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    2024年高考数学一轮复习第七章第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件

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    这是一份2024年高考数学一轮复习第七章第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件,共46页。PPT课件主要包含了答案B,判断直线与圆相交,动直线问题,答案A,答案2,图7-4-1,答案ACD,答案x-y-2=0,答案-11,答案-2等内容,欢迎下载使用。

    1.直线与圆的位置关系
    【名师点睛】(1)圆的切线方程常用结论
    ①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.③过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
    (2)圆系方程①同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.②过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).③过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
    考点一 直线与圆的位置关系[例 1] (1)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+
    by=1 与圆 O 的位置关系是(A.相切C.相离
    (2)若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,则
    实数 m 的取值范围为(
    A.(-∞,+∞)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(-∞,0)∪(0,+∞)
    解析:由 x2+y2-2x-2y+1=0 得(x-1)2+(y-1)2=1,因为直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,所以
    所以 m≠0,即 m∈(-∞,0)∪(0,+∞).答案:D
    【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用 d 与 r 的关系.
    (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
    (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可
    上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于
    【变式训练】1.“a=3”是“直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 相切”
    )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    2.直线 l:mx-y+1-m=0 与圆 C:x2+(y-1)2=5 的位置关
    A.相交B.相切C.相离D.不确定,与 m 的取值有关
    考点二 圆的切线、弦长问题
    考向 1 圆的弦长问题
    [例 2](2022 年天津)若直线 x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+
    (y-1)2=3 相交所得的弦长为 m,则 m=______.
    考向 2 圆的切线问题
    考向 3 与弦长有关的最值和范围问题
    [例 4]过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦,则最短弦所在
    的直线方程为________.
    解析:设 P(3,1),圆心 C(2,2),则|PC|= ,半径 r=2,由题意知最短弦过 P(3,1)且与 PC 垂直,kPC=-1,所以所求直线方程为 y-1=x-3,即 x-y-2=0.
    【题后反思】(1)弦长的两种求法①代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0 的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.②几何方法:若弦心距为 d,圆的半径长为 r,则弦长 l=
    (2)求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时注意斜率不存在的切线.
    1.(考向 1)(一题两空)(2022 年温州市模拟)已知圆 C:(x-1)2+y2=25 与直线 l:mx+y+m+2=0,若圆 C 关于直线 l 对称,则m=________;当 m=________时,圆 C 被直线 l 截得的弦长最短.
    解析:∵圆 C: (x-1)2+y2=25关于直线l:mx+y+m+2=0对称,则圆心(1,0)在直线 l:mx+y+m+2=0 上,故有 m+0+m+2=0,求得 m=-1.由于直线l:mx+y+m+2=0,即m(x+1)+y+2=0,经过定点 M(-1,-2),故当 CM 和直线 l 垂直时,
    圆C被直线l截得的弦长最短,此时,-m·kCM=-1,即-m·=-1,求得 m=1.
    2.(考向 2)过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与
    直线 x-ay+1=0 平行,则 a=________.
    解析:因为点 P 在圆(x-1)2+y2=5 上,所以过点 P(2,2)与圆(x-1)2+y2=5 相切的切线方程为(2-1)(x-1)+2y=5,即 x+2y-6=0,由直线 x+2y-6=0 与直线 x-ay+1=0 平行,得-a=2,a=-2.
    3.(考向 3)从直线 l:x+y=1 上一点 P 向圆 C:x2+y2+4x+4y+7=0 引切线,则切线长的最小值为________.
    考点三 圆与圆的位置关系
    [例 5]已知两圆x2+y2-2x-6y+1=0,x2+y2-10x-12y+
    (1)m 取何值时两圆外切?(2)m 取何值时两圆内切?
    (3)当 m=45 时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦
    (1)判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间
    的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
    (2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方
    程作差消去 x2,y2 项得到.
    ⊙阿波罗尼斯圆公元前 3 世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图 7-4-2,点 A,B 为两定点,动点 P 满足|PA |=λ|PB|.则λ=1时,动点P的轨迹为直线;当λ>0且λ≠1
    时,动点 P 的轨迹为圆,后世称之为阿波罗尼斯圆.
    证明:设|AB|=2m(m>0),|PA |=λ|PB|,如图 7-4-3,以 AB 的
    中点 O 为原点,直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系,
    则 A(-m,0),B(m,0).
    [例 6](1)已知平面直角坐标系中,A(-2,0),B(2,0),则满足|PA |=2|PB|的点 P 的轨迹的圆心坐标为________.

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