河南省驻马店市2023届高考三模理科数学试题（含解析）

这是一份河南省驻马店市2023届高考三模理科数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河南省驻马店市2023届高考三模理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知复数满足，则（    ）
A．1 B． C． D．
2．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
3．已知，，：，：，则是的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知直线与直线垂直，若直线的倾斜角为，则（    ）
A． B． C． D．
5．水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：L/min·m2），水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min·m2时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（    ）（参考数据：）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
6．在的展开式中，项的系数为（    ）
A．1680 B．210 C．－210 D．－1680
7．在数列中，，则的前项和的最大值为（    ）
A．64 B．53 C．42 D．25
8．已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（    ）
A．2 B． C． D．3
9．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）
  
A． B． C． D．
10．设，则（    ）
A． B． C． D．
11．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（    ）
A．为的一个周期
B．的值域为[－1，1]
C．的图象关于直线x＝0对称
D．曲线在点处的切线斜率为
12．已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设，，的面积为S，则（    ）
A．为定值 B．为定值
C．为定值 D．为定值

二、填空题
13．已知平面向量满足,且，则=_________________ ．
14．已知圆与圆，写出圆C和圆E的一条公切线的方程______.
15．如图，在正四棱锥框架内放一个球O，球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切.若，且，则球O的表面积为______.
  
16．若在内存在唯一的零点，在内存在唯一的零点，且，则实数a的取值范围为______.

三、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求A；
(2)已知D为边BC上一点，，若，，求的周长.
18．无论是国际形势还是国内消费状况，2023年都是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：
卖场
1
2
3
4
5
6
宣传费用
2
3
5
6
8
12
销售额
30
34
40
45
50
60
(1)求y关于x的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时（结果取整数），销售额能突破100万元；
(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为，若，称这次宣传策划是高效的；否则为非高效的.从这6家卖场中随机抽取3家.
①若抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场，求抽取的3家中恰有一家是宣传策划高效的概率；
②若抽取的3家卖场中宣传策划高效的有X家，求X的分布列和数学期望.
附：参考数据，回归直线方程中和的最小二乘法的估计公式分别为：，.
19．在直三棱柱中，E为棱上一点，，，D为棱上一点.
  
(1)若，且D为靠近B的三等分点，求证：平面平面；
(2)若△ABC为等边三角形，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值的大小.
20．已知椭圆的离心率为，直线与E交于A，B两点，当为双曲线的一条渐近线时，A到y轴的距离为.
(1)求E的方程；
(2)若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N（O为坐标原点），连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为，求的最小值.
21．已知函数.
(1)若有两个不同的零点，求a的取值范围；
(2)若函数有两个不同的极值点，证明：.
22．在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（为参数），以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)求C的直角坐标方程以及C与y轴交点的极坐标；
(2)若直线与C交于点A，B，与轴交于点P，求的值.
23．已知关于x的不等式对任意实数x恒成立.
(1)求满足条件的实数a，b的所有值；
(2)若对恒成立，求实数m的取值范围.

参考答案：
1．D
【分析】先利用题意算出，然后利用复数模的公式即可求解
【详解】由可得，
所以
故选：D
2．C
【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】，
，
所以.
故选：C.
3．A
【分析】根据解出，再利用充分性和必要性即可判断.
【详解】解：因为，， ：
即，即，则，
而：，
所以，是的充分不必要条件，
故选：.
4．D
【分析】由题意可得，由诱导公式和同角三角函数的平方关系化简，代入即可得出单.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，所以，
所以.
故选：D.
5．C
【分析】根据已知公式和数据代入计算即可.
【详解】由水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，
得，
再由保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min·m2，
得，
即保护对象的水雾喷头的数量N约为个.
故选：C.
6．A
【分析】相当于在7个因式中有3个因式选，余下的4个因式中有2个因式选，最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项，求解即可.
【详解】相当于在7个因式中有3个因式选，有种选法，
余下的4个因式中有2个因式选，有种选法，
最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项，
而，所以项的系数为.
故答案为：A.
7．B
【分析】令，则由可得,所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,可得到，然后用累加法得到，通过的单调性即可求出的最大值
【详解】由,得,
令,所以,则,
所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,
所以,即,即,
由,
将以上个等式两边相加得,
所以,
经检验满足上式，故
当时,,即单调递增,当时,,即单调递减,
因为,
所以的前项和的最大值为，
故选：B
8．B
【分析】设，利用两点距离公式结合点在抛物线上有，再利用二次函数的性质和圆的半径即可得到答案.
【详解】由题意知,设，则,
所以当时,，又因为圆的半径为1，所以.
故选：B.
  
9．A
【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可.
【详解】设，，，棱长均为，
由题意，，，，
，，
，
，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A.
10．D
【分析】根据题中数据的结构特征，构造函数，利用单调性比较大小即可.
【详解】因为，
所以令，由，
知当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
因为
所以，即.
故选：D.
11．B
【分析】由可判断A；令，则，求出值域可判断B；由三角函数的平移变化求出，由可判断C；由导数的几何意义可判断D.
【详解】对于A，，故不为的一个周期，故A不正确；
对于B，令，且，
所以原函数变为，当时，，当时，，
又，所以，或，所以或，
所以的值域为[－1，1]，故B正确；
对于C，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
则，
又，故C不正确；
对于D，，所以，
故D不正确；
故选：B.
12．C
【分析】利用三角换元得到，利用斜率公式可求与的关系，化简后可得的关系，故可判断AB的正误，根据面积公式可求（用表示），故可判断CD的正误.
【详解】由于双曲线的对称性，可设,
由双曲线可得，
则
,
因此,其中，
对于不是定值，故不正确；
对于,由于,即，
若为定值,则为定值,从而和是确定的值,
于是均为定值,这是不可能的,故B错误.
对于选项,
因此是定值,不是定值，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是利用三角换元法假设出，然后利用直线的斜率公式和正切的二倍角公式进行化简，即可判断每个选项
13．
【分析】由数量积的运算律求出，再由向量的模长公式即可得出答案.
【详解】由,得,
所以.
故答案为：
14．或或.
【分析】设切线方程为，根据圆心到直线的距离均为1求解方程.
【详解】设圆的公切线为，，或
代入求解得：或
所以切线为：或或
故答案为：或或.
15．
【分析】连接,，根据三角函数计算出球心到切点的距离即可得到半径，最后利用球的表面积公式即可.
【详解】连接, ,由题意得,
  
又,所以,
设球与,的切点分别为,,
连接, ,因为,所以,
所以.
即球的半径,所以球的表面积.
故答案为：.
16．
【分析】通过导数可得到在上单调递减,结合题意在内存在唯一的零点可得通过导数可得在上单调递增,在上单调递减，结合在内存在唯一的零点，且，可得，即可求解
【详解】由可得,则在上单调递减,
因为在上有唯一零点,所以,所以
，
令,即,则,且时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
因为在上有唯一零点且,
所以,
所以.
综上,实数的取值范围为.
故答案为：
17．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，可得到，结合的范围可得到，再利用即可求解；
（2）利用可得到，然后用余弦定理可求出，即可求出周长
【详解】（1）因为,所以由正弦定理可得,
所以,
所以,
所以.
因为,
所以或或，
即或（舍去）或（舍去），
又,所以；
（2）由题意得,
即,
因为,,
所以,所以,即,
由余弦定理得,
所以,所以或（舍去），
所以的周长为.
18．(1)，至少为25万元时；
(2)①；②分布列见解析，期望为.

【分析】（1）计算出相关数据，代入公式即可得到线性回归方程；
（2）①利用条件概率公式即可；②的取值为0,1,2，分别计算各自概率，再利用期望公式即可.
【详解】（1）,,
所以,
,
所以.
令,解得(万元).
故当宣传费用至少为25万元时,销售额能突破100万元.
（2）①记事件为抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场,事件为抽取的3家卖场中恰有1家为宣传策划高效.
由已知数据,卖场1,2的宣传策划是高效的,卖场3,4,5,6的宣传策划是非高效的, ,所以.
故抽取的3家中恰有一家是宣传策划高效的概率为.
②由题意知的取值为0,1,2,则
，
故的分布列为

0
1
2




所以.
19．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由面面垂直的判定定理即可证明；
（2）由三棱锥的体积公式可求出，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）分别取的中点，连接，
则，，
且，由题意可知，，所以，
又，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，又，平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面；
（2）由（1）可得，以为坐标原点，
直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为三棱锥的体积为，所以，
即，解得：，所以，
则，
所以，，，
设平面的一个法向量，
则，令，解得：.
故
设平面的一个法向量，
则，令，解得：.
故，
所以，
设二面角的大小为，，
即二面角的正弦值为.
  
20．(1)
(2)

【分析】（1）根据离心率、渐近线方程和点到直线距离公式即可得到相关方程，解出即可；
（2）设,则，得到直线的方程，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，计算，再利用基本不等式即可得到答案.
【详解】（1）设的半焦距为,则,所以,所以①，
不妨设，与联立得.
由题意得②，
①②联立并解得,
故的方程为.
（2）设,则,
所以直线的斜率,
直线的方程为,代入,得
,
所以,
,
所以,
所以,
当且仅当,即时等号成立,
所以当时,取得最小值,且最小值为.
  
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是计算出直线的方程，将其与椭圆方程联立，得到韦达定理式，再计算出，从而得到，最后得到，最后利用基本不等式即可得到最值.
21．(1)
(2)见解析

【分析】（1）求导，分类讨论判断的单调性，进而根据零点运算求解；
（2）根据极值点的概念整理原不等式可得，构建新函数，求导，利用导数证明.
【详解】（1）的定义域为，且，
当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去.
当时，令，解得：，令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
因为有两个不同的零点，则，解得，
当时，，，所以在上存在唯一的一个零点；
当时，取正整数，则，，
而，
当时，令，
令，，所以在上单调递增，
，所以，
所以在上单调递增，，故
又，所以，于是，要使，
只需，即，
这样，当时，只需取正整数，则，又，
所以在上存在唯一的一个零点；
综上，.
（2）（），则.
因为有两个不同的极值点，（），则，，
要证，只要证，
因为，所以只要证，
又∵，，作差得，所以，
所以原不等式等价于要证明，即.
令，，则以上不等式等价于要证，.
令，，则，，
所以在上单调递增，，即，，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题（2）的关键点在于由题意得出，，常用作差建立关系，再结合题意化简整理，再利用导数证明不等式.
22．(1)；
(2)

【分析】（1）先将转化成，然后利用化简可得的直角坐标方程，求得与y轴交点的直角坐标，即可得到对应的极坐标；
（2）设点对应的参数分别为,将直线的参数方程代入的直角坐标方程可得到，即可求解
【详解】（1）由,得,即，
又,所以,
化简可得,即的直角坐标方程为.
易得与轴交点的直角坐标为和,
对应的极坐标分别为
（2）易知点的直角坐标为,将直线的参数方程代入的直角坐标方程,得,
显然,
设点对应的参数分别为,则,
显然一正一负,
所以
23．(1)
(2)

【分析】（1）代入得和得，，联立即可得到答案；
（2）由（1）化简得，分离参数得在上恒成立，再利用基本不等式即可得到右边最值，即可得到答案.
【详解】（1）当时,不等式化为,,
所以,①
当时,同理可得,②
联立①和②，解得.
而时,原不等式为
显然恒成立,所以.
（2）由（1）知,
所以,
因为,所以,所以在上恒成立.
令,则.
因为,
当且仅当,即时等号成立,所以,
所以,即实数的取值范围为.