第一章三角形的证明复习 -（北师大）课件PPT

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第1章 三角形的证明章 末 复 习知识回顾知识点1 等腰三角形的性质（4）顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.（3）两个底角相等，简称“等边对等角”；（2）是轴对称图形，等腰三角形的顶角平分线（或底边中线、底边高线）所在的直线 是它的对称轴；（1）两腰相等；例1 若等腰三角形的周长为26 cm，一边长为11 cm，则腰长为（ ） A. 11 cm B. 7.5 cm C. 11 cm或7.5 cm D. 以上都不对C例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为E，F，则下列四个结论中：①AB上任一点与AC上任一点到D的距离相等；②AD上任一点到AB，AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④∠1＝∠2.正确的有( 　　)A．1个　 B．2个 C．3个　 D．4个C 知识点2 等腰三角形的判定（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.说明：判定定理在同一个三角形中才能适用．例3 将一副直角三角板如图摆放，等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD.求证：△CDO是等腰三角形．证明：∵ 在△BDC中，BC＝BD，∴ ∠BDC＝∠BCD.∵ ∠DBE＝30°，∴ ∠BDC＝∠BCD＝75°.∵ ∠ACB＝45°，∴ ∠DOC＝30°＋45°＝75°.∴ ∠DOC＝∠BDC .∴ CD=CO.∴ △CDO是等腰三角形．知识点3 等边三角形的性质（1）等边三角形的三边都相等；（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；（3）是轴对称图形，对称轴是三条高（或三条中线、三条角平分线）所在的直线;（4）任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.（5）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.例4 如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，点A，B，D在同一直线上，试判断AE和CD的大小关系，并说明理由．解：AE＝CD，理由如下：∵ △ABC与△BDE都是等边三角形，∴ AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°.∴ ∠ABC＋∠CBE＝∠EBD＋∠CBE .即∠ABE＝∠CBD.在△ABE和△CBD中 CB=AB∠CBD =∠ABEBD＝BE∴△ABE≌△CBD .∴AE＝CD.例5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点P为AC的中点，点D为AB边上一点，且AD＝PD，延长DP交BC的延长线于点E，若AB＝2，求PE的长．  知识点4 等边三角形的判定（1）定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形.（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明.例6 如图，△ABC是等边三角形，与BC边平行的直线分别交AB和AC于点D，E .求证：△ADE是等边三角形．证明：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵ DE∥BC，∴ ∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED ．∴ ∠ADE＝∠AED＝∠A＝60°．∴ △ADE是等边三角形．例7 如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足.求证：△DEF是等边三角形．证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.∴∠BDE＝∠CDF＝60°.∴∠EDF＝60°.∵D是BC的中点，∴BD＝CD .在△BDE与△CDF中， ∴△BDE≌△CDF.∴DE＝DF .∴△DEF是等边三角形．1．逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可以得到原命题的逆命题．知识点5 命题和定理2．互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．3．逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一 个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理．注意：每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．例8 下列四个命题中：①对顶角相等；②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等；④当m≠0时，点P（m2，-m）在第四象限内．其中真命题有________（填序号）．例9 写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题_______________________________________________________．该逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．①如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等假直角三角形的性质定理 知识点6 直角三角形性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：直角三角形的两个锐角互余．直角三角形的判定定理有两个角互余的三角形是直角三角形.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．例10 如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC.求证：Rt△ABC≌Rt△DEF.证明：∵ BF＝EC，∴ BF＋FC＝FC＋EC，即BC＝EF.∵ ∠A＝∠D＝90°，∴ △ABC和△DEF都是直角三角形．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．BC＝EFAB=DE 例11 如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，∠EFH＝20°，求∠EHB的度数． 知识点7 线段的垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.2. 逆定理： 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.3. 常见的基本作图： (1)过已知点作已知直线的垂线； (2)作已知线段的垂直平分线．4. 三角形的三边的垂直平分线的性质： 三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等.例12 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别为C，D，连接CD，交OE于点F.求证：OE是CD的垂直平分线.证明：∵ E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴ DE＝CE.∵OE＝OE，∴ Rt△ODE≌Rt△OCE .∴ OD＝OC.∴ △DOC是等腰三角形．∵ OE是∠AOB的平分线，∴ OE是CD的垂直平分线．知识点8 角平分线的性质与判定1. 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2. 判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上.3. 三角形的三条内角平分线的性质：三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的距离相等.例13 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且DE＝DC.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．解：(1)∵ DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，∴ 点D在∠ABC的平分线上 .∴ BD平分∠ABC.(2)∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝27°.随堂练习1. 如图，已知AD是△ABC的高，由下列条件就能推出△ABC是等腰三角形的是__________.(把所有正确答案的序号都写在横线上)①∠BAD＝∠ACD；②∠BAD＝∠CAD；③AB＝AC；④BD＝CD.②③④ 2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是________. 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°. AB的垂直平分线DE交 AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是( 　　)A．2　 B．2.5　 C．3　 D．4C A．AE＝BE B．AC＝BEC．CE＝DE D．∠CAE＝∠BB 3. 如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB＝5， △BCE的周长为8，则BC的长为( 　　)5. 一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1＋∠2＝_____度．6. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( 　　)A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A-∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠CD 90 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC.求证：∠DEF＝∠DFE.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵ D是BC边上的中点，∴ DB＝DC.∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ ∠DEB＝∠DFC＝90°.在△DEB和△DFC中，∴△DEB≌△DFC .∴DE＝DF .∴∠DEF＝∠DFE.∠DEB＝∠DFC∠B＝∠CDB＝DC