数学选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义精品练习

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题型一：函数的平均变化率
题型二：求瞬时速度
题型三：求函数在某点处的导数
题型四：求切线方程
题型五：求切点坐标
题型六：利用图象理解导数的几何意义
题型七：过某点的曲线的切线
题型八：利用定义求导函数
题型九：导数的几种形式
【知识点梳理】
知识点一：平均变化率问题
1、变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；
2、平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：
知识点诠释：
①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为
②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小．
对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度．
高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度．
3、如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即．
知识点诠释：
（1）是的一个“增量”，可用代替，同样．
（2）是一个整体符号，而不是与相乘．
（3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则．
知识点二：导数的概念
定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数．
②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．
即存在一个常数与无限接近．
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．
知识点三：求导数的方法：
求导数值的一般步骤：
①求函数的增量：；
②求平均变化率：；
③求极限，得导数：．
也可称为三步法求导数．
知识点四、导数几何意义
1、平均变化率的几何意义——曲线的割线
函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率．
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率．
事实上，．
换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有．
知识点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率．
2、导数的几何意义——曲线的切线
图1
如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线．
定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率．
即：．
知识点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．
（2）切线斜率的本质———函数在处的导数．
（3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性．
①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直．
②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减．
（4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点；
为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？”
过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线都用“与有且只有一个公共点”来定义的切线呢？如图的曲线是我们熟知的正弦曲线的一部分，直线2显然与曲线有唯一公共点，但我们不能说直线2与曲线相切；而直线1尽管与曲线有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线在点处的切线．
知识点五、曲线的切线
（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：
①求出切点的坐标；
②求出函数在点处的导数
③得切线方程
（2）在点处的切线与过点的切线的区别．
在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程．
知识点六、导数的概念
导函数定义：
由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或，
即：
知识点诠释：
函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系．
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．
（2）函数的导数，是指某一区间内任一点而言的，也就是函数的导函数．
（3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值．
导函数也简称导数，所以
所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值．
导函数求法：
由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：
（1）求函数的改变量．
（2）求平均变化率．
（3）取极限，得导数．
知识点七、导数的定义的几种形式：
割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如：
；（或：；；）
．
知识点诠释：只要是时，极限式所表示的是割线的斜率（或其若干倍），就能表示为导数式．
【典型例题】
题型一：函数的平均变化率
例1．（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·北京顺义·高二期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·辽宁·高二阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．3B．2C．D．
变式1．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））若函数，当时，平均变化率为2，则m等于（ ）
A．B．2C．3D．1
变式2．（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
【方法技巧与总结】
求平均变化率的主要步骤
（1）先计算函数值的改变量．
（2）再计算自变量的改变量．
（3）得平均变化率．
题型二：求瞬时速度
例4．（2022·全国·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（ ）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
例5．（2022·全国·高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ）
A．0m/sB．1m/sC．2m/sD．3m/s
例6．（2022·重庆九龙坡·高二期末）一个物体运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系可用函数表示，那么物体在秒时的瞬时速度是（ ）
A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．4米/秒
变式3．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（ ）
A．6.75米/秒B．6.55米/秒C．5.75米/秒D．5.55米/秒
【方法技巧与总结】
求运动物体瞬时速度的三个步骤
（1）求位移改变量．
（2）求平均速度．
（3）求瞬时速度，当无限趋近于0时，无限趋近于的常数即为瞬时速度，即．
题型三：求函数在某点处的导数
例7．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．0B．C．1D．
例8．（2022·江苏·高二专题练习）函数在处的导数为（ ）
A．2B．C．D．
例9．（2022·全国·高二课时练习）定义，已知函数在内的导函数为，的值为（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2022·全国·高二单元测试）设函数，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
变式5．（2022·全国·高二课时练习）（1）求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；
（2）求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
【方法技巧与总结】
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
（1）求函数的增量．
（2）求平均变化率．
（3）求极限．
题型四：求切线方程
例10．（2022·全国·高二课时练习）曲线在点处的切线方程为______．
例11．（2022·全国·高二专题练习），在处切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例12．（2022·湖南·高二课时练习）设是曲线上一点，求曲线在点P处切线的斜率.
变式6．（2022·全国·高二课时练习）求抛物线f(x)＝3x2－4x－1在点(2，3)处的切线方程.
变式7．（2022·全国·高二课时练习）求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程.
【方法技巧与总结】
求曲线在某点处的切线方程的步骤
题型五：求切点坐标
例13．（2022·全国·高二课时练习）曲线的一条切线的斜率为，则切点坐标为________.
例14．（2022·全国·高二课时练习）已知f(x)＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【方法技巧与总结】
求切点坐标的一般步骤
（1）设出切点坐标．
（2）利用导数或斜率公式求出斜率．
（3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．
（4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
题型六：利用图象理解导数的几何意义
例15．（2022·北京市第一六一中学高二期中）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ）
A．B．
C．D．
例16．（2022·全国·高三专题练习）如图，函数的图像在点P处的切线方程是，则（ ）
A．-2B．3C．2D．-3
例17．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（ ）
A．B．C．D．
变式8．（2022·全国·高二课时练习）如图，函数的图像在点处的切线方程为，则
A．1B．2C．3D．4
变式9．（2022·甘肃武威·高二期中（理））已知函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式10．（2022·全国·高二课时练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式11．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高二阶段练习（理））已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（ ）
A．B．
C．D．
变式12．（2022·全国·高二专题练习）如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________．
【方法技巧与总结】
导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
（1）曲线在附近的变化情况可通过处的切线刻画．说明曲线在处的切线的斜率为正值，从而得出在附近曲线是上升的；说明在附近曲线是下降的．
（2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
题型七：过某点的曲线的切线
例18．（2022·全国·高二单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率．
例19．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（理））求函数的图象上过原点的切线方程．
例20．（2022·湖南·高二课时练习）求曲线y＝x3过点(－1，－1)的切线方程.
变式13．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
【方法技巧与总结】
（1）首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点．
（2）过点与曲线相切的直线方程的求法步骤
（1）设切点．
（2）建立方程．
（3）解方程得，，，从而写出切线方程．
题型八：利用定义求导函数
例21．（2022·江苏·高二课时练习）已知，用割线逼近切线的方法求．
例22．（2022·全国·高二课时练习）求函数y＝在x0(x0>－1)处的导数．
例23．（2022·全国·高二课时练习）分别求出下列函数的导数：
(1)，其中C是常数；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【方法技巧与总结】
导函数求法：
由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：
（1）求函数的改变量．
（2）求平均变化率．
（3）取极限，得导数．
题型九：导数的几种形式
例24．（2022·全国·高二课时练习）若，求.
例25．（2022·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知，则_________．
例26．（2022·上海·华师大二附中高二期中）已知函数，若，则______.
变式14．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））已知函数在处的导数值为2，则________.
变式15．（2022·甘肃·临夏中学高二期末（文））设函数在处存在导数为2,则=_______________．
变式16．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校高二期中）已知函数，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
变式17．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室高二期中（理））已知函数在处的导数为，则等于（ ）
A．－2B．－1C．2D．1
变式18．（2022·河南省实验中学高二期中（理））已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如：
；（或：；；）
．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·辽宁大连·高一阶段练习）若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ）
A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1
2．（2022·全国·高一课时练习）对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二阶段练习）若，则等于（ ）
A．﹣3B．﹣6C．﹣9D．﹣12
4．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））已知函数的导函数为，则（ ）
A．B．C．2D．8
5．（2022·浙江·高二期中）函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A．B．1C．2D．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ）
A．2B．1C．D．
8．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（理））函数的定义域为，为奇函数，且的图像关于对称．若曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2022·浙江·高二阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30
B．已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为
C．已知直线运动的汽车速度与时间的关系是，则时瞬时加速度为7
D．已知函数，则
10．（2022·全国·高二课时练习）若当，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．曲线上点处的切线斜率为
D．曲线上点处的切线斜率为
11．（2022·全国·高二课时练习）物体自由落体的运动方程为（单位：m），当时，m/s，则下列说法错误的是（ ）
A．9.8 m/s是物体从0s到1s这段时间内的速度
B．9.8 m/s是物体从1s到s这段时间内的速度
C．9.8 m/s是物体在s这一时刻的速度
D．9.8 m/s是物体从1s到s这段时间内的平均速度
12．（2022·全国·高二课时练习）设函数在处的导数存在，则（ ）.
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2022·全国·高二单元测试）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为______．
（1）；
（2）；
（3）对于，存在，使得；
（4）整个过程小明行走的速度一直在加快．
14．（2022·全国·高二课时练习）若一物体的运动方程为，（位移s的单位：m，时间t的单位：s），则物体在1s时的瞬时速度为______m/s．
15．（2022·全国·高二课时练习）设函数在R上可导，则当d趋近于0时，趋近于______．
16．（2022·全国·高二课时练习）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______．
四、解答题
17．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，，，求实数a，b的值.
18．（2022·全国·高二课时练习）试指出余弦函数在区间和上的平均变化率哪一个较大.
19．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
(1)求当，且时，函数增量和平均变化率；
(2)求当，且时，函数增量和平均变化率；
(3)若设，分析（1）（2）问中的平均变化率的几何意义.
20．（2022·全国·高二专题练习）已知曲线C：y＝x3＋.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．
21．（2022·江苏·高二单元测试）已知某气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是.
(1)求半径r关于体积V的函数.
(2)分别求气球的体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率（精确到0.01），并比较哪个过程中半径变化较快？此结论说明什么意义？
（注：，）