专题02 圆锥曲线经典题型全归纳-2023-2024学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

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专题02 圆锥曲线经典题型全归纳
【题型归纳目录】
题型一：向量搭桥进行翻译
题型二：弦长、面积背景的条件翻译
题型三：斜率背景条件的翻译
题型四：弦长、面积范围与最值问题
题型五：坐标、斜率、角度、向量数量积等范围与最值问题
题型六：定值问题
题型七：定点问题
题型八：三点共线问题
题型九：中点弦问题
题型十：四点共圆问题
题型十一：切线问题
【考点预测】
考点一、直线和曲线联立
（1）椭圆与直线相交于两点，设，
，
椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，
注意：
①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．
（2）抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．
总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
考点二、根的判别式和韦达定理
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．
同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．
与C相离；与C相切；与C相交．
注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；
焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
考点三、弦长公式
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为，时，；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．
（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．
考点四、已知弦的中点，研究的斜率和方程
（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，
运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，
所以，两式相减得
所以
即，故
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．
考点五、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
考点六、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
考点七、证明共线的方法
（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．
考点八、证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
考点九、切线问题
（1）若点是圆上的点，则过点的切线方程为．
（2）若点是圆外的点，由点向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．
（3）若点是椭圆上的点，则过点的切线方程为．
（4）若点是椭圆外的点，由点P向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．
【典例例题】
题型一：向量搭桥进行翻译
例1．（2022·福建省永春第一中学高二阶段练习）已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；
(3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.
【解析】(1)因双曲线C的中心在原点，一个顶点是，则设双曲线C的方程为：，
于是得双曲线C的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线的一个方向向量是，
则有，
所以双曲线C的方程为.
(2)依题意，设点，则，即，
，当时，，此时，
点M到直线DP：的距离为，而，如图，

四边形ODMP的面积，
所以四边形ODMP的面积为.
(3)显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程：，由消去x得：，
当时，恒成立，设，
则有，，
因此，，
所以为定值0.
例2．（2022·天津益中学校高二阶段练习）已知圆：.
（1）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；
（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
【解析】（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意.
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即.
设圆心到此直线的距离为，则，得，∴，，
故所求直线方程为.
综上所述，所求直线方程为或.
（2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.
∵，∴，即，.
又∵，∴.
由已知，直线轴，∴，
∴点的轨迹方程是 .
轨迹是焦点坐标为，长轴长为8的椭圆，并去掉两点.
例3．（2022·上海市吴淞中学高二期末）已知离心率为的椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，为左右焦点，为椭圆上的点，且．直线过椭圆外一点，与椭圆交于两点，满足．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求三角形面积的取值范围；
(3)对于任意点，是否总存在唯一的直线，使得成立，若存在，求出直线的斜率；否则说明理由．
【解析】（1）由题可设椭圆方程为，则，
由椭圆定理可得，
则，
所以椭圆的方程为：.
（2）由题可知直线的斜率存在且不为0，则设直线方程为，
联立，
可得，，
∴，
∴，
令，则，
当且仅当，即时等号成立，
所以三角形面积的取值范围为.
（3）设直线方程为（斜率必存在），
则，，
∵，∴，
∴，
化简得①，
联立得，
∴，
∴，
代入①得，，
∴②，
∴，
代入②得：，故，
而点在轴上方，所以对于任意一个，存在唯一的使得，
故直线有且只有一条使得．
变式1．（2022·福建三明·高二期中）已知，是椭圆：的焦点，，是左、右顶点，椭圆上的点满足，且直线，的斜率之积等于
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交于，两点，若，，其中，证明
【解析】（1）因为：上的点满足，
所以表示焦点在轴上的椭圆，且，即，
所以，，
设，则，①
所以直线的斜率，直线的斜率
由已知得，即，②
由①②得
所以椭圆的方程为：

（2）当直线的斜率为0时，与重合，与重合，，
成立.
当直线的斜率不为0时，设的方程为
联立方程组，消整理得，
所以，解得或
设，，则，
由，得，所以
设，由，得
所，
所以，
所以点在直线上，且
所以是等腰三角形，且，
所以，
综上，
题型二：弦长、面积背景的条件翻译
例4．（2022·江苏·北大附属宿迁实验学校高二期中）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求：
(1)双曲线的方程及其渐近线方程；
(2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长．
【解析】（1）由题意可得，可得＝4，且焦点在轴上，
所以，
所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：；
（2）由于中点不在轴上，根据双曲线的对称性可得直线的斜率必存在，
设直线：，，
联立，
消去得
则，，解得，
则


例5．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知双曲线C：经过点，焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值．
【解析】（1）若焦点F（c，0），其到渐近线的距离，
又因为双曲线C：经过点，
所以，解得a＝2，所以双曲线C的方程为；
（2）由（1）知双曲线的右焦点为，所以直线l方程为：
设点，，
联立，
得，
所以，，
从而.
所以弦长|AB|的值为24．
例6．（2022·辽宁·育明高中高二期中）①过且垂直于长轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3；②P为椭圆C上一点，面积最大值为.在上述两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
设椭圆左右焦点分别为，，上下顶点分别为，，短轴长为，______.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与C交于不同的两点M，N，若，试求内切圆的面积.
【解析】（1）依题意，
若选①：由，，
所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
若选②：对于，
当最大，也即是椭圆的上下顶点时，
三角形的面积取得最大值为，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，
由于，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
由消去并化简得，，
设，则，
所以，
到直线即的距离为，
所以三角形的面积为，
设三角形的内切圆半径为，
则，
所以内切圆的面积为.
变式2．（2022·江苏·海安高级中学高二开学考试）已知双曲线的左、右顶点分别是且经过点，双曲线的右焦点到渐近线的距离是，不与坐标轴平行的直线与双曲线交于两点（异于），关于原点的对称点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在双曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求出该定值.
【解析】（1）设双曲线的右焦点，一条渐近线为，则
由题意可知，，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，,则
，消去，得，，
因为，所以，
所以，
所以

所以，
由题意可知，，
由三点共线可得
即，
由三点共线可得
即，
相交可得
，
所以直线的方程为，
联立，解得，
所以点在定直线上，
则使得的面积为定值的点一定为过点且与直线平行的直线与双曲线的交点，此时，且.
变式3．（2022·四川·眉山中学高二期中（理））已知抛物线，直线与抛物线交于两点
(1)若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；
(2)若 ，求的面积.
【解析】（1）由题意得，，消去x，得，
，解得，
，
设，圆心，
则，，
由题意知圆的半径为，
又，
所以，即，解得，
所以，即圆心，
所以圆的方程为；
（2）由，
，消去，得，
得，又，
所以，解得，
所以直线，即，
又点到直线l的距离为，
，
所以.
题型三：斜率背景条件的翻译
例7．（2022·江苏·滨海县东元高级中学高二阶段练习）已知椭圆C：的离心率，经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆C相交于P、Q两点，直线AP、AQ的斜率之和为0，求直线的斜率.
【解析】（1）由得：，
将代入椭圆方程得：，结合，
求出，，故椭圆C方程为；
（2）当直线的斜率为0或斜率不存在时，由对称性可知：此时直线AP、AQ的斜率之和不为0，舍去；
故直线的斜率存在且不为0，设为，
与联立得：，
设，
故，
故

，
即，
解得：，
即，，
当时，，即直线经过点，
此时两点中有一点与重合，不合要求，舍去，
故，解得：，
故直线的斜率为.
例8．（2022·河南·郑州外国语学校高二期中）已知椭圆C：的下顶点为点D，右焦点为.延长交椭圆C于点E，且满足.
(1)试求椭圆C的标准方程；
(2)A，B分别是椭圆长轴的左右两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，AN的斜率分别是，.若直线MN过点，则是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由.
【解析】（1）椭圆的下顶点为，右焦点，设点的坐标为，
因为，所以，又，，
所以，解得，
代入可得，即，得，
又，则，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意设直线，，，

联立，消去，得，
则，，
所以

．
例9．（2022·江苏泰州·高二期中）已知双曲线C过点,.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值.
【解析】（1）设双曲线C的方程为,
将,代入上式得:,
解得,
双曲线C的方程为.
（2）设,,
由题意易得直线l的斜率存在,
设直线l的方程为,代入整理得,
,
,,且,
则

,
故为定值.
变式4．（2022·江西·赣州市第三中学高二期中）已知双曲线（，）的左焦点坐标为，直线与双曲线交于，两点，线段中点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)经过点且与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，，点，直线，与双曲线分别交于另一点，，若直线与直线的斜率都存在，并分别设为，.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意知，直线的斜率为，设，，
由题意，两式相减得：，
整理得：，即，
又，所以，，即双曲线，经检验满足题意.
（2）因为的斜率存在且，直线的方程为，设，，
又，设直线，  
联立，整理得，
由韦达定理得，
又∵，∴，
于是，
故，同理可得，  
∴
∴，
∴为定值，所以的值.
变式5．（2022·江西·赣州市第三中学高二期中）已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；
(2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值.
【解析】（1）由题意得，解得.
从而得到抛物线的方程为，
准线方程为；
（2）设，，
由
得，
∴，，
，
∴  




所以的值为.
变式6．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知平面内的两点，，，过点A的直线与过点B的直线相交于点C，若直线与直线的斜率乘积为，设点C的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)设P是E与x轴正半轴的交点，过P点作两条直线分别与E交于点M，N，若直线PM，PN斜率之积为－2，求证：直线MN恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．
【解析】（1）设，由直线与直线的斜率乘积为，
可得，化为，
即为．
（2）设直线，则，，
即，设，，
而，，，
则由，得，
，
则，
即，
整理得，解得或（舍去），
所以直线，知直线MN恒过点．
题型四：弦长、面积范围与最值问题
例10．（2022·重庆一中高二阶段练习）如图，已知椭圆内切于矩形，对角线的斜率之积为，左焦点.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与椭圆交于两点，与交于两点，求的取值范围.
【解析】（1）由圆内切于矩形ABCD，对角线AC，BD的斜率之积为，左焦点，
可得，解得，故椭圆C的标准方程为；
（2）i.的斜率为0时，直线为，得，，
；
ii.的斜率不为0时，设，
由，
恒成立，
设，则，
，
点到直线的距离，
∴，
令，则，
令，，.
综上，的取值范围为.
例11．（2022·广西·浦北中学高二期中）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得，
，解得，
所以的方程为.
（2）圆的圆心为，半径圆.
①当直线的斜率不存在时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.                 
②当直线的斜率为时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.                    
③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为，
因为直线与圆相切，所以，得
建立方程组，消并化简得，
.
设,,则,，
所以=



而，当且仅当，即时，等号成立.
所以 ，
所以.
综上所述，的取值范围是.
例12．（2022·安徽省舒城晓天中学高二期中）设椭圆的右焦点为，离心率为，为圆：的圆心.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过椭圆左焦点的直线（斜率存在且不为0）交椭圆于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围.
【解析】（1）将圆：转化为标准方程，
则，其圆心为，
所以椭圆的右焦点为，
所以
由题意知，
则，
所以，
又，得.
所以椭圆的方程为：.
（2）由已知可设的方程为，并设，.
联立，消去得，
，且，，
.
过且与垂直的直线：，则圆心到的距离为,
所以，
故四边形面积：.
因为，
所以，
所以，
所以，所以，
故四边形面积的取值范围为.
变式7．（2022·四川省平昌中学高二阶段练习（理））已知圆和定点，P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点M，设动点M的轨迹为曲线E，且曲线E与直线相切.
(1)求曲线E的方程；
(2)若过点且斜率为k的直线l与曲线E交于A，B两点.
（ⅰ）求k的取值范围；
（ⅱ）求面积的最大值.
【解析】（1）由题意圆，故圆心，半径；
∵点且线段的垂直平分线交于点M；
∴；
∴；
∴动点M的轨迹曲线E是以，为焦点，为长轴的椭圆；
∴曲线；
∵曲线E与直线相切，故，；
∴曲线；
（2）依题直线；
则由；
（ⅰ）∵；
∴或；
（ⅱ）设
∵
∴；
；
；
原点O到直线l的距离；
∴；
；
；
；
当且仅当即时取得最大值；
∴面积的最大值为.
变式8．（2022·湖北·华中科技大学附属中学高二期中）已知是椭圆的左､右顶点，且短轴长为是椭圆上位于轴上方的动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为和.求的取值范围.
【解析】（1）依题意，，
设，则
，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2），
直线的方程为，令，得，故.
直线的方程为，令，得，故.
依题意可知，
所以，
所以，
由于，
根据二次函数的性质可知.
题型五：坐标、斜率、角度、向量数量积等范围与最值问题
例13．（2022·四川·树德中学高二阶段练习）已知椭圆．
(1)若直线与交于、两点，且线段中点的坐标为，求的方程．
(2)点是上一点，求的取值范围．
【解析】（1）设、，则有，，
两式相减得，
整理得，所以，
因此直线的方程为，即．
（2）令，则问题可化为直线与椭圆有公共点，
联立得，即，
由得，解得．
即的取值范围是．
例14．（2022·辽宁·鞍山一中高二期中）已知椭圆与轴正半轴交于点，直线与椭圆交于、两点，直线与直线的斜率分别记为，，
(1)求的值
(2)若直线与椭圆相交于、两点，直线、的斜率分别记作、，若，且在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．
【解析】（1）由，得，解得或，
当时，；当时，，
所以，，
因为，
所以，
所以；
（2）若直线的斜率不存在，则垂直于轴，则点不在以为直径的圆内，不合题意，
若直线的斜率存在，设直线为，设，
由，得，
由，得，
则，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
，
由题意可知，所以解得，
所以，即，解得或，
因为在以为直径的圆内，
所以，
所以，
化简得，解得，
综上，.
例15．（2022·辽宁·鞍山一中高二期中）双曲线的一条渐近线方程为且焦距为，点，过的直线与双曲线交于，两点
(1)求双曲线的方程
(2)若，两点均在轴左侧，求直线的斜率的取值范围．
【解析】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为且焦距为，
所以，解得，
所以双曲线方程为：；
（2）由题意可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
由，可得，
，
所以，即，
设，
因为，两点均在轴左侧，
所以，
所以，可得，
解得，
又因为，
所以，
所以.
变式9．（2022·江苏南通·高二期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线与椭圆，A，B分别为的左､右顶点，点在双曲线上，且位于第一象限.
(1)直线与椭圆相交于第一象限内的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，求的值；
(2)直线与椭圆相交于点（异于点A），求的取值范围.
【解析】（1）方法1：设直线，
联立，消，得，
所以，解得，
设，则，
所以.
联立，消，得，
设，则，
所以.
因为，，
所以，
，
所以.
方法2设，，
因为，，
所以，
.
因为点在双曲线上，所以，
所以，所以.
因为点在椭圆线上，所以，
所以，所以.
因为，，三点共线，所以，
所以.
（2）设直线的方程为，
联立，消，得
，
解得，，
所以点的坐标为，
因为点位于第一象限，所以，
解得，联立，消，得
，
解得，，
所以点的坐标为，
所以，
设，则，
所以.
因为函数在区间上单调递增，
所以当时，，所以，
所以，即，
故的取值范围为.
变式10．（2022·重庆市育才中学高二期中）已知椭圆C:，其右焦点为，左焦点为F1，A在椭圆上且满足.
(1)求的大小；
(2)若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围.
【解析】（1）依题意，不妨设，则，
又因为椭圆C:，所以，故，，则，
所以由椭圆的定义可得，即，
当点在椭圆左右顶点位置时，，不满足题意，所以点是椭圆上异于左右顶点的点，
故在中，，
因为，所以.

（2）依题意，设，则由椭圆的几何性质易知，
又由（1）得，，
所以
因为是该椭圆上的一个动点，则，即，
故，
因为开口向上，对称轴为，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，
又当时，，所以的最大值为，
所以，即的取值范围为.
变式11．（2022·四川·德阳五中高二阶段练习（理））已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点相同，椭圆C的离心率为．
(1)求椭圆C方程；
(2)若直线交椭圆C于P、Q两点，l交y轴于点R．
①求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）；
②若，求实数的取值范围．
【解析】（1）由，可得，故，设椭圆．
又抛物线的焦点，即，
∴椭圆．
（2）（ⅰ）设，
联立

由，且，

原点O到直线l距离，
，
令，
所以，
当且仅当，，时，等号成立，此时面积最大为．
（ⅱ），，，
，，
又，

．
变式12．（2022·江苏·南京外国语学校高二阶段练习）设A，B为双曲线C：的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围．
【解析】（1）由双曲线C：可得：右焦点，
将代入中，，
当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，
此时，
即，整理得：，
因为，所以，
方程两边同除以得：，解得：或（舍去），
所以双曲线的离心率为2；
（2）因为，所以，
因为，解得，故，
所以双曲线的方程为，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为：，
与双曲线联立得：，
设，则，，
则，
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，
直线，则，同理可求得：，
所以，，
因为为锐角，所以，
即，所以
所以即，解得或；
当直线的斜率不存在时，将代入双曲线可得，此时不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，
所以，，
因为为锐角，所以，解得或；
综上所述，t的取值范围或
题型六：定值问题
例16．（2022·安徽省阜南实验中学高二阶段练习）已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于，两点，求证：
(1)为定值；
(2)为定值．
【解析】（1）抛物线的焦点为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由消去，得．
由根与系数的关系，得 (定值)．
当直线的斜率不存在时，即轴时，，，也成立，
综上，为定值；
（2）根据抛物线定义知， ，，
当直线的斜率存在时，由（1）可知，
所以

(定值)．
当轴时， 由（1）可知，所以，上式仍成立．
综上，为定值.
例17．（2022·广东广州·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B到F的距离为5，且B的纵坐标为．

(1)求抛物线C的标准方程与点B的坐标；
(2)设点M为抛物线C上异于A，B的点，直线MA与MB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：为定值，并求出定值．
【解析】（1）由题意得：，因为点B到F的距离为5，且B在x 轴的上方，且B的纵坐标为所以，故，即，因为得，
故抛物线C的方程为：，此时.
（2）由（1）得：，线方程，
直线l的方程：，
由，解得或，于是得．
设点，又题意且，
所以直线MA：，即，令，得，即.
同理直线MB：，即，
令，得，
即，
故．
例18．（2022·吉林省实验中学高二期中）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，上顶点M与左右顶点连线MA，MB的斜率乘积为，焦距为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P为椭圆上异于A，B的点，直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作交椭圆于N点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）已知，．又，
所以．又，解得，可得椭圆C的方程：
（2）设直线AP的方程为：，根据平行则直线ON的方程：
联立直线AP与椭圆C的方程得：，

由，得，
联立直线ON与椭圆C的方程得：，得
所以
，
即为定值，定值是2.
变式13．（2022·山东省实验中学高二期中）已知椭圆： 的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若的最大值是5，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线交轴于点，且，，试分析是否为定值，若是，请求出这个定值；否则，请说明理由．
【解析】（1）因为的周长为，即，
且的最小值为为椭圆通径时，即，
所以，
由正弦定理可得：，
所以，
又，解得，，，
故椭圆的标准方程为；
（2）由題意可得，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，消去可得，，
设，，则，设，
又，所以，，故，
同理，，，则
故
，
所以是定值．
题型七：定点问题
例19．（2022·广东江门·高二期末）已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点，椭圆的上､下顶点分別为，点在椭圆上且异于点，直线与直线分别交于点.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)当点运动时，以为直径的圆是否经过轴上的定点？请证明你的结论.
【解析】（1）因为双曲线为，所以，
又因为椭圆和双曲线的焦距相同，所以，
将代入椭圆方程，可得，
解得或（舍去），
故所求椭圆的标准方程为.
（2）是，证明如下：
由（1）得椭圆：，所以，
令，则由题设可知，
所以直线的斜率的斜率为，
又点在椭圆上，所以，
从而有，
又易得的方程为，直线的方程为，
由，解得，由，解得，
所以，直线与直线的交点，直线与直线的交点，
设点是以为直径的圆上的任意一点，则，
故有，又，
所以以为直径的圆的方程为，
令，则，解得或，
所以以为直径的圆恒过定点或.
例20．（2022·福建·高二阶段练习）已知圆，点是圆外的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点．
(1)求点的轨迹的方程
(2)过点的直线交曲线于两点，问在轴是否存在定点使？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）线段的垂直平分线与直线相交于点．
，
∴点的轨迹是以为焦点的双曲线，
，，又，则，
∴轨迹的方程是；
（2）当直线斜率不为0时，令，则
由得
∵直线与双曲线有两个交点，

假设存在点使，则，
，
即，
即，
轴上存在点，使得，
当直线斜率为0时，点使得，
综上，轴上存在点，使得．
例21．（2022·河南·高二阶段练习）已知椭圆上有点，左、右焦点分别为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点．
【解析】（1）根据椭圆定义得，，即 ，
，故椭圆的标准方程为．
（2）证明：设，当直线斜率存在时，设直线方程：，
则由题意得，将，代入整理得：
（*），
将代入椭圆方程整理得，
需满足 ，则，
代入（*）式得：，
整理得，
当时，过B点，不合题意；
故，直线的方程为，
故此时过定点；
当直线斜率不存在时，设方程为，代入可得 ，
不妨设，
由可得 ，解得，
此时方程为，也过定点，
综合上述，过定点.
变式14．（2022·广东·江门市第一中学高二阶段练习）已知，，点满足，记点的轨迹为曲线.斜率为的直线过点，且与曲线相交于，两点.
(1)求曲线的方程；
(2)求斜率的取值范围；
(3)在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）由可知，的轨迹为以，，实轴长为4的双曲线的右支，虚轴长为，
所以曲线的方程为：；
（2）设直线的方程为：，联立方程，整理得，因为直线与曲线有两个交点，设，，
所以，解得或，
故斜率的取值范围为；
（3）由轴平分可知，
由（2）可得，
又，，则，，
假设在轴上存在定点，则，
，即，
展开可得
因为斜率的取值范围为，
所以，即，
整理可得：，即，得，
所以轴上存在定点，且
题型八：三点共线问题
例22．（2022·重庆南开中学高二阶段练习）已知定点，，动点，直线、的斜率之积为.
(1)求点的轨迹C的方程：
(2)直线l：与点的轨迹C相交于M、N两点，M关于x轴的对称点为，设，若、E、N三点共线，求的值.
【解析】（1）由题得.
所以点的轨迹C的方程.
（2）联立直线和C的方程化简得，
所以.
因为、E、N三点共线，
所以，
所以，
所以，
所以对于任意的都成立，
所以.
例23．（2022·上海·复旦附中高二期中）已知椭圆,的离心率相同.点在椭圆上，、在椭圆上.

(1)若求点的轨迹方程；
(2)设的右顶点和上顶点分别为、，直线、分别是椭圆的切线，、为切点，直线、的斜率分别是、，求的值；
(3)设直线、分别与椭圆相交于、两点，且若是中点，求证：、、三点共线（为坐标原点）.
【解析】（1）设点，由，可得，
因为点在椭圆上，则，即，即.
因此，点的轨迹方程为.
（2）易知点、，直线的方程为，
直线的方程为，
因为椭圆与椭圆的离心率相等，且椭圆的离心率为，
椭圆的离心率为，可得，
所以，椭圆的方程为，即，
联立可得，
，可得，
联立可得，
，可得，
因为，则.
（3）证明：，则，则，
不妨设、，且，，
所以，，所以，，
代入椭圆的方程可得，
即，
因为，，
所以，，①
同理可得，②
①②可得，所以，，
因为，这两个等式作差可得，
所以，，故、、三点共线.
例24．（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）如图，过点的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，点P是直线BO上的点，且轴．

(1)当最小时，求直线l的方程；
(2)若直线PC，PD分别与抛物线相切，切点是C，D，求证：C，M，D三点共线．
【解析】（1）设，，
当且仅当时，取得最小，此时．
直线l的方程是：或
（2）设，，，，
∵A，M，B三点共线，得：，化简得：ab＝－4，
又P，O，B三点共线，，化简得：t＝ab＝－4，∴，
直线PC切抛物线于点，设直线PC的方程为
联立方程组，整理得：
，
因为直线与抛物线相切，则，
即，整理得：，所以，因为在抛物线上，所以
，所以，代入直线方程，得
又因为，，代入得
∴PC方程为：，
同理：PD方程为：，PC，PD相交于点，
∴，，
即：，两点均在直线ay＝x－4上，
直线CD方程为：ay＝x－4，经过点，因此：C，M，D三点共线．
变式15．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高二期中）已知双曲线C：与双曲线W：的渐近线相同，且经过点．
(1)求C的方程；
(2)已知C的上、下顶点分别为A，B，直线与C交于不同的两点M，N，直线与直线BM交于点G．证明：A，G，N三点共线．
【解析】（1）因为双曲线C：与双曲线W：的渐近线相同，
所以，即，
又双曲线C经过点，
则，即，
所以，
所以C的方程为；
（2）证明：，
设，
联立，消得，
则，所以，
则，
因为直线过定点且斜率存在，
所以直线不与轴重合，
，则直线的方程为，
令，则，故，
则，，

，
所以，
又点A为公共点，
所以A，G，N三点共线．
题型九：中点弦问题
例25．（2022·江苏泰州·高二期中）已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆E上，直线与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为圆与圆相交，且交点在椭圆上，所以，，
设，，的中点，
，①－② ，
，
，
则椭圆E的方程：；
（2）假设存在P、Q两点关于l对称，设直线PQ的方程为，
，，PQ中点，
，
，
，，即，
由N在l上，，此时，
故存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为．
例26．（2022·四川省平昌中学高二阶段练习（文））设椭圆过点.
(1)求C的标准方程；
(2)若过点且斜率为的直线l与C交于M，N两点，求线段中点P的坐标.
【解析】（1）因椭圆过点，
则有，解得，
所以椭圆C的标准方程为：.
（2）依题意，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，
显然，设，则，
因此线段中点P的横坐标，其纵坐标，
所以线段中点P的坐标为.
例27．（2022·广西·高二阶段练习）已知直线，圆：，双曲线：．
(1)直线与圆有公共点，求的取值范围；
(2)若直线与交于，两点，且点为的中点，若存在，求出方程，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知得，圆：，∴圆心，半径，
∵与圆有交点，
则圆心到的距离，
整理可得，，
解得，．
（2）设存在直线，由题意可知，直线斜率不存在时不成立.
设、，
因为是的中点，所以，．
又，在双曲线上，所以，
两式相减得，
整理可得，，
又，∴，∴，
∴方程为，经检验，该直线与双曲线交于两点.
但不在上，
∴不存在这样的直线．
变式16．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二期中）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．
【解析】（1）因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点，
所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为，
将点代入可得，所以，
所以抛物线的标准方程为，
（2）抛物线中，时，，在抛物线内部，可以为弦的中点．
设点，直线斜率为
点在抛物线上，所以
所以，即，
所以直线方程为．
经检验，直线符合题意.
题型十：四点共圆问题
例28．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线上的点到其焦点的距离为．
(1)求和的值；
(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．
【解析】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
点到其焦点的距离为，则，可得，故抛物线的方程为．
将点的坐标代入抛物线方程可得，解得.
（2）由中垂线的性质可得，，，，所以，，
设、，联立消去并整理，得，
则，，且，即，
则．
设线段的中点为，则点的纵坐标为，
所以，点的横坐标为，则．
直线为线段的垂直平分线，所以，直线的方程为．
设、，联立，
消去并整理得，，可得，
则，，
故．
设线段的中点为，则．
，
，，
故，所以，，，
故，故，
所以，点、都在以为直径的圆上，故、、、四点共圆．
例29．（2022·福建厦门·高二期末）已知椭圆的右顶点为点A，直线l交C于M，N两点，O为坐标原点．当四边形AMON为菱形时，其面积为．
(1)求C的方程；
(2)若；是否存在直线l，使得A，M，O，N四点共圆？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为四边形AMON为菱形，所以MN垂直平分OA，
所以点M（x轴上方）的横坐标为，代入椭圆方程，
得M的纵坐标为，所以，菱形AMON的面积为，所以，
所以C的方程为．
（2）设直线，，
联立方程，得，
，
，，
因为O，M，N，A四点共圆，则∠MON＝∠MAN＝90°，
所以，即，
得，即
由（i）得，即，
由（ii）得，
即，
联立，解得，（此时直线l过点A，舍去），
将代入，解得，即，
所以直线l的方程为．
例30．（2022·安徽芜湖·高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为．
(1)求C的方程；
(2)直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．
【解析】（1）由题意知，解得，，，所以C的方程为．
（2）证明：设点（不妨设，则点，
由，消去y得，所以，，
所以直线AE的方程为．
因为直线AE与y轴交于点M，令得，
即点，同理可得点．
所以，，
所以，所以，同理．
则以MN为直径的圆恒过焦点，，即M，，N，四点共圆．
综上所述，M，，N，四点共圆．
变式17．（2022·河南郑州·高二阶段练习（文））已知抛物线的焦点为F，直线与y轴交于点P与抛物线交于点Q，且
(1)求抛物线E的方程；
(2)过F的直线l抛物线E相交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与E相交于C，D两点，探究是否存在直线l使A，B，C，D四点共圆？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由.
【解析】(1)设点，
由题意得，解得
所以抛物线的方程为
(2)，设，
直线的方程为由，得，
，
所以，
，
所以的中点
所以线段的垂直平分线为，
将抛物线方程代入得，
所以，，，
所以，
的中点，    
四点共圆，
所以为圆心，
即，
解得，
故直线的方程为
方法2:设，
垂直平分，且四点共圆，
，由点差法得，
，，，，，
于是，，
，



直线的方程为
题型十一：切线问题
例31．（2022·辽宁实验中学高二阶段练习）已知抛物线C：，点.
(1)设斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程；
(2)是否存在定圆M：，使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点A，B时，总有直线AB也与圆M相切？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设直线的方程为，
把方程代入抛物线，可得，
，，
，
点到直线的距离，
，
解得，所以直线的方程．
（2）假设存在．取，圆，设切线为，
由，解得，①
将直线代入抛物线方程，
解得，，
直线的方程为，
若直线和圆相切，可得②
由①得,由①②解得，．
下证时，对任意的动点，直线和圆相切．
理由如下：设，当时,上面假设已经说明成立;
当,一条切线与轴平行,不能与抛物线交于另一点,故,
以下就且情况下证明.
过的直线为， ，
由，可得，
，，
又直线与曲线相交于 ，，
由，代入抛物线方程可得，
可得，，
则，是方程的两根，
即有，即，同理．
则有，，
直线，
即为，
则圆心到直线的距离为
，
由，
代入上式，化简可得，
则有对任意的动点，存在实数，使得直线与圆相切．

例32．（2022·江苏南通·高二期中）已知圆，抛物线，过原点作圆C的切线交抛物线于A，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设P是抛物线E上一点，过点P作圆C的两条切线分别交抛物线E于Q，R，若直线的斜率为，求P的坐标．
【解析】（1）设直线，，解得：，
由对称性，不妨取，
解得，，∴
解得：，∴抛物线．
（2）设，满足，设满足，
，即，
，直线，化为一般式为：，
由题意知：，
化简得：；同理，
故，为方程：的两根
化简整理为：，
由韦达定理知：，解得或，
∴或
例33．（2022·江苏·苏州中学高二期中）已知单位圆过圆外一点M作圆O的两条的切线，.
(1)当时，求动点M的轨迹方程；
(2)记直线，的斜率分别是，，若，求动点M的轨迹方程；
(3)现有曲线方程，过曲线外一点作两条互相垂直的切线，请直接写出和满足的关系式；若曲线方程为呢？和满足什么关系式？（直接写出）
【解析】（1）由题意得，
设，
则，即，
所以动点M的轨迹方程为；
（2）设，
设过点的切线方程为，即，
则圆心到切线的距离为，
整理得，
即为此方程得两根，
则，整理得，
因为在圆外，所以，
则，解得或，
所以，
所以动点M的轨迹方程为；
（3）当一条切线斜率存在另一条不存在时，
点的坐标为或，
当两条切线斜率都存在时，设切线方程为，
联立，
消得，
则，
整理得，
则，
因为两切线垂直，所以，
即，
当点的坐标为或时，上式也成立，
所以和满足的关系式为，
同理若曲线方程为，和满足的关系式为.
变式18．（2022·上海市建平中学高二期中）已知抛物线，直线l与抛物线相交于不同的两点.
(1)若直线经过抛物线的焦点，且弦长，求的值；
(2) 若直线经过点，求的面积的最小值（为坐标原点）；
(3)是否存在定圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）,所以.
（2）设直线的方程为

，
当且仅当，即轴时，等号成立，
所以的面积的最小值为
（3）设
直线的方程为，即,
整理得，
则直线与圆相切
得，
即，
同理可得，
易知，否则直线与抛物线只有一个交点，
所以，是方程的两个根，
所以
由直线与圆相切可得，
平方得，即
，
化简得
，
上式对任意的恒成立，所以，
当时，，舍去
当时，
综上，存在定圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切.