数学选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法精品课时练习

这是一份数学选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法精品课时练习，文件包含44数学归纳法解析版docx、44数学归纳法原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
4．4 数学归纳法
【题型归纳目录】
题型一：对数学归纳法的理解
题型二：数学归纳法中的增项问题
题型三：证明恒等式
题型四：证明不等式
题型五：归纳—猜想—证明
题型六：用数学归纳法证明整除性问题
题型七：用数学归纳法证明几何问题
【知识点梳理】
知识点一、数学归纳法的原理
1、数学归纳法定义：
对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
知识点诠释：
即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．
2、数学归纳法的原理：
数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法．
它的证明共分两步：
①证明了第一步，就获得了递推的基础．
但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；
②证明了第二步，就获得了递推的依据．
但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论．
其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）．
例1．数学归纳法的功能和适用范围
（1）数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程．
（2）数学归纳法一般被用于证明某些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明．
知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧
1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当取第一个值结论正确；
（2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确
由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确
2、用数学归纳法证题的注意事项
（1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）．
（2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．
（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．
3、用数学归纳法证题的关键：
运用数学归纳法由到的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由到的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由到的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．
知识点三、用数学归纳法证题的类型：
1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式；
对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．
2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题；
用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧．
3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题；
数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等．
4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式．
用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．
5、用数学归纳法证明与数列有关的命题．
由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．

【典型例题】
题型一：对数学归纳法的理解
例2．（2022·上海·高二专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　）
A．时不等式成立 B．时不等式成立
C．时不等式成立 D．时不等式成立
【答案】B
【解析】若已假设（，k为偶数）时命题为真，
因为n只能取偶数，
所以还需要证明成立．
故选：B．
例3．（2022·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明：（），在验证时，左端计算所得的式子是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用数学归纳法证明：，
在验证时，把当代入，左端．
故选：C．
例4．（2022·上海市松江区第四中学高二期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（    ）
A．时等式成立 B．时等式成立
C．时等式成立 D．时等式成立
【答案】B
【解析】若已假设（，k为偶数）时命题为真，
因为n只能取偶数，
所以还需要证明成立．
故选：B．
变式1．（2022·上海市晋元高级中学高二期中）我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题对一切正整数n都成立的是（    ）
①成立，且对任意正整数k，“当时，均成立”可以推出“成立”
②，均成立，且对任意正整数k，“成立”可以推出“成立”
③成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立且成立”
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
【答案】D
【解析】对于①，对任意正整数k，“当时，均成立，
则当时，成立，
故①可证明某个命题对一切正整数n都成立；
对于②，因为，均成立，成立，
则当为奇数时，成立，
当为偶数数时，成立，
所以②可以证明某个命题对一切正整数n都成立；
对于③，因为成立，对任意正整数，成立，所以也成立，
又成立，成立，则也成立，
所以③可以证明某个命题对一切正整数n都成立.
故选：D.
变式2．（2022·全国·高二单元测试）用数学归纳法证明等式的过程中，当时等式左边与时的等式左边的差等于（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，等式左边，
当时，等式左边，
故当时等式左边与时的等式左边的差为.
故选:C.
【方法技巧与总结】
即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．
题型二：数学归纳法中的增项问题
例5．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，不等式左边等于，
当时，不等式左边等于
当时，不等式的左边比时增加.
故选：D
例6．（2022·上海·高二专题练习）在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，左边，
当时，左边，
则.
故选：D.
例7．（2022·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明，则从“到”，左边所要添加的项是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当n＝k时，等式的左边为，
当n＝k+1 时，等式的左边为，
故从“n＝k到n＝k+1”，左边所要添加的项是．
故选：D．
变式3．（2022·广西北海·高二期末（理））用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，等式为，
当时，，
增加的项数为,
故选:B.
变式4．（2022·江西抚州·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（    ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
【答案】D
【解析】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．
故选：D
变式5．（2022·陕西·绥德中学高二阶段练习（理））用数学归纳法证明到时，左边需增加的代数式为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当n=k时，左边的代数式为，
当n=k+1时，左边的代数式为
，
故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为
，
故选：C
变式6．（2022·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，左端，
那么当时  左端，
故由到时不等式左端的变化是增加了，两项，同时减少了这一项，
即，
故选：．
【方法技巧与总结】
在利用归纳假设论证时等式也成立时，应注意分析和时两个等式的差别．
题型三：证明恒等式
例8．（2022·上海·上外附中高二阶段练习）观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．
【解析】一般规律：，
证明：（1）时，左=右，等式成立；
（2）假设时，等式成立，即，
则当时，，
等式也成立，
由（1）（2）得当时等式都成立．
例9．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）．
【解析】证明：①当 时，，，等式成立；
②假设 时，，
则时，
，
即时，等式成立，
综合①②可知，（，）．
例10．（2022·全国·高二课时练习）观察下面三个等式：
第1个：，
第2个：，
第3个：
(1)按照以上各式的规律，写出第4个等式；
(2)按照以上各式的规律，猜想第个等式（为正整数）；
(3)用数学归纳法证明你的猜想成立．
【解析】(1)由第1个：，
第2个：，
第3个：，
第4个：，
(2)由（1）可猜想，第个等式：，；
(3)数学归纳法证明：
当时，，，等式成立；
假设时，，．
当时，



，
可得时，，也成立，
综上可得，对一切的，均成立．
变式7．（2022·全国·高二课时练习）是否存在常数a、b．使等式（，）对任意正整数n成立？请证明你的结论．
【解析】时，，时，，解得a＝12，b＝11；
存在a＝12，b＝11使等式成立.
下用数学归纳法证明：
当n＝1时，左式，右式，等式成立；
假设当n＝k时等式成立，即，
那么当n＝k＋1时，
，
等式也成立；
综上可知，对于，猜测都成立．
变式8．（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：（n为正整数）．
【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，
即，
那么当时，

．
故当时，等式也成立．
综上可知等式对任意正整数n都成立．
变式9．（2022·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明.
【解析】证明：（1）时，左边，右边左边，等式成立；
（2）假设时等式成立，即，
时，
右边=
=左边，等式成立，
综上，对一切正整数，．
【方法技巧与总结】
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
（1）时，等式的结构．
（2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项．
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项．
②代数式相邻两项之间的变化规律．
③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系．
题型四：证明不等式
例11．（2022·河南南阳·高二期末（理））观察下列不等式：，，，，……．
(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；
(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．
【解析】(1)不等式可写为：，，，，
所以归纳得到命题：（n为正整数）．
(2)证明：①当n＝1时，易知命题成立；
②假设当时，命题成立，即．
则当时，



，
即时，命题也成立．
由①②可知，．
例12．（2022·辽宁实验中学高二期中）已知数列的前n项和满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明不等式：，其中．
【解析】(1)由，可得，两式相减得到，
得到，两式相减得，得出为等差数列，进而结合等差数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）转化为化为，，结合用数学归纳法证明，即可求解.
(1)由，可得，
两式相减得，即，
则，
两式相减得，即，
所以为等差数列，
又因为，解得，
又由，可得，
所以数列的首项为1，公差为1，所以的通项为．
(2)因为，所以原不等式可化为，，
以下用数学归纳法证明：
①时，显然成立．
②假设当时成立，则当时，
只需证，只需证，
只需证，只需证，
取，可得，所以在单调递增，
又因为，所以成立，所以成立．
综上所述，成立．
例13．（2022·全国·高二课时练习）证明不等式1＋＋＋…＋