第05讲 导数研究函数单调性5种题型总结-【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

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第5讲 导数研究函数单调性5种题型总结
【考点分析】
考点一：含参数单调性讨论
①先求函数定义域；
②求导，化简，通分，分解因式；
③系数有未知数，先考虑系数的情况；再考虑情况，求出的根，判断根与定义域，及根的大小关系，穿针引线，判断导函数正负，进而判断单调性；
④若不能分解因式，若分子为二次函数则考虑讨论判别式，若不是二次函数可以考虑二次求导
【题型目录】
题型一：导函数为一次函数型
题型二：导函数为准一次函数型
题型三：导函数为二次可分解因式型
题型四：导函数为二次不可因式分解型
题型五：导函数为准二次函数型
【典型例题】
题型一：导函数为一次函数型
【例1】（2023河南·高三开学考试（文））已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
【答案】（1）当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减；
【分析】（1）对函数求导，讨论和两种情况，即可得出函数的单调性；
【详解】（1）由题知函数的定义域为，
①当时，，此时函数在上单调递；
②当时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递增；在上单调递减；
综上，当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减；
【例2】（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数（其中a为参数）．
(1)求函数的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对分类求得函数的单调区间；
【详解】（1），，
当时，，在单调递增，
当时，令，得，
时，，单调递减，
时，单调递增；
综上：时，在上递增，无减区间，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
【例3】（2022·江西·二模（文））己知函数，讨论的单调性。
【解析】
，
①当时，恒成立，在上单调递增
②当时，令得，
∴在上单调递增，在上单调递减
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
【例4】（2022·广东·模拟预测）已知函数，讨论函数的单调性。
【解析】
∵，

（Ⅰ）当时，在上单调递增，
（Ⅱ）当时，令，则，
令，则，
∴在上单调递增， 上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
【题型专练】
1.已知函数，讨论函数在区间内的单调性；
【答案】见解析
【解析】
【分析】
对进行求导，然后根据的取值范围分类讨论的单调性
，

（Ⅰ）当，即时，
，在单调递减
（Ⅱ）当，即时，
，在单调递增
（Ⅲ）当，即时，当时， ，单调递增；
当时，，单调递减
综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减
（Ⅱ）当时，在单调递增
（Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减
2.已知函数，其中，讨论的单调性；
【答案】当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
【分析】
，讨论或判断的单调性；
【解析】，
当时，当恒成立，在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
3.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】
（1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
【解析】
（1）解：由知定义域为，且①时，在上，故在上单调递增；②时，当时，时，故在上单调递增，在上单调递减.
题型二：导函数为准一次函数型
【例1】（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数（为自然对数的底数）．
求函数的单调区间；
【解析】
函数 的定义域为 ， ，
①当时，对任意的 ， ，
此时函数的减区间为，无增区间；
②当时，由 可得，由 可得，
此时函数的单调递增区间为，递减区间为；
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；
【例2】（2022·河南安阳·高二期末（文））已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)见解析
【分析】
（1）对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，
(1)，．
当时，，单调递增．
当时，令，得，
令，得，
∴在上单调递减，在上单调递增．
【例3】（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数.
讨论的单调性；
【解析】
函数的定义域为，．
令，解得，
则有当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
【题型专练】
1.设函数，求的单调区间．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
利用导数判断单调性，分成和两种情况讨论.
【详解】
的定义域为，．
若，则，所以在上单调递增．
若，则当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
2.已知函数.讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
对求导，结合函数定义域，讨论、时的符号，确定的单调区间.
【详解】
函数的定义域为，且.
①当时，，函数在上单调递减；
②当时，令，可得；令，可得，
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
3.已知函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析﹒
【解析】
【分析】
求f(x)导数，根据a的范围讨论导数正负，从而判断f(x)单调性．
，
当，即时，，在R上单调递增；
当，即时，
由，得，由，得，
∴在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
题型三：导函数为二次可分解因式型
【例1】（2022·天津·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
【解析】
(1)当时，       

，
故切线方程为：
(2)
，
① 当时， ，仅有单调递增区间，其为：
② 当时，，当时，；当时，
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
③ 当时，，当时；当时
的单调递增区间为：，单调递减区间为：
综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：
当时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：
【例2】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数
讨论f（x）的单调性；
【解析】
(1)由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），
当时，，∴在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时，令，解得：
∴当时，；当时，
∴f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减.
【例3】（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数．
讨论函数的单调性；
【解析】
函数，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，此时单调递减，令，此时单调递增.
综上可得：当时，的增区间为，无减区间；
当时，的增区间为，减区间为.
【例4】（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数.
讨论函数的单调性；
【解析】

若时，，在上单调递增；
若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数.
综上，时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
【例5】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数．
求函数的单调区间；
【解析】
函数的定义域为
则：
当，时，恒成立，所以单调递减；
当时，令，解得或(舍去)，
令，，令，
所以在上单调递减；上单调递增．
综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为(0，)
【例6】（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间.
【解析】
(1)解：当时，，
所以，
所以，，
故在点处的切线方程是，即；
(2)解：因为定义域为，
所以，
因为，
当，即当时，由，解得或，
当时，恒成立，
当，即当时，由，解得或，
综上，当时，的递增区间是，，
当时，的递增区间是，
当时，的递增区间是，；
【题型专练】
1.设函数，其中．讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，分，两种情况讨论，根据导函数的符号，即可得出函数的单调区间.
【详解】
解：
当时，，在内单调递减.
当时，由，有.此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上：当时，在内单调递减，
当时，在内单调递减，在单调递增.
2.已知函数，求函数f(x)的单调区间；
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
求导数，然后对进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
解：求导可得
①时，令可得，由于知；令，得
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
②时，令可得；令，得或，由于知或；
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
③时，，函数在上单调递增；
④时，令可得；令，得或，由于知或
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
3.设函数，讨论函数的单调性.
【答案】讨论过程见解析.
【解析】
【分析】根据导数的性质，结合的不同取值分类讨论进行求解即可.
由，
，
当时，当时，单调递增，当时，单调递减；
当时，，或，
当时，，函数在时，单调递增，
当时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上所述：当时， 在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增
【点睛】
关键点睛：根据一元二次方程两根之间的大小关系分类讨论是解题的关键.
题型四：导函数为二次不可因式分解型
【例1】（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．
讨论函数的单调性；
【解析】
由得，函数的定义域为，
且，令，即，
①当，即时，恒成立，在单调递增；
②当，即时，令，
当时，，的解或，
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．
【例2】（2022·天津南开·三模）已知函数，记的导函数为
讨论的单调性；
【解析】
解：由已知可得，故可得．
当时，，故在单调递增；
当时，由，解得，或，
记，，则可知当变化时，的变化情况如下表：








0

0



极大值

极小值


所以，函数在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增．
【例3】（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）利用导数判断单调性，结合，则，同时注意定义域对根进行取舍；（2）根据题意，分和两种情况讨论处理．
【解析】(1)，
令，得．
因为，则，即原方程有两根设为
，所以（舍去），．
则当时，，当时，
在上是减函数，在上是增函数．



【题型专练】
1.已知函数，讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
利用导数判断单调性，结合，则，同时注意定义域对根进行取舍；
，
令，得．
因为，则，即原方程有两根设为
，所以（舍去），．
则当时，，当时，
在上是减函数，在上是增函数．
2.已知函数，讨论函数的单调性；
【解析】，
令，其对称轴为，令，则.
当时，，所以在上单调递增；
当时，对称轴为，
若，即，恒成立，所以，所以在上单调递增；
若时，设的两根，，
当时，，所以，所以在上单调递增，
当时，，所以，所以在上单调递减，
当时，，所以，所以在上单调递增，
综上所述：当时， 在上单调递增；
若时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
3.已知函数，讨论的单调性；.
【解析】的定义域为，，
对于函数，
①当时，即时，在恒成立．
在恒成立，在为增函数；
②当，即或时，
当时，由，得或，，
在为增函数，减函数，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
为增函数，
当时，由在恒成立，
在为增函数．
综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；
当时，在为增函数．
题型五：导函数为准二次函数型
【例1】（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数，
讨论的单调性。
【解析】
由题，
①当时，，令则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；
②当时，令则，：
当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；
当，即时，，单调递增；
当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
【例2】（2022·全国·二模（理））已知函数．
讨论的单调性；
【解析】
设．
当时，则，在R上单调递增，
当时，令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
【例3】（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数（e为自然对数的底数），其中．
试讨论函数的单调性；
【解析】
函数定义域为R，求导得，而，
则当时，即在R上为增函数，
当时，由，得，即，解得或，
则有或，由，解得，
所以在上递减，在和上递增．
【例4】（2022·浙江·模拟预测）已知函数.
讨论的单调性；
【解析】
定义域为R，
，
当时，恒成立，在R上单调递减，
当时，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在R上单调递减，
当时，则在上单调递减，在上单调递增.
【题型专练】
1.已知函数，．若，求函数的单调区间.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
求出函数f(x)定义域并求出其导数，分，两类确定不等式、的解集即可.
【详解】
解：，
，
当时，令，得：；令，得；
当时，令，得：或，
令，得；
因此，当时，在递增，在递减；
当时，在，递减；在递增．
2.【2021年新高考2卷】已知函数．
（1）讨论的单调性；
【详解】
(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
3.（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）先求导数，分类讨论，利用导数的符号判定函数的单调性；
【解析】(1)由可得，
当时，，
当时，，当时，，
从而的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，由得，，，
①若，即时，恒成立，故在R上单调递增：
②若，即时，由可得，或．
令可得，
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③若，即时，由可得，或，
令可得，
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在R上单调递增；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；