初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形背景图ppt课件

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1.理解并掌握等腰三角形的判定.(重点)2.探索等腰三角形的判定的过程，并运用其进行计算和证明.（难点）
1. 的三角形叫做等腰三角形.
2. 等腰三角形的性质1.
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.
3.等腰三角形的性质2.
思考 如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
所画三角形符合∠B=∠C，测量发现：AB=AC.
猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等.
已知：如图，在△ABC中，∠B= ∠C.求证：AB=AC.
证明：如图，作△ABC的角平分线AD,则∠1= ∠2.
∴ △BAD≌△CAD (AAS).
又AD=AD，∠B=∠C，
该判定方法的几何语言：
如图，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC,即△ABC为等腰三角形.
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：下列推理正确吗?
（1）如图①，∵∠1=∠2, ∴BD=DC（等角对等边）.
（2）如图②，∵∠1=∠2, ∴DC=BC（等角对等边）.
“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等，再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系.
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC.求证：AB=AC.
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC.求证：AB=AC.
证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（ ）， ∠2=∠C（ ）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（ ）．
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同位角相等
例2 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
作法：（1）作线段AB=a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
（3）在MN上取一点C，使得DC=h.
（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
例3 (2021•淄博节选)如图,在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E.求证:BE=DE.
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.∵DE∥BC,∴∠EDB=∠CBD.∴∠ABD=∠EDB.∴BE=DE.
【变式】(2021•徐州节选)如图,将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处.求证:△AEF是等腰三角形.
证明:由折叠性质可知，∠AEF=∠CEF.由长方形性质可得AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF.∴∠AEF=∠AFE.∴AE=AF，即△AEF为等腰三角形.
有两边相等的三角形是等腰三角形.
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
1.下列三角形中，不是等腰三角形的是（　　）
2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=50°，若AB=6cm，则AC的长为( )A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
3.如图, AC,BD相交于点O ,∠A=∠D,如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形,那么你补充的条件不能是( )A.OA=OD B.AB=CD C.∠ABO=∠DCO D.∠ABC=∠DCB
【解析】要使△BOC是等腰三角形, 需证得BO=CO.题中有两个隐含条件：∠AOB=∠DOC，BC为公共边.A.可利用“ASA”证明△AOB≌△DOC,∴BO=CO;B.可利用“AAS”证明△AOB≌△DOC,∴BO=CO;C.不能证明;D.可利用“AAS”证明△ABC≌△DCB,∴∠OCB=∠OBC，∴BO=CO.故选C.
4.如图,在△ABC中, AD是∠BAC的平分线，EF∥AD，交AB于点F，交CA的延长线于点G，下列说法正确的是( )A.△ABD是等腰三角形 B.△AGF是等腰三角形C.△BEF是等腰三角形 D.△ADC是等腰三角形
【解析】∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2.∵EF∥AD，∴∠1=∠3,∠2=∠G.∴∠3=∠G.∵∠2=∠4，∴∠4=∠G.∴AF =AG,即△AGF为等腰三角形.故选B.
5.(2021•保定一模)嘉嘉和淇淇玩一个游戏，他们同时从点B出发，嘉嘉沿正西方向行走，淇淇沿北偏东30°方向行走，一段时间后,嘉嘉恰好在淇淇的南偏西60°方向上.若嘉嘉行走的速度为1m/s，则淇淇行走的速度为( ) C.1m/s
【解析】∴AB=BC,则嘉嘉和淇淇所走的路程相同.∵两人同时从点B出发，说明所用时间相同，那么速度也相同.故选C.
6.如图,在△ABC中, AB=AC,∠A=36°,角平分线BD,CE相交于点O,则∠ABC= °，∠ACE= °，∠BEC= °，∠BOE= °，图中的等腰三角形共有 个，分别为 .
△ABC,△OBC,△ADB,△AEC,△BEC,△BDC,△EBO,△DCO
7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM=5,CN=6，求线段MN的长.
解：∵BE平分∠ABC,∴∠1=∠2.∵MN∥BC,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴BM=ME=5.同理可得EN=CN=6.∴MN=ME+EN=5+6=11.
8.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD,∠C与∠BAD互补.若AD=3，则AC的长.
解:延长AD,交BC的延长线于点E.∵BD平分∠ABC，AD⊥BD,BD=BD，∴△ABD≌△EBD(ASA),∴AD=ED,AB=EB.∴∠E=∠BAD.∵∠BCA+∠ACE=180°,∠BCA与∠BAD互补,∴∠ACE=∠BAD.∴∠ACE=∠E.∴AC=AE=2AD=3.
9.如图,在△ABC中,∠B=25°，∠A=100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时,求其顶角的度数.
解:∵∠B=25°，∠A=100° ,∴∠C=180°-25°-100°=55°.第一种情况：如图1 ,当点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°.第二种情况：如图2，当点P在BC上时，若AC=PC ,顶角为∠C=55°;