学每道题答对的概率为，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（    ）
A． B． C． D．
2．已知，则（    ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量服从二项分布，则_______.
4.已知随机变量，则（    ）
A．
B．
C．从装有3个红球、9个黑球的袋中一次性摸出3个球，则可表示摸出的红球个数
D．桐人和茅场晶彦进行3场决斗，且桐人每场决斗的胜率均为（不存在平手），则可表示桐人的胜场数
考点4：服从二项分布随机变量最大问题
例4．《乘风破浪的姐姐》是一档深受观众喜爱的电视节目，节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是（    ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
利用二项分布的概率计算公式即可求解.
【变式训练】
1．如果X～B(15，)，则使P(X＝k)最大的k值（    ）
A．3 B．4
C．4或5 D．3或4
2．某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．若，则取得最大值时，（    ）
A．4或5 B．5或6 C．10 D．5
5．某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，整理得到如下频率分布直方图：

（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；
（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；
（3）若规定分数在为“良好”,为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
考点5：建立二项分布模型解决实际问题
例5．下列例子中随机变量服从二项分布的有________．
①随机变量表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为，从开始射击到击中目标所需的射击次数；
③有一批产品共有件，其中件为次品，采用有放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数（）；
④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数（）．
【方法技巧】
根据题意可得，抽到的次品的件数符合二项分布，再由二项分布的方差公式即可得出答案.
【变式训练】
1．一批零配件的次品率为0.01，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取1000次，表示抽到的次品数，则__________.
2．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；
(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望.
知识小结

二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则

X
0
1
…
k
…
n
P


…

…

此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率.
二项分布的期望与方差：若，则 ，
几何分布的期望和方差：
若，其中，…， ．则 ，.
巩固提升


一、单选题
1．已知随机变量服从二项分布，则等于（    ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量，且，则（    ）
A． B． C． D．
3．设随机变量，若，，则参数的值分别为（   ）
A．12，0.4 B．12，0.6 C．6，0.4 D．6，0.6
4．重伯努利试验应满足的条件：
①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；
③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的．
其中正确的是（    ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
5．某试验每次成功的概率为，现重复进行10次该试验，则恰好有7次试验未成功的概率为（    ）
A． B． C． D．
6．已知随机变量X服从二项分布，若，则等于（    ）
A． B．8 C．12 D．24
7．下列说法正确的个数是（    ）．
①某同学投篮的命中率为，他次投篮中命中的次数是一个随机变量，且服从二项分布；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了张彩票，中奖张数是一个随机变量，且服从二项分布；
③从装有大小与质地相同的个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且服从二项分布．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占，外地游客中有乘观光车登顶，本地游客中有乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20元.若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（    ）
A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元

二、多选题
9．（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（    ）．
A．依次投掷四枚质地不同的硬币
B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次
C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球
D．小明做道难度不同的数学单选题
10．下列说法正确的是（    ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
C．用简单随机抽样的方法从51个体中抽取2个个休，则每个个体被抽到的概率都是
D．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8

三、填空题
11．设随机变量，若随机变量X的数学期望，则__________.
12．新冠核酸检查小组对城市的一个小区名市民进行核酸检查，其中有一个是疑似病人，将名市民的采集样本放在一组，进行化验，如果有一个是疑似病人，这组所采集的样本化验结果显示阳性，该小组每一个市民就必须逐一进行排查，直到找出疑似病人，现从这小组中任选组，那么找到疑似病人所在小组的数学期望为_________
13．若离散型随机变量X服从分布，则______．
14．如果随机变量服从二项分布，服从二项分布，那么当变化时，关于成立的的个数为______．

四、解答题
15．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望.
16．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据．
时间






人数
6
30
35
19
6
4
(1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；
(2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数；
(3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．