南阳市第一中学校2022-2023学年高二下学期第四次月考数学试卷（含答案）

这是一份南阳市第一中学校2022-2023学年高二下学期第四次月考数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

南阳市第一中学校2022-2023学年高二下学期第四次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2、已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
3、已知直线和互相平行，则实数m等于( )
A.-1或3 B.-1 C. D.1或-3
4、已知函数，则( )
A.-1 B.0 C. D.1
5、若一圆的圆心坐标为，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A. B.
C. D.
6、已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
7、若有两个极值点，设这两个极值点为，，且，则( )
A. B. C. D.
8、已知函数，分别与直线交于点A，B，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、直线与曲线相切于点，下列正确的是( )
A. B. C. D.
10、已知函数的导函数的图象如图所示，则( )

A.在区间上单调递增
B.在区间上有且仅有2个极值点
C.在区间上最多有4个零点
D.在区间上存在极大值点
11、已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是( )
A. B. C. D.
12、已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，若四边形为矩形且，则下列正确的是( )
A. B.E的浙近线方程为
C.矩形的面积为 D.E的离心率为
三、填空题
13、曲线上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是______.
14、若函数在定义域R上不单调，则正整数n的最小值是______.
15、函数的最小值为______.
16、已知抛物线的焦点为F，经过抛物线上一点P，作斜率为的直线交C的准线于点Q，R为准线上㫒于Q的一点，当时，______.

四、解答题
17、已知函数，其中.
（1）若在处取得极值，求实数a的值；
（2）若，在上恒成立，求实数a的取值范围.
18、已知.
（1）证明：；
（2）证明：时，.
19、设a为实数，函数，.
（1）若函数与x轴有三个不同交点，求实数a的取值范围；
（2）对于，，都有，试求实数a的取值范围.
20、设m为实数，函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，直线是曲线的切线，求的最小值.
21、已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若有两个零点，求实数a的取值范围.
22、已知过点的椭圆的焦距为2，其中e为椭圆E的离心率.
（1）求E的标准方程；
（2）设O为坐标原点，直线l与E交于A，C两点，以OA，OC为邻边作平行四边形OABC，且点B恰好在E上，试问：平行四边形OABC的面积是否为定值?若是定值，求出此定值；若不是，说明理由.
参考答案
1、答案：D
解析：A选项，，A选项错误.
B选项，，B选项错误.
C选项，，C选项错误.
D选项，，D选项正确.
2、答案：D
解析：设，则，
即当时，函数单调递减，由，
所以，
即，所以，解得，
则不等式的解集为.
3、答案：A
解析：当时，显然不符合题意；当时，由题意得，，
解得或，
故选A.
4、答案：B
解析：，，，.
5、答案：A
解析：直径两端点的坐标分别为，，可得直径长为，则半径长为，所以所求圆的方程是.
6、答案：A
解析：不妨设，则等价于，
即在上单调递增，也即在上恒成立.
由函数的定义域知，，所以在内恒成立，
由于二次函数在上是单调递减函数，
故，，.
7、答案：D
解析：，，
令，则方程两根为，，且，
所以，，，，
所以，
为的极大值点，即.
8、答案：B
解析：由题意，，，其中，且，
所以，令，，则时，解得，
所以时，；时，；则在上单调递减，在上单调递增，所以当时，.
9、答案：BC
解析：直线与曲线相切于点
将代入可得：，解得：.
，
由，解得：.可得，
根据在上 ，解得：
10、答案：CD
详解：在区间上有4个单调区间，所以C正确，在区间的导函数先正后负，所以存在极大值点.
11、答案：AC
解析：对于A，由得，
即，，该方程无解，函数无“巧值点”，故A符合题意；对于B，由得，解得，函数有“巧值点”-1，故B不符合题意；对于C，由得无解，函数无“巧值点”，故C符合题意；对于D，由得，易知函数与的图象在第一象限内有一个交点.
12、答案：AD
解析：不妨设点A在第一象限，如图，由题意可得：四边形为平行四边形，
由双曲线的定义可得：，则，
对A：四边形为矩形，则
，A正确；
对B：由选项A可得：，则，，
注意到双曲线E的焦点在x轴上，则E的渐近线方程为，B错误；
对C：矩形的面积为，C错误；
对D：由A选项知，，所以，D正确.

13、答案：
解析：因为，则，
所以曲线上的任意一点P处切线的斜率为，
记切线的倾斜角为，则，所以.
故答案为.
14、答案：3
解析：因为函数，所以，
令，得，因为，且，所以，
当时，，则单调递增，
当时，当时，；
当时，，所以不单调递增，
所以正整数n的最小值是3.
15、答案：1
解析：时，，，所以在单调递减，在上单调递增，所以时，的最小值为.
时，，，在上单调递减，此时的最小值为.
综上所述，的最小值为1.
16、答案：
解析：不妨令R为过P点垂直于准线的垂足，又，即QF为角平分线。
又，且，根据角平分线性质知：.如图所示.

方法一，令且，则直线PQ为，令，则，
由，
整理可得，则，
故.
方法二：连接FR，可知，设准线与x轴交于点M，在三角形FRM中，，则可求得R点的纵坐标为.
17、答案：(1)2
(2)
解析：（1）由题意知，，令，解得.
此时，在上单调递减，在上单调递增，在处取极小值.
所以.
（2）等价于在上恒成立，令，，
则，令，解得，在上单调递增，在单调递减，所以的最大值为.
所以a的取值范围为.
18、答案：(1)见解析
(2)
解析：证明：（1）由题意知，的定义域为，，令，解得：令，解得.所以在上单调递增，在上单调递減，所以的最大值为.所以.
（2）由（1）知，当且仅当时等号成立，所以
，，，…，，
所以.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1），
由，解得或；由解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
若函数与x轴有三个不同交点，则，解得，
所以若函数与x轴有三个不同交点，实数a的取值范围为；
（2）对于，，都有，则，
由（1）知函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，又，，
故当时，
因为，且，则，
故函数在上单调递减，故，
由题意可得，故.
所以实数a的取值范围为.
20、答案：（1）时，单调递增区间为，无单调递减区间；时，单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）.
解析：（1）函数定义域为，，
当时，在上恒成立，
当时，解得，解得.
故时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，，设切点为，
则切线斜率，切线方程为，
即，，，，
令，，
令，可得，令，得，
可得在上单调递减，在上单调递增，
，即的最小值为.
21、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）当时，令，.令，解得，
x

2



0


单调递减
-1
单调递增
所以、当此，取到最小值，且最小值为，即恒成立，
（2），，
(i)当时，，所以在上单调递增，故至多存在一个零点，不合题意.
(ii)当时，由可得，当时，，在上单调递减，当吋，在上单调递增；
故当时，取到最小值，且最小值为，
①若，，在上至多存在一个零点，不合题意，
②若，、由于，所以在上存在唯一零点.
，所以在上存在唯一零点，从而在上有两个零点.综上所述，a的取值范围为.
22、答案：（1），
（2）是定值，定值为
解析：（1）设椭圆E的焦距为，则，，
由题意可得，解得，故E的标准方程为.
（2）平行四边形OABC的面积为定值，理由如下：
①当直线l的斜率不存在时，设，，
若OABC为平行四边形，则点B为长轴顶点，不妨设，
可得，解得，
故平行四边形OABC的面积；
②当直线l的斜率存在时，设，，，
联立方程，消去y得，
则，，，
可得，
，，
若OABC为平行四边形，则，
即点在椭圆上，则，
整理可得，满足，
则，，
可得，
点O到直线的距离，
故平行四边形OABC的面积.
综上所述，平行四边形OABC的面积为定值.