人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品同步训练题

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3．3．2 抛物线的简单几何性质
【题型归纳目录】
题型一：抛物线的几何性质
题型二：直线与抛物线的位置关系
题型三：中点弦问题
题型四：焦半径问题
题型五：弦长问题
题型六：定点定值问题
题型七：最值问题
【知识点梳理】
知识点一、抛物线的简单几何性质：
抛物线标准方程的几何性质
范围：，，
抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
对称性：关于x轴对称
抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．
顶点：坐标原点
抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是．
离心率：．
抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，．
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．
因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄．
知识点二、抛物线标准方程几何性质的对比

图形




标准方程




顶点

范围
，
，
，
，
对称轴
x轴
y轴
焦点




离心率

准线方程




焦半径




知识点诠释：
（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
（2）标准方程中的参数的几何意义是指焦点到准线的距离；恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于的值，才易于确定焦点坐标和准线方程．
知识点三、焦半径公式
设抛物线上一点的坐标为，焦点为．
1、抛物线，．
2、抛物线，．
3、抛物线，．
4、抛物线，．
【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式．
知识点四、直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点．
（2）直线的斜率存在．
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数．
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点．
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点．
知识点五、直线与抛物线相交弦长问题
1、弦长
设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为．
（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）．
（2），
（3）直线的方程为．
【方法技巧与总结】
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）
（1）焦点为，准线为
（2）焦点为，准线为
如，即，焦点为，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为（参数）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
11、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．

（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
【典型例题】
题型一：抛物线的几何性质
例1．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则（    ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】设抛物线的准线与y轴交于点D，如图，在等边三角形ABF中，，，所以点B的坐标为，又点B在双曲线上，故，解得．
故选：C．

例2．（2022·四川凉山·高二期末（理））已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示：

在中，可得，，
由抛物线的性质可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，
故选：D．
例3．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（    ）
A．以线段为直径的圆与直线相切
B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时，
D．的最小值为6
【答案】ACD
【解析】由抛物线方程知，准线方程为，由题意可知，直线的斜率存在，
可设：，设，．
对于选项A，易知，∵为的中点，
∴点到准线的距离，
∴以线段为直径的圆与直线相切，A正确；
对于B，由，得，
，，，
∴，∴，
设的中点为，则，，
∵不恒成立，∴以线段为直径的圆与轴未必相切，B错误；
对于C，若，则，不妨设，，∵，∴，，则，，∴，C正确；
对于D，∵，∴当时，，D正确．
故选:ACD．
变式1．（2022·四川资阳·高二期末（文））抛物线上一点P和焦点F的距离等于6，则点P的横坐标（    ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】抛物线的准线方程为，设点的横坐标为，
到焦点的距离等于，故.
故选：B.
变式2．（2022·福建厦门·高二期末）抛物线的焦点为F，点M在C上，，则M到y轴的距离是（    ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】抛物线的准线方程为：
设，由抛物线的定义知：，即，
即，所以M到y轴的距离是.
故选：B.
变式3．（2022·江苏·高二专题练习）对抛物线，下列描述正确的是     (　　)
A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为
【答案】A
【解析】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为.
故选A项.
变式4．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（    ）
A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AB
【解析】由题意可知：动点到定点与它到定直线：的距离相等，
由抛物线定义，知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，所以A，B正确；由知，点到直线的距离，所以C，D错误．
故选：AB．
变式5．（多选题）（2022·江苏镇江·高二期中）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A选项，对于曲线上的任意点，其关于轴对称的点满足方程，关于轴对称的点也满足方程，故满足条件；
对于B选项，即为，表示焦点在轴正半轴的抛物线，关于轴对称，但不关于轴对称，故不满足；
对于C选项，即为，表示焦点在轴上的椭圆，满足既关于轴对称，又关于轴对称，故满足条件；
对于D选项，即为，表示圆心为，半径为的圆，其关于轴对称，不关于轴对称，故不满足条件.
故选：AC
变式6．（2022·全国·高二课时练习）在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线.
（1）；
（2）；
（3）．
通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系．
【解析】在同一平面直角坐标系内做出抛物线，如图，

通过图象可以看出来，当x的系数为正数且越大时，抛物线的开口向右且开口越大.

题型二：直线与抛物线的位置关系
例4．（2022·全国·高二专题练习）已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3过圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心，将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3，则直线l：x+16y﹣1＝0与抛物线C3的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上都有可能
【答案】A
【解析】圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心坐标为（﹣2，1），
代入抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，
∴a＝4，
∴抛物线C1：y＝4（x+1）2﹣3．
将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，
得到抛物线C3：y＝4x2，
联立，消整理得，
，
所以直线l与抛物线C3相交，
故选：A．
例5．（2022·浙江温州·高二期末）已知抛物线，过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有（    ）条．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】抛物线的对称轴为y轴，直线过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个公共点，
设过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程为：，
由消去y并整理得：，则，解得或，
因此，过点与抛物线C相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条，
所以过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条.
故选：D
例6．（2022·全国·高二课时练习）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线共有（    ）条数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与抛物线只有一个交点，满足题意；
当直线的斜率存在时，当时，可得过点的直线与抛物线的对称轴平行，
与抛物线有且只有一个交点，满足条件；
当时，过点的直线与抛物线相切，此时有且只有一个交点，
综上可得满足条件的直线有三条
故选：D．

变式7．（2022·全国·高二课时练习）直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（    ）
A． B．，
C．， D．或
【答案】D
【解析】当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；
当时，由可得：，
若直线与抛物线有且只有一个公共点，
则，整理可得：，所以，
综上所述：或，
故选：D.
变式8．（2022·全国·高二课时练习）已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（    ）
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3，0)
D．(－2，0)
【答案】A
【解析】因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得
x2－4kx－4t＝0，于是＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.
故选：A
变式9．（2022·全国·高二）已知抛物线：，直线过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的直线的条数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意可知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，
由得，，
当时，,此时直线方程为：，与抛物线有且只有一个公共点,符合题意；
当时，由于直线与抛物线有且只有一个公共点，所以对于方程，，，，
此时直线方程为：或.
综上所述：直线的方程为或或,故满足条件的直线共3条.
故答案为：B
题型三：中点弦问题
例7．（2022·湖北·高二阶段练习）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，设，
所以①，②，
所以，①②得：，即，
因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，
所以，即，
所以抛物线，准线方程为.
故选：B
例8．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线y2＝4x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【解析】设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l与抛物线方程，化简可得，y2﹣4my﹣4n＝0，
由韦达定理可得，y1+y2＝4m，
∵，
∴4m＝4，即m＝1，
∴直线l的方程为y＝x﹣n，
∴k＝1．
故选：D
例9．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）过点的直线交抛物线于两点，当点恰好为的中点时，直线的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，所以，
两式相减得，，
因为点为的中点，所以，
所以，故直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
联立，所以，，故斜率为符合题意，因此直线的方程为，
故选：D.
变式10．（2022·全国·高二专题练习）直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为(3，2)，则抛物线C的方程为（    ）
A．y2＝2x或y2＝4x B．y2＝4x或y2＝8x
C．y2＝6x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝8x
【答案】B
【解析】由题可得直线l的方程为，与抛物线方程C：y2＝2px(p>0)联立，得k2x2－k2px－2px＋＝0．
∵AB的中点为M(3，2)，∴，解得k＝1或k＝2，∴p＝2或p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝8x．
故选：B．
变式11．（2022·全国·高二单元测试）点､点为抛物线上不同的两动点，线段的垂直平分线与轴的交点坐标为，则线段的中点的纵坐标是（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】设点，点，的中点，
设的垂直平分线与轴的交点为，则，
所以，
所以，因此.
故选：B.
变式12．（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习（文））在抛物线中，以为中点的弦所在直线的方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设以为中点的弦的两端点的坐标分别为，，
由题意可得，，两式作差可得，，
所以
因此所求直线的方程为，整理得.
故选：C.
变式13．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线与圆在x轴上方的两个交点分别记为A、B，若线段AB的中点在直线y＝x上，则p的值为______．
【答案】
【解析】设，
联立与可得，
由韦达定理得，
的中点，由条件可知，即，
故，
将代入化简得，
又，故，从而
故答案为：
变式14．（2022·全国·高二课时练习）过点作抛物线的弦，若弦恰好被点平分，则弦所在直线的方程为______．
【答案】
【解析】显然不垂直于轴，故，设，，则，两式相减得．
∵点是弦的中点，∴，于是，即直线的斜率，
故弦所在直线的方程为，即．
故答案为：
变式15．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点.
(1)若，求的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
【解析】（1）抛物线的焦点为，
时，直线，
联立，可得，
设，，，，
则，．
，
点到直线的距离距离，
的面积．
（2）∵点，关于直线对称，∴直线的斜率为，
∴可设直线的方程为，
联立，整理可得，
由，可得，
设，，，，则，
故的中点为，
∵点，关于直线对称，∴的中点，在直线上，
∴，得，∵，∴．
综上，的取值范围为．
变式16．（2022·浙江邵外高二阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0).

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；
【解析】（1）若直线l过抛物线C的焦点,直线方程为：x－y－2＝0
故焦点坐标为： ，故
故抛物线方程为：
（2）设，线段PQ的中点
由点P和Q关于直线l对称，则直线l的垂直平分线段PQ，则直线PQ的斜率为-1
设方程为： ，与抛物线联立

因P，Q为抛物线上不同的两点，故
从而
，代入直线可得：
故线段PQ的中点坐标为：
题型四：焦半径问题
例10．（2022·全国·高二单元测试）已知F是抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，且，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，，由，得，则．
又，即．
故选：A．
例11．（2022·河南开封·高二期末（理））阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还宲有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于占，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角二角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，页点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，
由题意知，为“阿基米德三角形”，可得点必在抛物线的准线上，
所以点，直线的斜率为，
又因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即,
故选：C．
例12．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（文））如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，则，
圆C2：圆心为(2,0)，半径1，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为13.
故选：D
变式17．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线过焦点的弦被焦点分成长为m和n两部分，则m与n的关系式为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令过焦点的弦为，与抛物线交点分别为A、B，
联立抛物线整理得：，则，，
故，，
若，，
所以，，故.
故选：C
变式18．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））过抛物线：焦点且斜率为的直线与交于，两点，设满足，则为（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】抛物线焦点为，直线方程为，设，
由得，，，，
，
，则，，，
所以


，
解得．
故选：C．
变式19．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论错误的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：

分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.
抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，
由轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，
，则，，得，
A选项正确；
，又，为的中点，则，B选项正确；
，，（抛物线定义），C选项正确；
，，D选项错误.
故选：D.
变式20．（2022·湖北·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：，点是的准线上的动点，过点作的两条切线，切点分别为A，B，则面积的最小值为（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】如图所示， ,

准线的方程为，设，，，
由得，∴切线的方程为，而，
即，又切线过点，∴，
即，
同理切线的方程为，∴直线的方程为,
则直线过定点，当AB平行于x轴时,此时|AB|为抛物线的通径，
此时 ，
∴，
当且仅当直线轴时取等号,
故选：A．
变式21．（2022·吉林辽源·高二期末）已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于两点A，B（点B在第一象限），与准线l交于点P.若，，则（    ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为C，
由抛物线的定义可知，，
不妨设，因为，所以，
因为，所以，
即，所以，
所以，因为与反向，所以.
故选：B.

变式22．（2022·四川省叙永第一中学校高二期中（文））设抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设方程为，
由，
消去得，
则有①，
由得，
即②，
由①②解得
，
故选：A
变式23．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N．下列说法正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则平分
C．若，则 D．若，延长AO交直线于点D，则D，B，N三点共线
【答案】D
【解析】如图，若，则，C的焦点为，因为，所以，
直线的方程为，整理得，与抛物线方程联立得
，解得或，所以，
所以，选项A错误；

时，因为，所以．又，
，所以不平分，选项B不正确；

若，则，C的焦点为，因为，所以，
直线的方程为，所以，
所以，选项C错误；

若，则，C的焦点为，因为，所以，
直线的方程为，所以，直线的方程为，延长交直线于点D，所以则，
所以D，B，N三点共线，选项D正确；

故选： D.
变式24．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；
②；
③．
已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 顶点的纵坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
直线经过抛物线的焦点，
由题意，设，，
联立，得，
所以，，，解得，
∴，
当时，，所以直线PF方程为：，
因为为“阿基米德三角形”，所以点P必在抛物线的准线上，
所以点，
由抛物线对称性可知，当时，，
故选：B．
变式25．（2022·河南·林州一中高二开学考试（文））如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若，且，则抛物线的方程为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点.

设，,
，由抛物线定义得：，
故
在直角三角形中，，
，，
，
，
，
∥，，
，即，
，
所以抛物线的方程为.
故选：A
变式26．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）如图，已知抛物线，圆，过C点的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则等于（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】圆，点C与抛物线的焦点重合，设，，所以，，
∴．
①当直线l的斜率不存在时，，∴；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(),
与抛物线方程联立消y，得，
∴．
综上，.
故选：A．
题型五：弦长问题
例13．（2022·广东东莞·高二期末）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于PQ两点，若以线段PQ为直径的圆与直线相切，则（    ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解析】抛物线的焦点F，准线
取PQ中点H，分别过P、Q 、H作抛物线准线的垂线，垂足分别为N、M、E

则四边形为直角梯形，为梯形中位线，
由抛物线定义可知， ,，则
故，即点H到抛物线准线的距离为的一半，
则以线段PQ为直径的圆与抛物线的准线相切. 又以线段PQ为直径的圆与直线相切，
则以线段PQ为直径的圆的直径等于直线与直线间的距离.
即
故选：C
例14．（2022·云南玉溪·高二期末）直线与抛物线交于，两点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则
由得：，
所以，，
所以，
故选：D.
例15．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（文））已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（     ）
A．10 B．14 C．12 D．16
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，则,焦准距,准线方程为，
根据抛物线的定义得，．
又，所以．
因为，当且仅当A，F，B三点共线时等号成立，即，
所以的最大值为12，
故选：C
变式27．（2022·江苏·高二）己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（    ）
A．24 B．22 C．20 D．16
【答案】A
【解析】设直线，的斜率分别为，
由抛物线的性质可得，，
所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A.
变式28．（2022·辽宁·高二期末）过抛物线C：y2=4x的焦点F分别作斜率为k1、k2的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，若|k1·k2|=2，则|AB|+|DE|的最小值为（    ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【解析】抛物线C：y2=4x的焦点F为，直线l1的方程为，
则联立后得到，设，
，，则，
同理设可得：，
因为|k1·k2|=2，所以，
当且仅当，即或时，等号成立，
故选：B
变式29．（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习（理））抛物线有如下的光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，已知抛物线C：的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点（1，－2）射入，经抛物线上的点P反射后，再经抛物线上另一点Q反射后射出，则（    ）
A． B．13 C． D．14
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为，
由，
直线的方程为，
由解得或，
所以，所以.
故选：A
变式30．（2022·江苏·南京市秦淮中学高二期末）若抛物线与直线：相交于两点，则弦的长为（    ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】B
【解析】由题得.
由题得抛物线的焦点坐标为刚好在直线上，
设，联立直线和抛物线方程得,
所以.
所以.
故选：B
变式31．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（理））已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，若的面积为36，则等于（    ）
A．36 B．24 C．12 D．6
【答案】C
【解析】设抛物线方程为：，
因为直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，
所以，
又 P为C的准线上一点，
所以点P到直线AB的距离为p，
所以，解得，
所以，
故选：C
变式32．（2022·吉林·长春外国语学校高二期末）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线与A、B两点，若线段中点的纵坐标为3，则等于（    ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
设，则，
所以，
故选：B
变式33．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，若直线l过F，且与抛物线C交于A，B，过点A作直线y=-1的垂线，垂足为点M，点N在y轴上，AF，MN互相垂直平分，则|AB|=（    ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【解析】如图所示，因为AF，MN互相垂直平分，所以四边形AMFN为菱形.
又由抛物线定义可知，，故△AMF为正三角形，从而∠FMC= 30° ，
所以在Rt△FMC中，，
又=2，所以.
设，所以，
由题得直线的倾斜角为，所以直线的方程为，
联立直线和抛物线方程得，所以，
所以.
所以，
所以
所以.
故选：B

变式34．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中，
设点、、，
联立可得，，，
所以，，
，，
直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以，，
因为，则，因为，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：C.
题型六：定点定值问题
例16．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））已知曲线C：x2=2y，点D为直线上的动点，过点D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)若点D的坐标为，求这两条切线的方程；
(2)证明：直线AB过定点.
【解析】(1)设切点为，
∵，∴曲线在点处的切线的斜率
∴切线的方程为：
又切线过点，∴，
解得或，故切线的方程为：或.
(2)设，则.
由于，所以切线的斜率为，故.
整理得
设，同理可得.
故直线的方程为.
所以直线过定点.
例17．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.
(1)求抛物线的方程；
(2)若不过原点的直线与抛物线交于A、B两点，且，求证：直线过定点并求出定点坐标.
【解析】(1)抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点，
设抛物线的方程为，
到焦点的距离为6，即有点到准线的距离为6，
即 解得，即抛物线的标准方程为；
(2)证明:由题意知直线不能与轴平行，故直线方程可设为,
与抛物线联立得  ，消去得,
设，则,
则，,
由，可得，
所以，即，
亦即 ，又，解得，
所以直线方程为，易得直线过定点.
例18．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值.
【解析】(1)抛物线的焦点坐标为，将代入，得，
所以点和点的坐标为，.
所以，
所以，所以（舍去）.
所以的方程为.
(2)证明：由（1）知，，由于直线，均与交于两点，
所以直线，斜率存在且不为0.
设直线的方程为，，，
联立得，
恒成立.
所以，
所以.
因为，所以将换成，得，
所以，
所以为定值.
变式35．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）已知抛物线，直线交C于A，B两点．
(1)若弦AB的中点是，求直线l的方程；
(2)设，，若，求证：直线过定点．
【解析】(1)由于在抛物线开口之内，且不在轴上，
直线的斜率存在，设为，且设，
可得，两式相减可得，
即，
则直线的方程为，即，
检验直线存在，且方程为；
(2)证明：若直线的斜率不存在，可得（其中），
将代入抛物线方程，可得，
则，即，直线过；
若直线的斜率存在，设为，
当时，设的方程为，
将代入抛物线的方程消去可得，
所以，即有，所以，
所以直线的方程为，则直线恒过定点．
当时，直线的方程为，
又，即，此时不存在直线满足题意；
综上，直线恒过定点．
变式36．（2022·福建泉州·高二期中）已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明：直线过定点．
【解析】(1)∵抛物线过点，
．．
∴动点的轨迹的方程为．
(2)设，，
由得，
，．
，
．
，
或．
，
舍去．
，满足．
∴直线的方程为．
∴直线必经过定点．
变式37．（2022·全国·高二课时练习）已知为抛物线：的焦点，直线：与抛物线交于，两点且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线：与抛物线交于，两点，且与相交于点，且向量，，证明：为定值．
【解析】（1）设，，联立方程，得，
则，
从而，
解得，故的方程为．
（2）证明：设，，且点，
联立方程，得，
则，
同理得，
因为向量，，
所以，
两式相加得，
即，由于，所以．
所以为定值．
题型七：最值问题
例19．（2022·全国·高二专题练习）已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，点是含抛物线顶点的弧上一点，求的最大面积.
【解析】设，，，，所在的直线方程为，将其代入抛物线，
得，
，
，
当过的直线平行于且与抛物线相切时的面积有最大值.

设直线方程为，代入抛物线方程得，
由，得，这时，
它到的距离为，
的最大面积为.
例20．（2022·上海·一模）已知抛物线，是轴上一点，是抛物线上任意一点.
（1）若，求的最小值；
（2）已知为坐标原点，若的最小值为，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，A（1，0）为抛物线的焦点，此时=到准线的距离，
∴当为抛物线的顶点时，到准线的距离最小为1，即的最小值为1.
（2）
的最小值为，即当时取得最小值，
所以，即.
例21．（2022·四川成都·高二期中（理））已知为抛物线上一点，点到直线的距离为.
（1）求的最小值，并求此时点的坐标；
（2）若点到抛物线的准线的距离为，求的最小值.
【解析】（1）设，则，
当时，，此时，
∴当时，.
（2）设抛物线的焦点为，则，且，
∴，它的最小值为点到直线的距离.
∴.
变式38．（2022·广东·盐田高中高二期中）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，当A，B两点的纵坐标相同时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若P，Q为抛物线C上两个动点，，E为PQ的中点，求点E纵坐标的最小值．
【解析】（1）由题设，且，则，
所以抛物线C的方程.
（2）设直线为，联立抛物线可得，
所以，即，
，，则，故，
又，可得，
所以且，则，
由对勾函数的性质：
当，时，在上递增，则最小；
当，时，在上递减，在上递增，则最小；
综上，时最小；时最小.
变式39．（2022·福建厦门·高二期末（文））已知抛物线C：的焦点为F，直线l过点，交抛物线于A、B两点.
（1）若P为中点，求l的方程；
（2）求的最小值.
【解析】（1）方法一：设，，，则，，
，化简得，
因为的中点为，，
，∴l的方程为，即.
经检验，符合题意.
方法二：设，，
当斜率不存在时，显然不成立.
当斜率存在时，设直线l：，显然，
由得
易知，，
因为的中点为，，即，
解得，∴l的方程为
（2）方法一：由抛物线的定义可知
当斜率不存在时，直线l：，
当斜率存在时，设直线l：，显然，
由得，
易知，
，
时，的最小值为
综上，的最小值为
方法二：由抛物线的定义可知
显然直线l不平行于x轴，设直线l：，
由得，
易知，，，


时，的最小值为

【同步练习】
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的焦点到直线的距离是（      ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由抛物线方程知：为抛物线焦点，所求距离.
故选：D.
2．（2022·全国·高二课时练习）设点为抛物线上一点，点，且，则点的横坐标为（      ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】由抛物线方程知：为抛物线的焦点，，解得：.
故选：B.
3．（2022·四川省资阳中学高二开学考试（理））抛物线的焦点坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得，所以抛物线的焦点坐标为.
故选：C
4．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（文））设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】抛物线的焦点的坐标为，
所以直线的方程为：，
令，解得，因此点的坐标为：，
因为的面积为4，
所以有，即，，
因此抛物线的方程为.
故选：B.
5．（2022·浙江舟山·高二期末）已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（    ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】因为点在抛物线上，，解得，
利用抛物线的定义知
故选：D
6．（2022·内蒙古包头·高二期末（文））已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，过点P向抛物线的准线作垂线，垂足为N.若，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，根据抛物线定义，可知PF=PN，OF=AO=2，又因为，所以三角形PNF为等边三角形，点F作FM⊥PN于点M，则M为PN的中点，且MN=AF=2，所以PN=4，由勾股定理得：，所以的面积为.

故选：C
7．（2022·北京西城·高二期末）设抛物线的顶点为原点，焦点在轴上，过的直线交抛物线于点，则以为直径的圆（    ）
A．必过原点 B．必与轴相切
C．必与轴相切 D．必与抛物线的准线相切
【答案】C
【解析】如图，取中点，以为圆心，为直径作圆，与相切于点，连接，证明如下：因为为，中点，所以，又，所以，由抛物线定义可知，，所以为圆的半径，即以为直径的圆与轴相切.
故选：C

8．（2022·四川南充·高二期末（文））抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（    ）
A．－5 B．－3 C．3 D．5
【答案】B
【解析】设，，
由题意，直线的斜率存在，
因为抛物线的焦点为，所以不妨设直线的方程为，
由，可得，
所以，，，
所以，
故选：B.
二、多选题
9．（2022·全国·高二专题练习）(多选)经过抛物线(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是（ ）
A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B．＋＝
C．以弦AB为直径的圆与直线相离 D．y1y2＝－p2
【答案】AD
【解析】设过抛物线焦点的直线方程为：，代入得，
，则
，，
，
当直线AB与x轴垂直时，，|AB|最小，∴A正确；
，∴B错；
以AB为直径的圆：圆心，半径为
圆心与准线的距离
圆与准线相切，∴C错，
，∴D正确；
故选：AD.
10．（2022·全国·高二课前预习）已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（    ）
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝2y D．x2＝－2y
【答案】CD
【解析】由，解得：或，则交点坐标为，，
则，解得：，
则抛物线的方程，
故选：CD．
11．（2022·全国·高二课时练习）（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（    ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AB
【解析】由抛物线定义，知曲线是以为焦点，
直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
若点在曲线上，则点也在曲线上，故曲线关于轴对称，故B正确；
由知，故C错误；
点到直线的距离，所以D错误
故选：AB
12．（2022·江苏省宝楠国际学校高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，与轴相交于点，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】如图所示：连接，，

的焦点为，准线为：，为抛物线上一点
，
，分别为，的中点，
，
垂直于点，
， ，则选项A正确；
，
为等边三角形，


，则选项C正确；
，
四边形为矩形
，则选项B错误；

四边形为平行四边形，
，则选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．（2022·江苏·金陵中学高二阶段练习）过抛物线）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C（点B在点F，C之间），且则直线AB的斜截式方程为__________
【答案】或
【解析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，准线与轴的交点为G

设，则，，∴，即直线AB的斜率为
则可得，，
在ACE中可得：，则，即，
又，则，解得，即．
所以直线AB的斜截式方程为或
故答案为：或.
14．（2022·湖南省岳阳县第一中学高二阶段练习）若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离为8，则该抛物线的方程为________．
【答案】
【解析】由题意可知 ,
则 ，
故抛物线的方程为 .
15．（2022·安徽·六安一中东校区高二开学考试）已知直线过抛物线：的焦点，则______．
【答案】
【解析】因为直线与轴交点坐标为 ，
又过抛物线的焦点，则即为抛物线的焦点，
所以，故，
故答案为：3.
16．（2022·广西·宾阳中学高二期中）以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；②以定点为焦点，定直线为准线的椭圆（不在上）有无数多个；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④过原点任做一直线，若与抛物线，分别交于、两点，则为定值．
其中真命题的序号为________（写出所有真命题的序号）
【答案】②③④
【解析】①由双曲线的定义可得，，当时，动点的轨迹不存在，当时，动点的轨迹为一条射线，当时，动点的轨迹为双曲线的一支．故①不对．
②以定点为焦点，定直线为准线的椭圆不在上），离心率的值有无数个，故椭圆有无数多个；故②对．
③方程的两根为：2，，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率；故③对
④设过原点的直线方程为，，的坐标分别为，，， 联立，消去，可得，，同理可得，
为定值．故④对．
故答案为：②③④
四、解答题
17．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线E：的焦点为F，直线与E相交所得线段的长为．
(1)求E的方程；
(2)若不过点F的直线l与E相交于A，B两点，请从①AB中点的纵坐标为3，②的重心在直线上，③这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）因为直线与抛物线相交所得线段的长为，所以抛物线过点（由抛物线的对称性得到），则，即，所以的方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，l与E相交于A，B两点，AB中点的纵坐标为0，选①②或①③或②③均不符合题意，故直线的斜率存在．设，，，由（1）知．由，得，所以．方案一  选择条件①③．因为AB中点的纵坐标为3，所以，则，因为，所以，则，所以．综上，直线的方程为．方案二  选择条件②③．因为的重心在直线上，所以，则，即．因为，所以，则，即，所以．综上，直线的方程为．方案三  选择条件①②．因为AB中点的纵坐标为3，所以，则．因为的重心在直线上，所以，则，即．两个条件，都只能得出斜率，无法计算出b的值，因此不能得到直线的方程．
18．（2022·全国·高二专题练习）有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥．
(3)若设EF＝a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．
【解析】（1）设抛物线的解析式为．
把已知坐标代入解析式，
求得a，b＝0，c＝0．
故抛物线的解析式为．
（2）∵CD＝9
∴点E的横坐标为 ，则点E的纵坐标为
∴点E的坐标为 ，
因此要使货船能通过拱桥，则货船最大高度不能超过（米）
（3）由EF＝a，则E点坐标为 ，
此时
∴．
19．（2022·全国·高二课时练习）设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？
【解析】联立方程，得
消去并整理，得.
当时，方程为一元二次方程.
所以.
当，即时，与相切；
当，即且时，与相交；
当，即时，与相离.
当时，直线的方程为，显然与抛物线交于点.
综上所述，当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离.
20．（2022·全国·高二课时练习）如图，为抛物线上的一点，抛物线的焦点为，垂直于直线，垂足为，直线垂直于，分别交轴、轴于点A，．

(1)求使为等边三角形的点的坐标．
(2)是否存在点，使平分线段？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意可知 ,
设点的坐标为，满足,则点的坐标为，．
由抛物线的定义知．因为，且为等边三角形，
所以，
又，所以，，
所以点的坐标为．
（2）假设存在点，使，连接，

则点A的坐标为，点的坐标为，．
又，所以，
即，又，所以，．
所以存在满足条件的点，且点的坐标为．
21．（2022·全国·高二专题练习）已知定点在抛物线上，动点且，求证：弦必过一定点．

【解析】设所在直线方程为：，
与抛物线方程联立，消去得．
设，则，，
由已知得，
即，
因为，，
所以，
化简得．
又，，故，
直线方程化为：．
直线恒过点．