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2022-2023学年安徽省宣城市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年安徽省宣城市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省宣城市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若代数式 8−2x有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≤−4 B. x≤4 C. x≥4 D. x≥−4
2. 下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 6 B. 25 C. 27 D. 1.3
3. 方程x2=2x的解是( )
A. x=2 B. x1=2，x2=0
C. x1=− 2，x2=0 D. x=0
4. 若关于x的方程x2−2x+k−1=0有实数根，则k的取值不可以是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程，则下列方程正确的是( )
A. 2500(1+x)2=9100
B. 2500(1+x％)2=9100
C. 2500(1+x)+2500(1+x)2=9100
D. 2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=9100
6. 下面几组数能作为直角三角形三边长的是( )
A. 2，4，5 B. 5，12，13 C. 12，18，22 D. 4，5，8
7. 已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为( )
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
8. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9. 某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，5，x，6，7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 5，4 B. 5，5 C. 4，4 D. 4，5
10. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD和CD上，AF⊥BE，垂足为G，若AEED=2，则AGGF的值为( )
A. 45
B. 56
C. 67
D. 78
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 在平行四边形ABCD中，若∠A：∠B=2：3，则∠C= ______ ．
12. 化简： 48− 12=______．
13. 若关于x的一元二次方程ax2+4x=x2+2有实数根，则a的取值范围为 ．
14. 新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路(两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直)，其余部分种花草．若要使种花草的面积达到800m2，则甬路宽为多少米？设甬路宽为x米，则根据题意，可列方程为______ ．
15. 若一菱形的两条对角线为3cm、4cm，则这个菱形的周长是______ cm．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=16，∠A=60°，P为AD的中点，F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A′PF，连接BA′，则△BA′F周长的最小值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 解方程：x2+4x−4=0．
四、解答题（本大题共6小题，共47.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
24÷ 3− 6×2 3．
19. (本小题8.0分)
在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．
20. (本小题8.0分)
某国产著名品牌衬衫标价为400元/件，去年中秋节和国庆节期间经过两次优惠降价为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种衬衫每次降价的百分率；
(2)若该种品牌衬衫的进价为300元/件，两次降价共售出此种品牌衬衫100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？
21. (本小题8.0分)
中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广，希望中学举行了“汉字听写”大赛，学校组委会随机抽取了其中的200名学生成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列统计图表(统计表遭到墨汁污染，统计图不完整)：
成绩x/分
频数
50≤x<60
10
60≤x<70
20
70≤x<80
30
90≤x<100
80
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)统计表中的墨汁污染的一行依次填：______ 、______ ；
(2)请将频数分布直方图补充完整；
(3)已知希望中学共有1500名学生参赛，如果规定成绩在90分以上(包括90分)的为“优秀”等次，那么该校参加这次比赛的学生中成绩为“优秀”等次的约有多少人？
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，延长EO交△ABC的外角平分线于点F．
(1)求证：EO=OF；
(2)连接BF，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论．
23. (本小题10.0分)
如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，过点F作FH⊥BE于点H，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．
(1)求证：△BAP≌△HPF；
(2)证明：∠GCF=∠FCE．
(3)判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵ 8−2x有意义，
∴8−2x≥0，
即x≤4，
故选：B．
根据二次根式的基本性质： a有意义，则a≥0．
本题主要考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式的基本性质： a有意义，则a≥0．
2.【答案】A
【解析】解：A、 6是最简二次根式，符合题意；
B、 25=2 55不是最简二次根式，不符合题意；
C、 27=3 3不是最简二次根式，不符合题意；
D、 1.3不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：x2=2x，
x2−2x=0，
x(x−2)=0，
∴x=0，x−2=0，
∴x1=0，x2=2，
故选：B．
把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为0，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意得，Δ=(−2)2−4(k−1)≥0，
解得k≤2，
∴k的取值不可以是3．
故选：D．
根据根的判别式的意义得到Δ=(−2)2−4(k−1)≥0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次方程应用中的增长率问题，从实际问题抽象出一元二次方程，准确掌握季度总营业额是解题的关键.根据题意分别表示出5月，6月的营业额进而得出方程即可．
【解答】
解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．
根据题意列方程得：
2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=9100．
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：A.22+42=20≠52=25，所以2，4，5不能作为直角三角形三边的长；
B.52+122=169=132，所以5，12，13可以作为直角三角形三边的长；
C.122+182=468≠222=484，所以12，18，22不能作为直角三角形三边的长；
D.42+52=41≠82=64，所以4，5，8不能作为直角三角形三边的长；
故选：B．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7.【答案】B
【解析】解：设直角三角形两直角边长为a，b，
∵该直角三角形的周长为24，其斜边长为10，
∴24−(a+b)=10，
即a+b=14，
由勾股定理得：a2+b2=102=100，
∵(a+b)2=142，
∴a2+b2+2ab=196，
即100+2ab=196，
∴ab=48，
∴直角三角形的面积=12ab=24，
故选：B．
设直角三角形两直角边长为a，b，由周长与斜边的关系得a+b=14，由完全平方公式和勾股定理求出ab的值，即可求出三角形的面积．
此题考查了勾股定理、完全平方公式以及三角形面积等知识；利用完全平方公式及勾股定理求出两直角边长的积是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
(n−2)×180°=2×360 ∘，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选：B．
多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°.设这个多边形是n边形，内角和是(n−2)⋅180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
9.【答案】A
【解析】解：∵这组数据的平均数是5，
∴4+4+5+5+x+6+77=5，
解得：x=4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5，6，7，
则众数为4，中位数为5．
故选：A．
根据众数、算术平均数、中位数的概念，结合题意进行求解．
本题考查了众数、算术平均数、中位数的知识：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
10.【答案】C
【解析】解：设AB=m，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA=m，∠BAE=∠D=90°，
∵AEED=2，
∴AE=23DA=23m，
∵AF⊥BE于点G，
∴∠AGE=90°，
∴∠ABE=∠DAF=90°−∠AEB，
∴△ABE≌△DAF(ASA)，
∴DF=AE=23m，
∴AF= AD2+DF2= m2+(23m)2= 133m，
∵∠AGE=∠D=90°，∠GAE=∠DAF，
∴△GAE∽△DAF，
∴AGAD=AEAF=23m 133m=2 1313，
∴AG=2 1313AD=2 1313m，
∴GF=AF−AG= 133m−2 1313m=7 1339m，
∴AGGF=2 1313m7 1339m=67，
故选：C．
设AB=m，由AEED=2，得AE=23DA=23m，可证明△ABE≌△DAF，得DF=AE=23m，则AF= AD2+DF2= 133m，再证明△GAE∽△DAF，得AGAD=AEAF=2 1313，所以AG=2 1313AD=2 1313m，GF=AF−AG=7 1339m，即可求得AGGF=67，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ABE≌△DAF及△GAE∽△DAF是解题的关键．
11.【答案】72°
【解析】解：依题意设∠A=2x，∠B=3x，
由平行四边形的性质，得∠A+∠B=180°，
∴2x+3x=180°，解得x=36°，
∴∠A=2x=72°，
又∵∠A=∠C，
∴∠C=72°．
故答案为72°．
根据已知比例设∠A=2x，∠B=3x，再由两直线平行，同旁内角线补，可求角的度数．
本题考查了平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
12.【答案】2 3
【解析】解：原式=4 3−2 3=2 3．
故答案为：2 3．
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减，是基础知识，比较简单．
13.【答案】a≥−1且a≠1
【解析】解：方程ax2+4x=x2+2整理得：(a−1)x2+4x−2=0，
根据题意得a−1≠0且Δ=42−4×(a−1)×(−2)≥0，
解得a≥−1且a≠1．
故答案为：a≥−1且a≠1．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a−1≠0且Δ=42−4×(a−1)×(−2)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
14.【答案】(40−2x)(26−x)=800
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的运用，弄清“花草的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
草坪可整理为一个矩形，根据草坪的面积得到相应的等量关系即可．
【解答】
解：草坪可整理为一个矩形，长为(40−2x)米，宽为(26−x)米，
即列的方程为(40−2x)(26−x)=800，
故答案为(40−2x)(26−x)=800．
15.【答案】10
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=12AC，BO=12BD，AC⊥DB，AB=BC=AD=DC，
∵AC=3cm，BD=4cm，
∴AO=32(cm)，BO=2(cm)，
∴AB= AO2+BO2= 94+4=52(cm)，
∴菱形ABCD的周长=4AB=10cm，
故答案为10．
由菱形的性质可得AC⊥DB，AB=BC=AD=DC，AO=32cm，BO=2cm，在Rt△ABO中，由勾股定理可求AB，即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相平分是解题的关键．
16.【答案】2 21+2
【解析】
【分析】
本题考查翻折变换，平行四边形的性质，两点之间线段最短等知识，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
作BH⊥AD于H，连接BP，则△BFA′的周长=FA′+BF+BA′=AF+BF+BA′=AB+BA′=10+BA′，推出当BA′的周长最小时，△BFA′的周长最小，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图，作BH⊥AD于H，连接BP．
∵AD=16，∠A=60°，P为AD的中点，
∴PA=8，AH=5，
∴PH=8−5=3，
∵BH=5 3，
∴PB= PH2+BH2= 32+(5 3)2=2 21，
由翻折可知：PA=PA′=8，FA=FA′，
∴△BFA′的周长=FA′+BF+BA′=AF+BF+BA′=AB+BA′=10+BA′，
∴当BA′的值最小时，△BFA′的周长最小，
∵BA′≥PB−PA′，
∴BA′≥2 21−8，
∴BA′的最小值为2 21−8，
∴△BFA′的周长的最小值为10+2 21−8=2 21+2．
17.【答案】解：方程移项得：x2+4x=4，
配方得：x2+4x+4=8，即(x+2)2=8，
开方得：x+2=±2 2，
解得：x1=−2+2 2，x2=−2−2 2．
【解析】方程变形后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18.【答案】解：原式=2 2−6 2
=−4 2．
【解析】先算除法和乘法，进一步化简合并即可．
此题二次根式的混合运算，注意先化简再求值．
19.【答案】解：李叔叔不超速，理由如下：
如图，
Rt△ABC中，AC=7，AB=25，
由勾股定理得：BC= 252−72=24，
v=24÷1.5=16m/s=57.6km/h，
∵57.6<60，
∴李叔叔不超速．
【解析】先根据勾股定理计算BC的长，可计算李叔叔行驶的速度，统一单位后与60km/h作比较可得结论．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是把速度的单位统一．
20.【答案】解：(1)设这种衬衫每次降价的百分率为x，
由题意得：400(1−x)2=324，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去)，
答：该种衬衫每次降价的百分率为10%；
(2)设第一次降价要销售出y件该种衬衫，
由题意得：[400×(1−10%)−300]y+[400×(1−10%)2−300](100−y)≥3120，
解得：y≥20，
啊：第一次降价至少要销售出20件该种衬衫．
【解析】(1)设这种衬衫每次降价的百分率为x，由题意：著名品牌衬衫标价为400元/件，去年中秋节和国庆节期间经过两次优惠降价为324元/件，并且两次降价的百分率相同．列出方程，解方程即可；
(2)设第一次降价要销售出y件该种衬衫，由题意：该种品牌衬衫的进价为300元/件，两次降价共售出此种品牌衬衫100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】80≤x<90 60
【解析】解：(1)由题意可得，
统计表中的墨汁污染的一行依次填：80≤x<90，200−10−20−30−80=60，
故答案为：80≤x<90、60；
(2)补充完整的频数分布直方图如图所示：
(3)1500×80200=600(人)，
答：该校参加这次比赛的学生中成绩为“优秀”等次的约有600人．
(1)根据频数分布表中的数据可以将遮挡部分补充完整；
(2)根据频数分布表中的数据可以将频数分布直方图补充完整；
(3)根据频数分布表中的数据可以计算出该校参加这次比赛的学生中成绩为“优秀”等次的约有多少人．
本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】(1)证明：∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线，
∴CE=BE，∠AEB=90°，
∵点O是AB的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO=12AC，EO//AC
∵AB=AC，
∴EO=12AB=AO=BO，
又∵EO//AC，
∴∠F=∠FAD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD=∠FAB，
∴∠FAB=∠F，
∴OF=AO，
∴OE=OF；
(2)解：四边形AEBF是矩形，理由如下：
如图，
∵AO=BO，EO=FO，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵∠AEB=90°，
∴四边形AEBF是矩形．
【解析】(1)由等腰三角形的性质可得CE=BE，∠AEB=90°，由三角形的中位线定理可得EO//AC，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证OE=OF；
(2)由矩形的判定可得结论．
本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠PHF=∠DCB=90°，AB=BC，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∵AP⊥PF，
∴∠APB+∠FPH=90°，
∴∠FPH=∠BAP，
在△BAP和△HPF中，
∠ABP=∠PHF∠BAP=∠FPHAP=PF，
∴△BAP≌△HPF(AAS)；
(2)证明：∵△BAP≌△HPF，
∴PH=AB，BP=FH，
∴PH=BC，
∴BP+PC=PC+CH，
∴CH=BP=FH，而∠FHC=90°．
∴∠FCH=CFH=45°，
∴∠DCF=90°−45°=45°，
∴∠GCF=∠FCE；
(3)解：PG=PB+DG．
证明：如图，延长PB至K，使BK=DG，连接AK，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABK=ADG=90°，
在△ABK和△ADG中，
AB=AD∠ABK=∠ADGBK=DG，
∴△ABK≌△ADG(SAS)，
∴AK=AG，∠KAB=∠GAD，
而∠APF=90°，AP=PF，
∴∠PAF=∠PFA=45°，
∴∠BAP+∠KAB=∠KAP=45°=∠PAF，
在△KAP和△GAP中，
AK=AG∠KAP=∠GAPAP=AP，
∴△KAP≌△GAP(SAS)，
∴KP=PG，
∴KB+BP=DG+BP=PG，
即PG=PB+DG．
【解析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得到PH=AB，BP=FH进一步得出BP+PC=PC+CH，CH=BP=FH，∠FHC=90°，求得∠DCF=90°−45°=45°得出结论；
(3)延长PB至K，使BK=DG，连接AK，证得△ABK≌△ADG和△KAP≌△GAP，找出边相等得出结论．
此题是四边形的综合题，考查了正方形的性质以及三角形全等的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的性质得出结论．
2022-2023学年安徽省宣城市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若代数式 8−2x有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≤−4 B. x≤4 C. x≥4 D. x≥−4
2. 下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 6 B. 25 C. 27 D. 1.3
3. 方程x2=2x的解是( )
A. x=2 B. x1=2，x2=0
C. x1=− 2，x2=0 D. x=0
4. 若关于x的方程x2−2x+k−1=0有实数根，则k的取值不可以是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程，则下列方程正确的是( )
A. 2500(1+x)2=9100
B. 2500(1+x％)2=9100
C. 2500(1+x)+2500(1+x)2=9100
D. 2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=9100
6. 下面几组数能作为直角三角形三边长的是( )
A. 2，4，5 B. 5，12，13 C. 12，18，22 D. 4，5，8
7. 已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为( )
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
8. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9. 某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，5，x，6，7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 5，4 B. 5，5 C. 4，4 D. 4，5
10. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD和CD上，AF⊥BE，垂足为G，若AEED=2，则AGGF的值为( )
A. 45
B. 56
C. 67
D. 78
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 在平行四边形ABCD中，若∠A：∠B=2：3，则∠C= ______ ．
12. 化简： 48− 12=______．
13. 若关于x的一元二次方程ax2+4x=x2+2有实数根，则a的取值范围为 ．
14. 新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路(两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直)，其余部分种花草．若要使种花草的面积达到800m2，则甬路宽为多少米？设甬路宽为x米，则根据题意，可列方程为______ ．
15. 若一菱形的两条对角线为3cm、4cm，则这个菱形的周长是______ cm．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=16，∠A=60°，P为AD的中点，F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A′PF，连接BA′，则△BA′F周长的最小值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 解方程：x2+4x−4=0．
四、解答题（本大题共6小题，共47.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
24÷ 3− 6×2 3．
19. (本小题8.0分)
在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．
20. (本小题8.0分)
某国产著名品牌衬衫标价为400元/件，去年中秋节和国庆节期间经过两次优惠降价为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种衬衫每次降价的百分率；
(2)若该种品牌衬衫的进价为300元/件，两次降价共售出此种品牌衬衫100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？
21. (本小题8.0分)
中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广，希望中学举行了“汉字听写”大赛，学校组委会随机抽取了其中的200名学生成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列统计图表(统计表遭到墨汁污染，统计图不完整)：
成绩x/分
频数
50≤x<60
10
60≤x<70
20
70≤x<80
30
90≤x<100
80
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)统计表中的墨汁污染的一行依次填：______ 、______ ；
(2)请将频数分布直方图补充完整；
(3)已知希望中学共有1500名学生参赛，如果规定成绩在90分以上(包括90分)的为“优秀”等次，那么该校参加这次比赛的学生中成绩为“优秀”等次的约有多少人？
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，延长EO交△ABC的外角平分线于点F．
(1)求证：EO=OF；
(2)连接BF，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论．
23. (本小题10.0分)
如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，过点F作FH⊥BE于点H，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．
(1)求证：△BAP≌△HPF；
(2)证明：∠GCF=∠FCE．
(3)判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵ 8−2x有意义，
∴8−2x≥0，
即x≤4，
故选：B．
根据二次根式的基本性质： a有意义，则a≥0．
本题主要考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式的基本性质： a有意义，则a≥0．
2.【答案】A
【解析】解：A、 6是最简二次根式，符合题意；
B、 25=2 55不是最简二次根式，不符合题意；
C、 27=3 3不是最简二次根式，不符合题意；
D、 1.3不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：x2=2x，
x2−2x=0，
x(x−2)=0，
∴x=0，x−2=0，
∴x1=0，x2=2，
故选：B．
把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为0，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意得，Δ=(−2)2−4(k−1)≥0，
解得k≤2，
∴k的取值不可以是3．
故选：D．
根据根的判别式的意义得到Δ=(−2)2−4(k−1)≥0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次方程应用中的增长率问题，从实际问题抽象出一元二次方程，准确掌握季度总营业额是解题的关键.根据题意分别表示出5月，6月的营业额进而得出方程即可．
【解答】
解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．
根据题意列方程得：
2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=9100．
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：A.22+42=20≠52=25，所以2，4，5不能作为直角三角形三边的长；
B.52+122=169=132，所以5，12，13可以作为直角三角形三边的长；
C.122+182=468≠222=484，所以12，18，22不能作为直角三角形三边的长；
D.42+52=41≠82=64，所以4，5，8不能作为直角三角形三边的长；
故选：B．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7.【答案】B
【解析】解：设直角三角形两直角边长为a，b，
∵该直角三角形的周长为24，其斜边长为10，
∴24−(a+b)=10，
即a+b=14，
由勾股定理得：a2+b2=102=100，
∵(a+b)2=142，
∴a2+b2+2ab=196，
即100+2ab=196，
∴ab=48，
∴直角三角形的面积=12ab=24，
故选：B．
设直角三角形两直角边长为a，b，由周长与斜边的关系得a+b=14，由完全平方公式和勾股定理求出ab的值，即可求出三角形的面积．
此题考查了勾股定理、完全平方公式以及三角形面积等知识；利用完全平方公式及勾股定理求出两直角边长的积是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
(n−2)×180°=2×360 ∘，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选：B．
多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°.设这个多边形是n边形，内角和是(n−2)⋅180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
9.【答案】A
【解析】解：∵这组数据的平均数是5，
∴4+4+5+5+x+6+77=5，
解得：x=4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5，6，7，
则众数为4，中位数为5．
故选：A．
根据众数、算术平均数、中位数的概念，结合题意进行求解．
本题考查了众数、算术平均数、中位数的知识：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
10.【答案】C
【解析】解：设AB=m，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA=m，∠BAE=∠D=90°，
∵AEED=2，
∴AE=23DA=23m，
∵AF⊥BE于点G，
∴∠AGE=90°，
∴∠ABE=∠DAF=90°−∠AEB，
∴△ABE≌△DAF(ASA)，
∴DF=AE=23m，
∴AF= AD2+DF2= m2+(23m)2= 133m，
∵∠AGE=∠D=90°，∠GAE=∠DAF，
∴△GAE∽△DAF，
∴AGAD=AEAF=23m 133m=2 1313，
∴AG=2 1313AD=2 1313m，
∴GF=AF−AG= 133m−2 1313m=7 1339m，
∴AGGF=2 1313m7 1339m=67，
故选：C．
设AB=m，由AEED=2，得AE=23DA=23m，可证明△ABE≌△DAF，得DF=AE=23m，则AF= AD2+DF2= 133m，再证明△GAE∽△DAF，得AGAD=AEAF=2 1313，所以AG=2 1313AD=2 1313m，GF=AF−AG=7 1339m，即可求得AGGF=67，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ABE≌△DAF及△GAE∽△DAF是解题的关键．
11.【答案】72°
【解析】解：依题意设∠A=2x，∠B=3x，
由平行四边形的性质，得∠A+∠B=180°，
∴2x+3x=180°，解得x=36°，
∴∠A=2x=72°，
又∵∠A=∠C，
∴∠C=72°．
故答案为72°．
根据已知比例设∠A=2x，∠B=3x，再由两直线平行，同旁内角线补，可求角的度数．
本题考查了平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
12.【答案】2 3
【解析】解：原式=4 3−2 3=2 3．
故答案为：2 3．
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减，是基础知识，比较简单．
13.【答案】a≥−1且a≠1
【解析】解：方程ax2+4x=x2+2整理得：(a−1)x2+4x−2=0，
根据题意得a−1≠0且Δ=42−4×(a−1)×(−2)≥0，
解得a≥−1且a≠1．
故答案为：a≥−1且a≠1．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a−1≠0且Δ=42−4×(a−1)×(−2)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
14.【答案】(40−2x)(26−x)=800
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的运用，弄清“花草的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
草坪可整理为一个矩形，根据草坪的面积得到相应的等量关系即可．
【解答】
解：草坪可整理为一个矩形，长为(40−2x)米，宽为(26−x)米，
即列的方程为(40−2x)(26−x)=800，
故答案为(40−2x)(26−x)=800．
15.【答案】10
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=12AC，BO=12BD，AC⊥DB，AB=BC=AD=DC，
∵AC=3cm，BD=4cm，
∴AO=32(cm)，BO=2(cm)，
∴AB= AO2+BO2= 94+4=52(cm)，
∴菱形ABCD的周长=4AB=10cm，
故答案为10．
由菱形的性质可得AC⊥DB，AB=BC=AD=DC，AO=32cm，BO=2cm，在Rt△ABO中，由勾股定理可求AB，即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相平分是解题的关键．
16.【答案】2 21+2
【解析】
【分析】
本题考查翻折变换，平行四边形的性质，两点之间线段最短等知识，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
作BH⊥AD于H，连接BP，则△BFA′的周长=FA′+BF+BA′=AF+BF+BA′=AB+BA′=10+BA′，推出当BA′的周长最小时，△BFA′的周长最小，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图，作BH⊥AD于H，连接BP．
∵AD=16，∠A=60°，P为AD的中点，
∴PA=8，AH=5，
∴PH=8−5=3，
∵BH=5 3，
∴PB= PH2+BH2= 32+(5 3)2=2 21，
由翻折可知：PA=PA′=8，FA=FA′，
∴△BFA′的周长=FA′+BF+BA′=AF+BF+BA′=AB+BA′=10+BA′，
∴当BA′的值最小时，△BFA′的周长最小，
∵BA′≥PB−PA′，
∴BA′≥2 21−8，
∴BA′的最小值为2 21−8，
∴△BFA′的周长的最小值为10+2 21−8=2 21+2．
17.【答案】解：方程移项得：x2+4x=4，
配方得：x2+4x+4=8，即(x+2)2=8，
开方得：x+2=±2 2，
解得：x1=−2+2 2，x2=−2−2 2．
【解析】方程变形后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18.【答案】解：原式=2 2−6 2
=−4 2．
【解析】先算除法和乘法，进一步化简合并即可．
此题二次根式的混合运算，注意先化简再求值．
19.【答案】解：李叔叔不超速，理由如下：
如图，
Rt△ABC中，AC=7，AB=25，
由勾股定理得：BC= 252−72=24，
v=24÷1.5=16m/s=57.6km/h，
∵57.6<60，
∴李叔叔不超速．
【解析】先根据勾股定理计算BC的长，可计算李叔叔行驶的速度，统一单位后与60km/h作比较可得结论．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是把速度的单位统一．
20.【答案】解：(1)设这种衬衫每次降价的百分率为x，
由题意得：400(1−x)2=324，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去)，
答：该种衬衫每次降价的百分率为10%；
(2)设第一次降价要销售出y件该种衬衫，
由题意得：[400×(1−10%)−300]y+[400×(1−10%)2−300](100−y)≥3120，
解得：y≥20，
啊：第一次降价至少要销售出20件该种衬衫．
【解析】(1)设这种衬衫每次降价的百分率为x，由题意：著名品牌衬衫标价为400元/件，去年中秋节和国庆节期间经过两次优惠降价为324元/件，并且两次降价的百分率相同．列出方程，解方程即可；
(2)设第一次降价要销售出y件该种衬衫，由题意：该种品牌衬衫的进价为300元/件，两次降价共售出此种品牌衬衫100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】80≤x<90 60
【解析】解：(1)由题意可得，
统计表中的墨汁污染的一行依次填：80≤x<90，200−10−20−30−80=60，
故答案为：80≤x<90、60；
(2)补充完整的频数分布直方图如图所示：
(3)1500×80200=600(人)，
答：该校参加这次比赛的学生中成绩为“优秀”等次的约有600人．
(1)根据频数分布表中的数据可以将遮挡部分补充完整；
(2)根据频数分布表中的数据可以将频数分布直方图补充完整；
(3)根据频数分布表中的数据可以计算出该校参加这次比赛的学生中成绩为“优秀”等次的约有多少人．
本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】(1)证明：∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线，
∴CE=BE，∠AEB=90°，
∵点O是AB的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO=12AC，EO//AC
∵AB=AC，
∴EO=12AB=AO=BO，
又∵EO//AC，
∴∠F=∠FAD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD=∠FAB，
∴∠FAB=∠F，
∴OF=AO，
∴OE=OF；
(2)解：四边形AEBF是矩形，理由如下：
如图，
∵AO=BO，EO=FO，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵∠AEB=90°，
∴四边形AEBF是矩形．
【解析】(1)由等腰三角形的性质可得CE=BE，∠AEB=90°，由三角形的中位线定理可得EO//AC，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证OE=OF；
(2)由矩形的判定可得结论．
本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠PHF=∠DCB=90°，AB=BC，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∵AP⊥PF，
∴∠APB+∠FPH=90°，
∴∠FPH=∠BAP，
在△BAP和△HPF中，
∠ABP=∠PHF∠BAP=∠FPHAP=PF，
∴△BAP≌△HPF(AAS)；
(2)证明：∵△BAP≌△HPF，
∴PH=AB，BP=FH，
∴PH=BC，
∴BP+PC=PC+CH，
∴CH=BP=FH，而∠FHC=90°．
∴∠FCH=CFH=45°，
∴∠DCF=90°−45°=45°，
∴∠GCF=∠FCE；
(3)解：PG=PB+DG．
证明：如图，延长PB至K，使BK=DG，连接AK，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABK=ADG=90°，
在△ABK和△ADG中，
AB=AD∠ABK=∠ADGBK=DG，
∴△ABK≌△ADG(SAS)，
∴AK=AG，∠KAB=∠GAD，
而∠APF=90°，AP=PF，
∴∠PAF=∠PFA=45°，
∴∠BAP+∠KAB=∠KAP=45°=∠PAF，
在△KAP和△GAP中，
AK=AG∠KAP=∠GAPAP=AP，
∴△KAP≌△GAP(SAS)，
∴KP=PG，
∴KB+BP=DG+BP=PG，
即PG=PB+DG．
【解析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得到PH=AB，BP=FH进一步得出BP+PC=PC+CH，CH=BP=FH，∠FHC=90°，求得∠DCF=90°−45°=45°得出结论；
(3)延长PB至K，使BK=DG，连接AK，证得△ABK≌△ADG和△KAP≌△GAP，找出边相等得出结论．
此题是四边形的综合题，考查了正方形的性质以及三角形全等的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的性质得出结论．
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