江苏省常州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷+

这是一份江苏省常州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷+，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若关于x的一元二次方程x2−ax+6=0的一个根是2，则a的值为(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.一元二次方程x2−8x−2=0，配方后变形为(    )
A. (x−4)2=18 B. (x−4)2=14 C. (x−8)2=64 D. (x−4)2=1
3.下列一元二次方程中，无实数根的是(    )
A. x2−2x−3=0 B. x2+3x+2=0 C. x2−2x+1=0 D. x2+2x+3=0
4.方程x(x−1)=x的解是(    )
A. x=1 B. x=0 C. x=2或x=0 D. x=1或x=−1
5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为(    )

A. 45° B. 60° C. 72° D. 36°
6.如图，∠BAC=36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于(    )

A. 27° B. 29° C. 35° D. 37°
7.若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是(    )
A. 12π B. π C. 32π D. 2π
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点D是AB边上一个动点，以点D为圆心r为半径作⊙D，直线BC与⊙D切于点E，若点E关于CD的对称点F恰好落在AB边上，则r的值是(    )

A. 2−1 B. 1 C. 2 D. 2+1
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
9.方程x2−4x=0的实数解是______ ．
10.已知关于x的方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是          ．
11.关于x的方程x2−3x+2=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为______．
12.已知y1=x2−9，y2=3−x，当x= ______ 时，y1=y2．
13.一个直角三角形的两条边长分别是方程x2−7x+12=0的两根，则该直角三角形的面积是______．
14.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC=58°，则∠BAC= ______ °.

15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD=DC，∠DAC=25°，则∠ABC=______°.

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A(8,5)为圆心作⊙A与x轴相切，点P是y轴正半轴上一点，PA=10，则OP=______．

17.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F.若BD=4，∠CAB=36°，则图中阴影部分的面积为______ .(结果保留π)

18.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°，BC=4，OH⊥AC，垂足为H，连接BH，则BH的最大值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题16.0分)解方程．
(1)(x−1)2=4；
(2)x2−4x+3=0；
(3)(x−2)2=2x−5；
(4)2x2−3x+1=0．
20.(本小题8.0分)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=12，求m的值．
21.(本小题6.0分)如图，用长6m的铝合金条制成“日“字形窗框，请问宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5m2(铝合金条的宽度不计)？

22.(本小题6.0分)某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往的销传经验，销售单价每提高1元，月销售量就会减少10件，若服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，且销售单价不超过50元，求T恤的销售单价应提高多少元？
23.(本小题8.0分)已知AB为⊙O的直径，AB=6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．
(Ⅰ)如图①，若C为AB的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
(Ⅱ)如图②，若AC=2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．

24.(本小题10.0分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+4的图像分别交x轴、y轴于点A、B，点C、D分别是射线AO、射线AB上的动点，且AD=2OC.连接CD，以CD为直径作⊙I，设C(t,0)．
(1)若t=−1，则点D的坐标是______；
(2)若点C在线段OA上且⊙I的面积是4π，求t的值；
(3)若直线AB与⊙I相切，求t的值．

25.(本小题10.0分)【阅读理解】在平面直角坐标系xOy中，已知点M(x,y)，N是线段OM上一点．对于平面内一点P给出如下定义：将点P向右(x≥0)或向左(x<0)平移|x|个单位长度，再向上(y≥0)或向下(y<0)平移|y|个单位长度，得到点P'，点P'关于点N的对称点为Q，我们称点P'是点P的“平移点”，点Q为点P的“移对点”．
【解答问题】在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2．
(1)若点M(2,0)，点N是OM的中点，点P(3,0)，则点P的“平移点”P'的坐标是______，点P的“移对点”Q的坐标是______；
(2)如图，点M(0,2)，点N是OM的中点，点P(3,0).在图中用直尺与圆规作出点P的“移对点”点Q，并求点Q的坐标(不写作法，保留作图痕迹)；
(3)若点M(x,y)是⊙O上一点，N是线段OM上一点，且ON=2，P是⊙O外一点，点Q为点P的“移对点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差．


参考答案和解析
选择、填空题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
D
C
B
A
B
A
9.x1=0，x2=4 10.m<1 11.3 12.-4或3 13.6或 14.32
15.50 16.11 17. 18.
19.解：(1)(x−1)2=4，
∴x−1=±2，
∴x1=3，x2=−1.
(2)x2−4x+3=0，
(x−3)(x−1)=0，
∴x−3=0或x−1=0，
∴x1=3，x2=1.
(3)(x−2)2=2x−5，
x2−6x+9=0，
(x−3)2=0，
∴x−3=0，∴x1=x2=3.
(4)2x2−3x+1=0，
(2x−1)(x−1)=0，
∴2x−1=0或x−1=0，
∴x1=12，x2=1． 
20.解：(1)根据题意，得(2m)2−4(m2+m)≥0，解得m≤0．
(2)根据题意，得x1+x2=−2m，x1x2=m2+m，
∵x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=12，
∴(−2m)2−2(m2+m)=12，即m2−m−6=0，
解得m1=−2，m2=3(由(1)得m⩽0，故m2=3>0舍去)．
故m的值为−2． 
21.解：设宽为xm，则高为6−3x2m，
由题意，得x×6−3x2=1.5，解得x1=x2=1，
高是6−32=1.5(m)．
答：宽为1m，高为1.5m． 
22.解：设T恤的销售单价为x元，则每件的销售利润为(x−30)元，一个月内能售出300−10(x−40)=(700−10x)（件），
依题意，得(x−30)(700−10x)=3360，
整理，得x2−100x+2436=0，
解得x1=42，x2=58．
又∵销售单价不超过50元，∴x=42符合题意．
∴42−40=2(元)．
答：T恤的销售单价应提高2元． 
23.解：(Ⅰ)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵C为AB的中点，∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴AC=AB⋅cos∠CAB=32.
(Ⅱ)∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF.
∵OD⊥BC，∠FCB=90°，
∴四边形FCED为矩形，∴FD=EC.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=6，
则BC=AB2−AC2=42，
∵OD⊥BC，∴EC=12BC=22，∴FD=22． 
24.解：（1）(−3,1) 
(2)设D(m,m+4)，
∵⊙I的面积是4π，∴CD=4，
∴(t−m)2+(m+4)2=4①，
∵AD=2OC， ∴2(m+4)2=−2t②，
联立①②，得t=0或t=−165.
(3)如图，过D点作DG⊥x轴交于点G，

∵OA=OB，∴∠BAO=45°，
∴△AGD是等腰直角三角形，∴AG=DG.
设D(x,x+4)，
∴AG=x+4，DG=x+4，∴AD=2(x+4).
∵AD=2OC，∴2(x+4)=2|t|①.
∵直线AB与⊙I相切，∴CD⊥AB，
∴CG=AG=4+x，∴t−x=4+x②，
联立①②可得t=4或t=−43．
25.解：(1)(5,0) (−3,0)
(2)根据平移得出点P'，
如图，作射线P'N，以点N为圆心，P'N长为半径作弧，交射线P'N于点Q，点Q即所求．

(3)如图，连接PO，并延长至S，使OP=OS，延长SQ到T，使ST=OM，

由题意知，PP'//OM，PP'=OM，P'N=NQ，∴TQ=2MN.
∵MN=OM−ON=2−2，∴TQ=4−22，
∴SQ=ST−TQ=2−(4−22)=22−2，
∵PS−QS≤PQ≤PS+QS，
∴PQ的最小值为PS−QS，PQ的最大值为PS+QS，
∴PQ长的最大值与最小值的差为(PS+QS)−(PS−QS)=2QS=42−4．