广东省梅州市大埔县古村中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份广东省梅州市大埔县古村中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了cm2等内容，欢迎下载使用。
古村中学2022-2023学年七年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在“双碳”目标背景下，中国未来发展离不开新能源产业发展．下列能源产业图标中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（μm表示微米，1μm＝0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．科学家用PM2.5表示每立方米空气中这种颗粒的含量，值越高，代表空气污染越严重．将2.5μm用科学记数法表示为（　　）
A．2.5×10﹣6m B．25×10﹣6m C．25×10﹣5m D．2.5×10﹣5m
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）3＝a3 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．（a2）3＝a3 D．（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2
4．（3分）下列长度（单位：cm）的三条线段能构成三角形的是（　　）
A．2，5，8 B．3，4，5 C．4，6，10 D．5，7，13
5．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
B．同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个
C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6
D．用长度分别为8cm、7cm、15cm的三根小木棒摆成一个三角形
6．（3分）端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若∠2＝20°，则∠1的度数为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
8．（3分）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于AB的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线PO交AB于点E，交AC于点D，若BC＝5，AC＝8，则△BDC的周长为（　　）
​

A．9 B．10.5 C．13 D．18
9．（3分）如图，从边长为（a+5）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）cm的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　）cm2．

A．a2+5a B．6a+21 C．6a+14 D．3a+21
10．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠ACB＝α，∠EAD＝β，则∠B的度数为（　　）

A．2β﹣α B．α﹣β C．2α﹣β D．α+β
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算：（﹣2x+1）（﹣2x﹣1）＝　 　．
12．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为　 　．

13．（3分）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°，∠2＝　 　．

14．（3分）奥园路口红绿灯的时间设置为：红灯90秒，绿灯30秒，黄灯5秒．当人或车随意经过该路口时，遇到红灯的概率是 　 　．
15．（3分）如图，△ABC 中，AB＝AC，点D为CA延长线上一点，DH⊥BC于点H点F为AB延长线上一点，连接DF交CB的延长线于点E，点E是DF的中点，若 BH＝2，BE＝2BH，则BC＝　 　．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）（3a3）2•a4﹣（﹣a2）6÷a2．
17．（7分）先化简，再求值：，其中x＝2，y＝﹣1．
18．（8分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黄三种颜色的球．其中红球5个，白球4个，黄球若干个．
（1）若黄球有11个，则从中任意摸出一个球是黄球的概率是 　 　；
（2）若任意摸出一个球是红球的概率为，求黄球的个数．
19．（8分）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，E是BC边上一点，连接DE．
（1）过点A作BC的平行线，与ED的延长线交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若D是AC的中点，求证：AF＝EC．

20．（10分）如图，在长为20cm，宽为16cm的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化．设剪去的每个三角形的直角边长为xcm（x≤8），阴影部分的面积为ycm2．
三角形的直角边长/cm
1
2
3
4
…
阴影部分的面积/cm2
m
312
n
288
…
（1）表中的数据m＝　 　，n＝　 　；
（2）当等腰直角三角形的直角边长由4增加到7时，阴影部分的面积 　 　（填增大或减少） 　 　cm2．
（3）写出y与x的关系式 　 　．

21．（10分）生活中的数学：

（1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何知识是 　 　；
（2）如图2，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，这里所运用的几何知识是 　 　；
（3）如图3，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段AB和CD，且AB＝CD，点E是线段BC的中点，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段DE的长度，这样做合适吗？请说明理由．
22．（12分）将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
（1）观察图1，写出代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：　 　；
（2）若x+y＝6，xy＝4，则x2+y2＝　 　；（x﹣y）2＝　 　；
（3）如图2，边长为5的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为m，n（m＜5，n＜5）的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积S1+S2+S3的值．

23．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
【特例体验】（1）如图1，若直线l∥BC，BD＝1，则线段DE的长为 　 　；
【探究应用】
（2）如图2，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜45°）时，线段BD、CE和DE的数量关系是 　 　；
（3）如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°）时与线段BC相交，探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（4）若BD＝a，CE＝b（a，b均为正数），请你直接写出以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积．
























参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A，B，C选项中的图标都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D选项中的图标不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
2． 解：2.5μm＝2.5×0.000001m＝0.0000025m＝2.5×10﹣6m．
故选：A．
3． 解：A．（﹣a）3＝﹣a3，因此选项A不符合题意；
B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，因此选项B不符合题意；
C．（a2）3＝a6，因此选项C不符合题意；
D．（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2，因此选项D符合题意；
故选：D．
4． 解：A、2+5＜8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、3+4＞5，能组成三角形，故本选项符合题意；
C、4+6＝10，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、5+7＜13，不能组成三角形，故本选项不符合题意意．
故选：B．
5． 解：A、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
B、同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个，是随机事件，不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6，是必然事件，符合题意；
D、用长度分别为8cm、7cm、15cm的三根小木棒摆成一个三角形，是不可能事件，不符合题意．
故选：C．
6． 解：∵妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽，
∴P（红豆粽）＝＝．
故选：B．
7． 解：∵用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，

∴∠3＝60°﹣∠2＝40°，
∵直尺的对边平行，
∴∠1＝∠3＝40°．
故选：A．
8． 解：由作法得DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，DE⊥AB，
∴D点为AC的中点，
∴BD＝CD＝AD，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝8+5＝13．
故选：C．
9． 解：拼成矩形的长为a+2+a+5＝2a+7，宽为a+5﹣a﹣2＝3，
所以面积为3（2a+7）＝6a+21，
故选：B．
10． 解：∵以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，
∴AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，
∵∠ACB＝α，
∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣∠ACB）＝90，
∵∠DAE＝β，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝（90°﹣）﹣β＝90°﹣﹣β，
∴∠BAD＝∠BDA＝∠C+∠CAD＝α+（90°﹣﹣β）＝90°+﹣β，
∴∠B＝180°﹣∠BAD﹣∠BDA
＝180°﹣（90°+﹣β）﹣（90°+﹣β）
＝180°﹣90°﹣+β﹣90°﹣+β
＝2β﹣α，
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：原式＝（﹣2x）2﹣12
＝4x2﹣1，
故答案为：4x2﹣1．
12． 解：∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∵∠3+∠2＝180°，
∴∠2＝130°，
故答案为：130°．

13． 解：由题意可知：∠1+∠EAC＝60°，∠EAC+∠2＝90°，
∵∠1＝27°，
∴∠EAC＝60°﹣∠1＝33°，
∴∠2＝90°﹣∠EAC＝57°．
故答案为：57°．
14． 解：遇到红灯的概率为：，
故答案为：．
15． 解：如图，过点D作DN∥AF交CE的延长线于点N，

∴∠EBF＝∠N，∠BFE＝∠BDN，
∵点E是DF的中点，
∴DE＝FE，
在△BEF和△NED中，
，
∴△BEF≌△NED（AAS），
∴BE＝EN＝2BH＝4，
∴BN＝BE+EN＝8，
∴NH＝BH+BN＝10，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DN∥AF，
∴∠N＝∠ABC，
∴∠N＝∠C，
∴DN＝DC，
∵DH⊥CN，
∴CH＝HN＝10，
∴BC＝CH+BH＝12，
故答案为：12．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：（1）原式＝1﹣7+16÷16
＝1﹣7+1
＝﹣5；
（2）原式＝9a6•a4﹣a12÷a2
＝9a10﹣a10
＝8a10．
17． 解：
＝（4x2﹣4xy+y2﹣4x2+y2）÷y
＝（2y2﹣4xy）y
＝4y﹣8x，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝4×（﹣1）﹣8×2＝﹣4﹣16＝﹣20．
18． 解：（1）∵在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黄三种颜色的球．其中红球5个，白球4个，黄球有11个，
∴盒子中球的总数为：5+4+11＝20（个），
∴从中任意摸出一个球是黄球的概率是．
故答案为：；
（2）∵任意摸出一个球是红球的概率为，
∴盒子中球的总数为：5÷＝15（个），
∴黄球的个数为15﹣5﹣4＝6（个）．
19． （1）解：如下图：AF即为所求；
（2）∵AF∥BC，
∴∠FAC＝∠C，∠AFE＝∠FEC，
∵D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE．

20． 解：（1）∴当三角形的直角边长为1cm时，m＝20×16﹣4×12＝318（cm2）；
当三角形的直角边长为3cm时，n＝20×16﹣4××32＝320﹣18＝302（cm2）．
故答案为：318，302．
（2）当等腰直角三角形的直角边长为4cm时，阴影部分的面积为288cm2；
当等腰直角三角形的直角边长为7cm时，阴影部分的面积为320﹣4×72＝320﹣98＝212cm2．
∴当等腰直角三角形的直角边长由4增加到7时，阴影部分的面积减少288﹣212＝76（cm2）．
故答案为：减少，76．
（3）由题意得y＝20×16﹣4×＝320﹣2x2，
∴y与x的函数关系式为y＝320﹣2x2．
故答案为：y＝320﹣2x2．
21． 解：（1）一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性；
（2）把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短；
（3）这样做合适，
理由：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
在△AEB与△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴AE＝DE．
22． 解：（1）图1的阴影部分面积＝（a+b）2﹣4ab，图1的阴影部分面积＝（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）∵x+y＝6，xy＝4，
∴（x+y）2＝36＝x2+y2+2xy，
∴x2+y2＝36﹣2xy＝36﹣8＝28，
∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝36﹣16＝20，
故答案为：28，20；
（3）∵长方形的周长为12，面积为8.5，
∴m+n＝6，m•n＝8.5，
∵S1+S2+S3＝（5﹣m）2+（n+m﹣5）2+（5﹣n）2＝25+m2﹣10m+1+25+n2﹣10n＝m2+n2﹣10（m+n）+51＝（m+n）2﹣2mn﹣60+51＝36﹣17﹣9＝10，
∴S1+S2+S3＝10．
23． 解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝45，∠EAC＝∠ACB＝45°，
又∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴AD＝BD＝1，AE＝CE，
∵∠BDA＝∠CEA＝90°，∠BAD＝∠CAE＝45°，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝CE＝AE＝1，
∴DE＝2，
故答案为：2；
（2）在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
（3）DE＝BD﹣CE．理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE；
（3）如图2，∵BD＝a，CE＝b，
∴DE＝a+b，
∴四边形BDEC＝（a+b）（a+b）＝（a+b）2，
如图3，∵BD＝a，CE＝b，
∴DE＝a﹣b，
∴四边形BDCE＝（a﹣b）（a+b）＝（a2﹣b2），
∴以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积为（a+b）2或（a2﹣b2）．