第21讲 抛物线定义及性质常考5种题型-【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

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第21讲 抛物线定义及性质常考5种题型
【考点分析】
考点一：抛物线定义
平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
考点二：抛物线焦点弦焦半径公式

图1-3-1 图1-3-2
焦半径：，，．
焦点弦：．
三角形面积：．
【题型目录】
题型一：抛物线的定义及方程
题型二：抛物线的性质
题型三：抛物线焦点弦焦半径
题型四：有关三角形面积问题
题型五：抛物线中的最值问题
【典型例题】
题型一：抛物线的定义及方程
【例1】已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则（    ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线焦半径公式列出方程，求出的值.
【详解】由抛物线定义知：，所以，解得：.
故选：A
【例2】抛物线的准线方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．
【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为．
故选：B．
【例3】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知的外心的横坐标为，求出点到抛物线的准线的距离，即为外接圆的半径，再利用圆的面积公式可求得的值.
【详解】抛物线的焦点为，易知的外心的横坐标为，
点到抛物线的准线的距离为，所以，的外接圆的半径为，
由题意可得，因为，解得.
故选：D.
【例4】数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为，校门最高点到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为（    ）

A．18米 B．21米 C．24米 D．27米
【答案】C
【分析】将抛物线方程化为标准式，根据焦点坐标求出的值，即可得到抛物线方程，再令求出的值，即可得解.
【详解】解：抛物线，即，
因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以，
所以抛物线即为，令，则，解得，
所以校门位于地面宽度最大约为米.
故选：C
【例5】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆C过点，则圆C的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出抛物线焦点坐标、准线方程，设出直线AB的方程，与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标，再结合圆过的点求解作答.
【详解】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB的中点为E，

而圆心C是线段的中点，又，即有，，
显然直线AB不垂直于y轴，设直线，由消去x得：，
则，，点E的纵坐标为，
于是得圆C的半径，圆心，而圆C过点，
则有，即，解得，
因此圆C的圆心，半径，圆C的方程为.
故选：B
【题型专练】
1.已知抛物线，其焦点为F，准线为l，则下列说法正确的是（       ）
A．焦点F到准线l的距离为1 B．焦点F的坐标为
C．准线l的方程为 D．对称轴为x轴
【答案】C
【解析】将抛物线方程化为标准形式，表示焦点坐标和准线，即得答案.
【详解】将抛物线化为标准方程
所以焦点F的坐标为，准线l的方程为，焦点F到准线l的距离为，对称轴为y轴
故选：C
【点睛】本题考查由抛物线的标准方程表示其简单几何性质，属于简单题.
2.抛物线的焦点为F，点M在C上，，则M到y轴的距离是（       ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】设，由抛物线的定义，即，即可求出答案.
【详解】抛物线的准线方程为：
设，由抛物线的定义知：，即，
即，所以M到y轴的距离是.
故选：B.
3.已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（       ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】由题可得，利用抛物线的定义可得，利用三角形的面积公式结合条件即得，
【详解】由题可得，因为，
所以，，
所以为坐标原点)的面积是.
故选：A.
4．（2022·广东广州·高二期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（       ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】写出抛物线的准线方程，由圆的方程得圆心和半径，由已知得圆心到准线的距离为半径，从而求出.
【详解】因为 ，所以抛物线准线为
又 ，所以圆心坐标为 ，半径为2
由已知得：圆心到准线的距离为半径，则 ，所以
故选：C.
5.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．

【答案】##3.6
【分析】首先建立直角坐标系，再根据抛物线所过的点求标准方程，进而得到抛物线的焦点到准线的距离.
【详解】以抛物线的最高点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为，，
因为抛物线过点，所以，可得，
所以抛物线的焦点到准线的距离为．
故答案为：
题型二：抛物线的性质
【例1】抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则（       ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】设抛物线的准线与y轴交于点D，等边三角形ABF中，可得点B的坐标代入双曲线上方程可得答案．
【详解】设抛物线的准线与y轴交于点D，如图，在等边三角形ABF中，，，所以点B的坐标为，又点B在双曲线上，故，解得．
故选：C．

【例2】已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，垂直l于点Q，与y轴交于点T，O为坐标原点，且，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设直线交于点，则可得，从而可得点的纵坐标为2，则可求出的横坐标，然后利用抛物线的定义可求得结果.
【详解】由，得抛物线的焦点为，准线为直线，
设直线交于点，则为的中点，
因为∥，，
所以，
因为垂直l于点Q，
所以点的纵坐标为2，
当时，，得，
所以点的横坐标与F相同，
所以，
故选：B

【例3】已知，是抛物线上位于不同象限的两点，分别过，作的切线，两条切线相交于点，为的焦点，若，，则（    ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】不妨令第二象限，Q在第一象限，根据抛物线的定义，可求得坐标，再利用导数的几何意义求切线斜率，从而得直线方程，联立可得交点的坐标，利用距离公式即可求得的值.
【详解】解：抛物线的焦点，抛物线的准线方程为，
如图所示，根据抛物线对称性，不妨令第二象限，Q在第一象限，

根据抛物线的定义，可知
所以的纵坐标为1，的纵坐标为4，则，．
由得，得，所以抛物线在，两点处的切线斜率分别为和2，
得到两条切线方程并联立，解得，则，
所以．
故选：B
【例4】已知点A是抛物线C：上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以的长为半径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且，则的值是（       ）
A． B．6 C． D．7
【答案】C
【分析】，由题意确定为等边三角形，进而表示A点坐标，代入抛物线方程，求得a的值，结合抛物线的焦半径公式即可求得答案.
【详解】由知： ；
设，结合圆和抛物线的对称性可得 ，结合，
得为等边三角形，
不妨设点A在第一象限，则A的坐标为，
因为点A是抛物线C：上一点，所以，
所以，得A的坐标为，
故，
故选：C
【例5】（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（       ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】

对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.

【题型专练】
1．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、，与直线交于点，若，，则（    ）
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】B
【分析】作出辅助线，由抛物线定义得到，，设，则，根据，求出，进而根据求出，得到答案.
【详解】设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，

则．根据抛物线定义知，，
又，，所以，，
设，因为，所以，
则．
所以，又，可得，所以，
所以，
可得，即．
故选：B
2.已知抛物线过点，过点的直线交抛物线于，两点，点在点右侧，若为焦点，直线，分别交抛物线于，两点，则（       ）
A． B．
C．A，，三点共线 D．
【答案】AC
【分析】设直线方程联立抛物线方程消参，利用定义表示出，然后由韦达定理和解不等式可判断A；用坐标表示出，利用韦达定理表示后，由m的范围可判断B；设直线NF，借助韦达定理表示出P点坐标，同理可得Q点坐标，然后由斜率是否相等可判断C；根据M和P的横坐标关系，结合AN斜率可判断D.
【详解】因为抛物线过点，
所以，所以抛物线方程为
设
设过点的直线方程为，代入整理得：
则，，即或

又
由定义可知，，
所以，故A正确；
所以
又，故B错误；
记
设直线NF方程为，代入整理得：
则，，同理可得
因为，
，所以A，，三点共线，C正确；
因为，，所以
由上可知，直线AM的斜率，所以，所以，D错误.
故选：AC

3.已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，O为原点，若为等腰三角形，则点A的横坐标可能为（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】设，分别表示出，，再分类讨论即可求解.
【详解】由抛物线的解析式，可知，准线，设，
由抛物线的定义可知，
又，.
当时，即，解得，此时点与点重合，不符合题意；
当时，即，解得或（舍），此时点A的横坐标为；
当时，即，解得，此时点A的横坐标为.
只有选项C符合题意.
故选：C
4.设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（       ）
A． B．是等边三角形
C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为
【答案】BC
【分析】根据题意，作出示意图，结合抛物线的定义，焦半径公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.
【详解】根据题意，作出示意图,


因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交于B，D两点，∠ABD＝90°，
由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，
所以是等边三角形，故B正确；
所以∠FBD＝30°.
因为的面积为|BF|2＝9，
所以|BF|＝6.故A错误；
又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，故C正确；
则该抛物线的方程为y2＝6x.故D错误.
故选：BC.
5.已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（       ）
A． B．为线段的中点
C． D．
【答案】AB
【分析】由题意可得直线的方程为，联立直线和抛物线方程得到，．求出的值，过点作垂直准线于点，得到为线段的中点即得解.
【详解】解：易知，由题意可得直线的方程为．
由，消去并整理，得，
解得，．
由，得，
∴．
过点作垂直准线于点，易知，
∴，∴．.
∵，∴为线段的中点．
故选：AB．


6.已知点F是抛物线的焦点，A，B，C为E上三点，且，则___________．
【答案】12
【分析】根据题意可得F为△ABC的重心，根据重心坐标公式解得，再结合抛物线定义代入整理计算．
【详解】由题意知，设，，，
，F为△ABC的重心
，即，
则．
故答案为：12．
题型三：抛物线焦点弦焦半径
【例1】过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线l的斜率.
【详解】当在轴上方时，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于，设，则，所以，
所以，
同理可得当在轴下方时，的值为，
故选：C.

【例2】已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，则下列结论正确的是（       ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．若，则直线的斜率为
C．若为坐标原点，则三点共线
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，求出直线的方程，代入抛物线方程中，整理后利用根与系数的关系，然后利用弦长公式可求出，对于B，设1，代入抛物线方程，整理后利用根与系数的关系，再由，得，从而可求出的坐标，进而可求出直线的斜率，对于C，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可，对于D，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可
【详解】若直线的倾斜角为，则，
令，由消可得，
所以，故正确；
设1，令，由，
消可得
，，所以，
所以，
所以或
所以.即，故错误；
设，令，，
消可得
，
所以，即三点共线，故C正确；
设，令，由
消可得
，，
所以，
即，故正确.
故选：ACD.
【例3】已知抛物线 ， 过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作轴的垂线，垂足分别为C，D， 则的最小值为（      ）
A． B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义可得，直线与抛物线联立求出焦点弦长，讨论最值求解.
【详解】因为抛物线为，所以，焦点
设，
根据抛物线的定义可得，，
所以，
所以,即
因为过F的直线与抛物线交于A，B两点，所以直线的斜率不等于0，
设为，
联立，得，
所以，，
所以，
所以当且仅当时有最小值为4，
则有最小值为2.
故选:B.
【题型专练】
1.（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
2.设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（       ）
A． B．8 C．12 D．
【答案】B
【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.
【详解】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，可得，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为．
故选：B．
3．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（       ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
4.已知抛物线的焦点F，过F分别作直线与C交于A，B两点，作直线与C交于D，E两点，若直线与的斜率的平方和为1，则的最小值为_________
【答案】24
【分析】根据给定条件，将直线、的方程，与抛物线方程联立求出、，再借助均值不等式求解作答.
【详解】抛物线的焦点，准线，设直线与的斜率分别为，，有，
直线：，由消去y并整理得：，
设，则，
，直线：，同理，
于是得，
当且仅当时取“=”，所以的最小值为24.
故答案为：24
【点睛】思路点睛：直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
题型四：有关三角形面积问题
【例1】经过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若（其中O为坐标原点），则直线l的斜率为______．
【答案】
【分析】设直线斜率为，直线方程为，设，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，然后由弦长公式得弦长，再求得原点到直线的距离，求出面积后可得值．
【详解】由已知，
设直线斜率为，直线方程为，设，
由得，
，，
，
又到直线的距离为，
所以，．
故答案为：．
【例2】抛物线的焦点为，直线与抛物线分别交于两点（点​在第一象限），则的值等于________.
【答案】
【分析】由题意可知直线过焦点且倾斜角为，设，则 ，，求出，结合三角形面积公式即可求解
【详解】因为直线可化为，
所以过焦点且倾斜角为，
设，则 ，，
解得，，
代入得，，
所以，
故答案为：
【题型专练】
1.斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得：
，
设，不妨设，，
则，
点O到直线AB的距离为，
所以△AOB的面积为
故选：B
2.已知斜率为的直线过抛物线：的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为2，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设直线：， 与椭圆方程联立，根据与的面积之比为2，利用抛物线定义得到，再结合韦达定理求解.
【详解】解：如图所示：

由抛物线：，得，
设直线：，，，
由得，
所以，，
由已知和抛物线定义知：，
则有，即，
所以
解得，，.
故选：D
题型五：抛物线中的最值问题
【例1】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】设出，P点坐标，根据及抛物线方程，得到，从而表达出直线OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.
【详解】因为，设，显然当时，，当时，，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时，设，因为，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，则，当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为.
故选：C
【例2】已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．
【答案】5
【分析】利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再由三点共线求最小值.
【详解】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，

当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.
故答案为：5.
【例3】已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（       ）
A．的最小值为1 B．的最小值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
【答案】AC
【分析】根据抛物线的性质判断A，根据圆的性质判断B，结合抛物线的定义判断C，D.
【详解】抛物线焦点为，准线为，作出图象，

对选项A：由抛物线的性质可知：的最小值为，选项A正确；
对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：的最小值为，选项B错误；
对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知，故，的最小值为点Q到准线的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误．
故选：AC.
【例4】已知抛物线及圆，过的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为___________.
【答案】13
【分析】根据圆心即为抛物线C的焦点F，利用抛物线的定义，结合基本不等式求解.
【详解】解：如图所示：

圆心即为抛物线C的焦点F.
所以，
由抛物线的定义，，
所以，
又易知：，
所以，
当且仅当，即时等号成立.   
所以的最小值为13，
故答案为：13
【题型专练】
1.已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解.
【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，
如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.


，则．
故选：B．
【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
2.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则________；设点是抛物线上的任意一点，点是的对称轴与准线的交点，则的最大值为________.
【答案】     ，   
【分析】空1：设直线联立方程可得，根据题意可得，代入可解得；空2：根据抛物线定义取到最大值即最小，此时直线与抛物线相切，利用导数求切线分析求解．
【详解】设过点的直线为，
联立方程消去得，可得
∵，则可得：，可得，解得
过点作准线的垂线，垂足为，则可得
若取到最大值即最小，此时直线与抛物线相切
，即，则
设，则切线斜率，切线方程为
切线过，代入得，解得，即
则，即
则的最大值为
故答案为：；．

3.（2021·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试（文））已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
【答案】
【分析】根据题意可得抛物线的焦点坐标、准线方程及圆的圆心坐标、半径，利用抛物线的定义可得点到抛物线准线的距离即为点到焦点的距离，进而得到动点位于线段上时距离最小，计算即可求解.
【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
圆的圆心坐标为，半径为，
设点到抛物线准线的距离为，则，故，
所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小，
此时.
故答案为：.

4．已知抛物线的焦点为，且与圆上的点的距离的最小值4．
(1)求；
(2)若点在圆上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】(1)2，(2)
【分析】(1)由点F到圆M上的点最小值为4建立关于p的方程，解出即可；
(2) 根据题意，可知与切点弦所在直线：互为极点与极线，并联立方程组求解得方程，通过韦达定理、弦长公式表达出，以及点到直线距离公式表达出点到直线的距离，从而写出面积表达式进而求最大值.
【详解】（1）抛物线的焦点为，，∴与圆上点的距离的最小值为，解得．
（2）
设点，，，由于点在圆上，是的两条切线，是切点，所以与切点弦所在直线：互为极点与极线，联立可得，由韦达定理可得，，，点到直线的距离为，∴，，由已知可得，∴当时，的面积取最大值．
【点睛】本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系以及运算求解能力，更要运用到极点与极线的关系.