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2022-2023学年河北省唐山十二中九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河北省唐山十二中九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省唐山十二中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共22小题，共66.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 若反比例函数y=kx的图象经过点(2,-1)，则该反比例函数的图象在( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
3. 设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP=m，且m使得关于x的方程2x2−2 2x+m−1=0有实数根，则直线l与⊙O的位置关系为( )
A. 相离或相切 B. 相切或相交 C. 相离或相交 D. 无法确定
4. 已知反比例函数y=kx的图象经过点A(2,2)、B(x,y)，当−3
A. 23 B. 14 C. 15 D. 110
6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A. 35°
B. 70°
C. 110°
D. 140°
7. 如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的取值范围是( )
A. 3≤OM≤5
B. 4≤OM≤5
C. 3
B. −11
D. x<−1或0
A. 42° B. 28° C. 21° D. 20°
10. 如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，动点P从点A出发，以lcm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x(S)时，△APQ的面积是y(cm2)，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
11. 已知点A(4,y1)、B( 2,y2)、C(−2,y3)都在二次函数y=(x−2)2−1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系( )
A. y1>y3>y2 B. y1>y2>y3 C. y3>y2>y1 D. y3>y1>y2
12. 函数y=ax2+1与y=ax(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
13. 如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为( )
A. 12π
B. π
C. 2π
D. 4π
14. 如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=k2+2k+1x的图象上．若点A的坐标为(−2,−2)，则k的值为( )
A. 1
B. −1或3
C. 4
D. 1或−3
15. 已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是( )
A. 24cm B. 48cm C. 96cm D. 192cm
16. 如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB= 3，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为( )
A. (2512+ 32)π B. (43+ 32)π C. 2π D. 3π
17. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应( )
A. 不大于2435m3 B. 不小于2435m3 C. 不大于2437m3 D. 不小于2437m3
18. 如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1,n)，且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间．则下列结论：
①a−b+c>0；
②3a+b=0；
③b2=4a(c−n)；
④一元二次方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
19. 在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a,a).如图，若曲线y=3x(x>0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是( )
A. 3≤a≤ 3+1
B. 3−1≤a≤ 3
C. 3−1≤a≤ 3+1
D. 1≤a≤ 3+1
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD⋅DB=24，则AB的长( )
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
21. 如图，△ABC中，DE//BC，DE分别交AB、AC于点D、E，S△ADE=2S△DCE，求S△ADE：S△ABC=( )
A. 1：2
B. 2：3
C. 3：4
D. 4：9
22. 如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，AD=AC，DE垂直BC交AB于E，EC与AD交于F，若S△FCD=5，BC=12，求DE的长( )
A. 5 B. 209 C. 83 D. 43
二、解答题（本大题共3小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23. (本小题8.0分)
用适当的方法解下列方程：
(1)(x−2)2=1；
(2)3x2+2x=2．
24. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若△ABC的边长为2，求EF的长度．
25. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2mx+9−m2与x交于A，B两点(点A在点B的左侧)，顶点为C．
(1)当m=1时，求C点坐标和AB的长．
(2)反比例函数y=kx(x<0)的图象记作G．
①若点C落在y轴上，抛物线y=−x2+2mx+9−m2与图象G的交点D在第三象限，若D点的横坐标为a，且−6
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查真命题的概念以及圆心角，弧，弦等概念．
等弧必须同圆中长度相等的弧；不在同一直线上任意三点确定一个圆；在等圆中相等的圆心角所对的弦相等；外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形．
【解答】
解：①等弧必须同圆中长度相等的弧，故①错误；
②不在同一直线上任意三点确定一个圆，故②错误；
③在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故③错误；
④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故④正确．
所以只有④一项正确．
故选B．
2.【答案】D
【解析】解：点(2,−1)在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．
故选D．
根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，根据(2,−1)所在象限即可作出判断．
本题考查了反比例函数的性质和图象．
3.【答案】B
【解析】解：因为关于x的方程2x2−2 2x+m−1=0有实数根，
所以△=b2−4ac≥0，
即(−2 2)2−4×2×(m−1)≥0，
解这个不等式得m≤2，
又因为⊙O的半径为2，
所以直线与圆相切或相交．
故选：B．
欲求圆与AB的位置关系，关键是求出点C到AB的距离d，再与半径r=2进行比较，即可求解．
若dr，则直线与圆相离．
本题考查的是直线与圆的位置关系以及一元二次方程根的判别式．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判断．
4.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数关系式为y=kx(k≠0)图象经过点A(2,2)，
∴k=2×2=4，
∴y=4x，
当x=−3时，y=−43，
当x=−1时，y=−4，
∴当−3
利用待定系数法可得反比例函数关系式y=4x，根据反比例函数的性质可得在图象的每一支上，y随自变量x的增大而减小，然后求出当x=−3、x=−1时所对应的y的值．进而可得答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，以及待定系数法求反比例函数解析式，对于反比例函数y=kx.当k>0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
5.【答案】D
【解析】解：
20个球中只有2个红球，所以任意摸出一个乒乓球是红色的概率是220=110，
一次过关的概率为110．
故选D．
将红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°．
故选：D．
由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=140°．
圆内接四边形的性质：
1、圆内接四边形的对角互补；
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】A
【解析】解：由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，即OM= 25−16= 9=3；
当OM是半径时最长，OM=5．
所以OM长的取值范围是3≤OM≤5．
故选：A．
由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
此题难点在明确什么时候最短．
8.【答案】C
【解析】解：∵把A(1,2)代入y1=k1x得：k1=2，
把A(1,2)代入y2=k2x得：k2=2，
∴y1=2x，y2=2x，
解方程组y=2xy=2x得：x1=1y1=2，x2=−1y2=−2，
即B的坐标是(−1,−2)，
∴当y11，
故选：C．
把A的坐标代入函数的解析式求出函数的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，得出B的坐标，根据A、B的坐标，结合图象即可得出答案．
本题考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，反比例函数和一次函数的交点问题等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念( 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质．利用半径相等得到DO=DE，则∠E=∠DOE，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E，所以∠1=2∠E，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E，然后利用∠E=13∠AOC进行计算即可．
【解答】
解：连结OD，如图，
∵OB=DE，OB=OD，
∴DO=DE，
∴∠E=∠DOE，
∵∠1=∠DOE+∠E，
∴∠1=2∠E，
而OC=OD，
∴∠C=∠1，
∴∠C=2∠E，
∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，
∴∠E=13∠AOC=13×84°=28°．
故选B．
10.【答案】A
【解析】解：当点Q在AD上运动时，0≤x≤1，
y=12AP⋅AQ=12x⋅2x=x2；
当点Q在CD上运动时，1
当点Q在CB上运动时，3
故选：A．
分Q在AD上运动、Q在CD上运动和Q在CB上运动三种情况分别列出函数解析式，据此可得．
本题主要考查动点问题的函数图象，根据题意分类讨论是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：∵y=(x−2)2−1，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x=2，
A(4,y1)关于直线x=2的对称点是(0,y1)，
∵−2<0< 2，
∴y3>y1>y2，
故选：D．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=2，根据x<2时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：a>0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为(0,1)，
y=ax位于第一、三象限，没有选项图象符合，
a<0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为(0,1)，
y=ax位于第二、四象限，B选项图象符合．
故选：B．
分a>0和a<0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．
本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键．
13.【答案】C
【解析】通过分析图可知：△OCA经过旋转90°后能够和△ODB重合(证全等也可)，因此图中阴影部分的面积=扇形AOB的面积−扇形COD的面积，所以S阴=14π×(9−1)=2π.本题考查扇形面积的计算，图中阴影部分的面积可以看作是扇形AOB与扇形COD的面积差，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．
解：由图可知，将△OAC顺时针旋转90°后可与△ODB重合，
∴S△OAC=S△OBD.
因此S阴影=S扇形OAB+S△OBD−S△OAC−S扇形OCD=S扇形OAB−S扇形OCD=14π×(9−1)=2π．
故选C．
14.【答案】D
【解析】解：如图：
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，
∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，
∴S△CBD−S△BEO−S△OFD=S△ADB−S△BHO−S△OGD，
∴S四边形HAGO=S四边形CEOF=2×2=4，
∴xy=k2+2k+1=4，
解得k=1或k=−3．
故选：D．
根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+2k+1=4，再解出k的值即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解答此题的关键．
15.【答案】B
【解析】解：设这个扇形铁皮的半径为rcm，由题意得300πr180=π×80，
解得r=48．
故这个扇形铁皮的半径为48cm，
故选B．
利用底面周长=展开图的弧长可得．
本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是确定圆锥的底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
16.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，AB= 3，BC=1，
则∠BAC=30°，∠ACB=60°，AC=2；
由分析知：点A经过的路程是由两段弧长所构成的：
①A～A1段的弧长：L1=120×π×2180=4π3，
②A1～A2段的弧长：L2=90×π× 3180= 3π2，
∴点A所经过的路线为(43+ 32)π，故选B．
A点所经过的弧长有两段，①以C为圆心，CA长为半径，∠ACA1为圆心角的弧长；②以B1为圆心，AB长为半径，∠A1B1A2为圆心角的弧长．分别求出两端弧长，然后相加即可得到所求的结论．
本题考查的是弧长的计算，难点在于与动点知识相结合，但是只要将运动的过程分解清楚，就能顺利的作答．
17.【答案】B
【解析】解：设球内气体的气压P(kPa)和气体体积V(m3)的关系式为P=kV，
∵图象过(1.5,64)，
∴P=64×1.5V=96V，
∴当P≤140kPa时，V≥2435m3．
故选：B．
根据题意有：当温度不变时，气球内的气体的气压P是气体体积V的反比例函数，其图象过点(1.5,64)，故可求其解析式；故当气球内的气压不大于140kPa时，气体体积应不小于2435m3．
本题考查反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系．然后再根据题意确定变量的取值范围．
18.【答案】C
【解析】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(−2,0)和(−1,0)之间．
∴当x=−1时，y>0，
即a−b+c>0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，
∴3a+b=3a−2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，
∴4ac−b24a=n，
∴b2=4ac−4an=4a(c−n)，所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n−1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(−2,0)和(−1,0)之间，则当x=−1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到4ac−b24a=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n−1有2个公共点，于是可对④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)：抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
19.【答案】A
【解析】解：∵A点的坐标为(a,a)，
∴C(a−1,a−1)，
当C在双曲线y=3x时，则a−1=3a−1，
解得a= 3+1；
当A在双曲线y=3x时，则a=3a，
解得a= 3，
∴a的取值范围是： 3≤a≤ 3+1，
故选：A．
根据题意得出C(a−1,a−1)，然后分别把A、C的坐标代入求得a的值，即可求得a的取值范围．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
20.【答案】B
【解析】解：如图连接OE、OF.则由题意可知四边形ECFO是正方形，边长为2．
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴可以假设AD=AF=a，BD=BE=b，
则AC=a+2，BC=b+2，AB=a+b，
∵AC2+BC2=AB2，
∴(a+2)2+(b+2)2=(a+b)2，
∴4a+4b+8=2ab，
∴4(a+b)=48−8，
∴a+b=10，
∴AB=10．
故选：B．
连接OE、OF.则由题意可知四边形ECFO是正方形，边长为2.设AD=AF=a，BD=BE=b，则AC=a+2，BC=b+2，AB=a+b，由AC2+BC2=AB2，由此即可解决问题．
本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】D
【解析】解：过点D作DF⊥AC于F，
∵S△ADE=2S△DCE，△ADE中AE边上的高与△DCE中CE边上的高相同，
∴△ADE与△DCE中，AECE=2，
∴AEAC=23，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比等于AEAC=23，
则S△ADE：S△ABC=4：9，
故选：D．
根据S△ADE=2S△DCE，可求出AECE，从而求出AEAC，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
22.【答案】B
【解析】解：∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，
∴△BDE≌△EDC(SAS)，
∴∠B=∠DCE，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD，
过点A作AM⊥BC，垂足是M，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴S△ABCS△FCD=4，
∵S△FCD=5，
∴S△ABC=20，
又BC=12，
∴AM=103，
∵DE//AM，
∴DEAM=BDBM，
∵DM=12CD=3，BM=BD+DM=6+3=9，BD=12BC=6，
∴DE103=69，
∴DE=209，
故选：B．
利用D是BC边上的中点，DE⊥BC，可以得到∠EDB=∠EDC=90°，而由AD=AC，可以得到∠ADC=∠ACB，证明△ABC∽△FCD，利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，也利用了三角形的面积公式求线段的长，添加辅助线，构造相似三角形是关键．
23.【答案】解：(1)∵(x−2)2=1，
∴x−2=1或x−2=−1，
解得x1=3，x2=1；
(2)∵3x2+2x=2，
∴3x2+2x−2=0，
∴a=3，b=2，c=−2，
∴Δ=b2−4ac=22−4×3×(−2)=28>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=−2±2 76=−1± 73，
解得x1=−1+ 73,x2=−1− 73．
【解析】(1)利用直接开平方法解方程即可；
(2)利用公式法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图所示，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B=60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∴∠EDC=30°．
∴∠ODE=90°．
∴DE⊥OD于点D．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：如图所示，连接AD，BF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AFB=∠ADB=90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴DC=12BC=1，FC=12AC=1．
∵∠EDC=30°，
∴EC=12DC=12．
∴EF=FC−EC=12．
【解析】(1)连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定定理证明即可；
(2)连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．
本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质、含30°的直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)当m=1时，抛物线为y=−x2+2x+8=−(x−1)2+9，
所以抛物线顶点C的坐标为(1,9)，
当y=0时，−x2+2x+8=0，解得：x1=−2，x2=4，
所以A(−2,0)，B(4,0)，
所以AB=6；
(2)∵点C落在y轴上，
∴m=0，
∴y=−x2+9，
联立方程组y=kxy=−x2+9，
∴kx=−x2+9，
∵D点的横坐标为a，
∴ka=−a2+9，
∵−6
当a=−4时，k=28，
∴28
∴−12(n−7)=−6(4−n)，解得n=6，
∴P(−1,−12)，Q(−6,−2)，
∵y=−x2+2mx+9−m2=−(x−m)2+9，
∴C(m,9)，
当抛物线经过P(−1,−12)时，−12=−(−1−m)2+9，解得m=−1± 21，
当抛物线经过Q(−6,−2)时，−2=−(−6−m)2+9，解得m=−6± 11，
如图1，当−6+ 11≤m≤−1+ 21时，抛物线与线段PQ有唯一的公共点；
如图2，当−6− 11≤m≤−1− 21时，抛物线与线段PQ有唯一的公共点；
综上所述：当−6+ 11≤m≤−1+ 21或−6− 11≤m≤−1− 21时，抛物线与线段PQ有唯一的公共点．
【解析】(1)当m=1时，把抛物线化为顶点式即可求出点C的坐标，再求出抛物线与x轴的交点即可求出AB的长；
(2)①求出m=0，由题意可得ka=−a2+9，再由a的范围求k的范围即可；
②由题意可求出P(−1,−12)，Q(−6,−2)，再结合图象求解即可．
本题考查二次函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，数形结合讨论是解题的关键．
2022-2023学年河北省唐山十二中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共22小题，共66.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 若反比例函数y=kx的图象经过点(2,-1)，则该反比例函数的图象在( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
3. 设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP=m，且m使得关于x的方程2x2−2 2x+m−1=0有实数根，则直线l与⊙O的位置关系为( )
A. 相离或相切 B. 相切或相交 C. 相离或相交 D. 无法确定
4. 已知反比例函数y=kx的图象经过点A(2,2)、B(x,y)，当−3
A. 23 B. 14 C. 15 D. 110
6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A. 35°
B. 70°
C. 110°
D. 140°
7. 如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的取值范围是( )
A. 3≤OM≤5
B. 4≤OM≤5
C. 3
B. −1
D. x<−1或0
A. 42° B. 28° C. 21° D. 20°
10. 如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，动点P从点A出发，以lcm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x(S)时，△APQ的面积是y(cm2)，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
11. 已知点A(4,y1)、B( 2,y2)、C(−2,y3)都在二次函数y=(x−2)2−1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系( )
A. y1>y3>y2 B. y1>y2>y3 C. y3>y2>y1 D. y3>y1>y2
12. 函数y=ax2+1与y=ax(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
13. 如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为( )
A. 12π
B. π
C. 2π
D. 4π
14. 如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=k2+2k+1x的图象上．若点A的坐标为(−2,−2)，则k的值为( )
A. 1
B. −1或3
C. 4
D. 1或−3
15. 已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是( )
A. 24cm B. 48cm C. 96cm D. 192cm
16. 如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB= 3，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为( )
A. (2512+ 32)π B. (43+ 32)π C. 2π D. 3π
17. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应( )
A. 不大于2435m3 B. 不小于2435m3 C. 不大于2437m3 D. 不小于2437m3
18. 如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1,n)，且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间．则下列结论：
①a−b+c>0；
②3a+b=0；
③b2=4a(c−n)；
④一元二次方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
19. 在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a,a).如图，若曲线y=3x(x>0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是( )
A. 3≤a≤ 3+1
B. 3−1≤a≤ 3
C. 3−1≤a≤ 3+1
D. 1≤a≤ 3+1
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD⋅DB=24，则AB的长( )
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
21. 如图，△ABC中，DE//BC，DE分别交AB、AC于点D、E，S△ADE=2S△DCE，求S△ADE：S△ABC=( )
A. 1：2
B. 2：3
C. 3：4
D. 4：9
22. 如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，AD=AC，DE垂直BC交AB于E，EC与AD交于F，若S△FCD=5，BC=12，求DE的长( )
A. 5 B. 209 C. 83 D. 43
二、解答题（本大题共3小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23. (本小题8.0分)
用适当的方法解下列方程：
(1)(x−2)2=1；
(2)3x2+2x=2．
24. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若△ABC的边长为2，求EF的长度．
25. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2mx+9−m2与x交于A，B两点(点A在点B的左侧)，顶点为C．
(1)当m=1时，求C点坐标和AB的长．
(2)反比例函数y=kx(x<0)的图象记作G．
①若点C落在y轴上，抛物线y=−x2+2mx+9−m2与图象G的交点D在第三象限，若D点的横坐标为a，且−6
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查真命题的概念以及圆心角，弧，弦等概念．
等弧必须同圆中长度相等的弧；不在同一直线上任意三点确定一个圆；在等圆中相等的圆心角所对的弦相等；外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形．
【解答】
解：①等弧必须同圆中长度相等的弧，故①错误；
②不在同一直线上任意三点确定一个圆，故②错误；
③在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故③错误；
④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故④正确．
所以只有④一项正确．
故选B．
2.【答案】D
【解析】解：点(2,−1)在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．
故选D．
根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，根据(2,−1)所在象限即可作出判断．
本题考查了反比例函数的性质和图象．
3.【答案】B
【解析】解：因为关于x的方程2x2−2 2x+m−1=0有实数根，
所以△=b2−4ac≥0，
即(−2 2)2−4×2×(m−1)≥0，
解这个不等式得m≤2，
又因为⊙O的半径为2，
所以直线与圆相切或相交．
故选：B．
欲求圆与AB的位置关系，关键是求出点C到AB的距离d，再与半径r=2进行比较，即可求解．
若d
本题考查的是直线与圆的位置关系以及一元二次方程根的判别式．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判断．
4.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数关系式为y=kx(k≠0)图象经过点A(2,2)，
∴k=2×2=4，
∴y=4x，
当x=−3时，y=−43，
当x=−1时，y=−4，
∴当−3
利用待定系数法可得反比例函数关系式y=4x，根据反比例函数的性质可得在图象的每一支上，y随自变量x的增大而减小，然后求出当x=−3、x=−1时所对应的y的值．进而可得答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，以及待定系数法求反比例函数解析式，对于反比例函数y=kx.当k>0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
5.【答案】D
【解析】解：
20个球中只有2个红球，所以任意摸出一个乒乓球是红色的概率是220=110，
一次过关的概率为110．
故选D．
将红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°．
故选：D．
由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=140°．
圆内接四边形的性质：
1、圆内接四边形的对角互补；
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】A
【解析】解：由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，即OM= 25−16= 9=3；
当OM是半径时最长，OM=5．
所以OM长的取值范围是3≤OM≤5．
故选：A．
由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
此题难点在明确什么时候最短．
8.【答案】C
【解析】解：∵把A(1,2)代入y1=k1x得：k1=2，
把A(1,2)代入y2=k2x得：k2=2，
∴y1=2x，y2=2x，
解方程组y=2xy=2x得：x1=1y1=2，x2=−1y2=−2，
即B的坐标是(−1,−2)，
∴当y1
故选：C．
把A的坐标代入函数的解析式求出函数的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，得出B的坐标，根据A、B的坐标，结合图象即可得出答案．
本题考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，反比例函数和一次函数的交点问题等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念( 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质．利用半径相等得到DO=DE，则∠E=∠DOE，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E，所以∠1=2∠E，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E，然后利用∠E=13∠AOC进行计算即可．
【解答】
解：连结OD，如图，
∵OB=DE，OB=OD，
∴DO=DE，
∴∠E=∠DOE，
∵∠1=∠DOE+∠E，
∴∠1=2∠E，
而OC=OD，
∴∠C=∠1，
∴∠C=2∠E，
∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，
∴∠E=13∠AOC=13×84°=28°．
故选B．
10.【答案】A
【解析】解：当点Q在AD上运动时，0≤x≤1，
y=12AP⋅AQ=12x⋅2x=x2；
当点Q在CD上运动时，1
当点Q在CB上运动时，3
故选：A．
分Q在AD上运动、Q在CD上运动和Q在CB上运动三种情况分别列出函数解析式，据此可得．
本题主要考查动点问题的函数图象，根据题意分类讨论是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：∵y=(x−2)2−1，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x=2，
A(4,y1)关于直线x=2的对称点是(0,y1)，
∵−2<0< 2，
∴y3>y1>y2，
故选：D．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=2，根据x<2时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：a>0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为(0,1)，
y=ax位于第一、三象限，没有选项图象符合，
a<0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为(0,1)，
y=ax位于第二、四象限，B选项图象符合．
故选：B．
分a>0和a<0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．
本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键．
13.【答案】C
【解析】通过分析图可知：△OCA经过旋转90°后能够和△ODB重合(证全等也可)，因此图中阴影部分的面积=扇形AOB的面积−扇形COD的面积，所以S阴=14π×(9−1)=2π.本题考查扇形面积的计算，图中阴影部分的面积可以看作是扇形AOB与扇形COD的面积差，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．
解：由图可知，将△OAC顺时针旋转90°后可与△ODB重合，
∴S△OAC=S△OBD.
因此S阴影=S扇形OAB+S△OBD−S△OAC−S扇形OCD=S扇形OAB−S扇形OCD=14π×(9−1)=2π．
故选C．
14.【答案】D
【解析】解：如图：
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，
∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，
∴S△CBD−S△BEO−S△OFD=S△ADB−S△BHO−S△OGD，
∴S四边形HAGO=S四边形CEOF=2×2=4，
∴xy=k2+2k+1=4，
解得k=1或k=−3．
故选：D．
根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+2k+1=4，再解出k的值即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解答此题的关键．
15.【答案】B
【解析】解：设这个扇形铁皮的半径为rcm，由题意得300πr180=π×80，
解得r=48．
故这个扇形铁皮的半径为48cm，
故选B．
利用底面周长=展开图的弧长可得．
本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是确定圆锥的底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
16.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，AB= 3，BC=1，
则∠BAC=30°，∠ACB=60°，AC=2；
由分析知：点A经过的路程是由两段弧长所构成的：
①A～A1段的弧长：L1=120×π×2180=4π3，
②A1～A2段的弧长：L2=90×π× 3180= 3π2，
∴点A所经过的路线为(43+ 32)π，故选B．
A点所经过的弧长有两段，①以C为圆心，CA长为半径，∠ACA1为圆心角的弧长；②以B1为圆心，AB长为半径，∠A1B1A2为圆心角的弧长．分别求出两端弧长，然后相加即可得到所求的结论．
本题考查的是弧长的计算，难点在于与动点知识相结合，但是只要将运动的过程分解清楚，就能顺利的作答．
17.【答案】B
【解析】解：设球内气体的气压P(kPa)和气体体积V(m3)的关系式为P=kV，
∵图象过(1.5,64)，
∴P=64×1.5V=96V，
∴当P≤140kPa时，V≥2435m3．
故选：B．
根据题意有：当温度不变时，气球内的气体的气压P是气体体积V的反比例函数，其图象过点(1.5,64)，故可求其解析式；故当气球内的气压不大于140kPa时，气体体积应不小于2435m3．
本题考查反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系．然后再根据题意确定变量的取值范围．
18.【答案】C
【解析】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(−2,0)和(−1,0)之间．
∴当x=−1时，y>0，
即a−b+c>0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，
∴3a+b=3a−2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，
∴4ac−b24a=n，
∴b2=4ac−4an=4a(c−n)，所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n−1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(−2,0)和(−1,0)之间，则当x=−1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到4ac−b24a=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n−1有2个公共点，于是可对④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)：抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
19.【答案】A
【解析】解：∵A点的坐标为(a,a)，
∴C(a−1,a−1)，
当C在双曲线y=3x时，则a−1=3a−1，
解得a= 3+1；
当A在双曲线y=3x时，则a=3a，
解得a= 3，
∴a的取值范围是： 3≤a≤ 3+1，
故选：A．
根据题意得出C(a−1,a−1)，然后分别把A、C的坐标代入求得a的值，即可求得a的取值范围．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
20.【答案】B
【解析】解：如图连接OE、OF.则由题意可知四边形ECFO是正方形，边长为2．
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴可以假设AD=AF=a，BD=BE=b，
则AC=a+2，BC=b+2，AB=a+b，
∵AC2+BC2=AB2，
∴(a+2)2+(b+2)2=(a+b)2，
∴4a+4b+8=2ab，
∴4(a+b)=48−8，
∴a+b=10，
∴AB=10．
故选：B．
连接OE、OF.则由题意可知四边形ECFO是正方形，边长为2.设AD=AF=a，BD=BE=b，则AC=a+2，BC=b+2，AB=a+b，由AC2+BC2=AB2，由此即可解决问题．
本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】D
【解析】解：过点D作DF⊥AC于F，
∵S△ADE=2S△DCE，△ADE中AE边上的高与△DCE中CE边上的高相同，
∴△ADE与△DCE中，AECE=2，
∴AEAC=23，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比等于AEAC=23，
则S△ADE：S△ABC=4：9，
故选：D．
根据S△ADE=2S△DCE，可求出AECE，从而求出AEAC，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
22.【答案】B
【解析】解：∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，
∴△BDE≌△EDC(SAS)，
∴∠B=∠DCE，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD，
过点A作AM⊥BC，垂足是M，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴S△ABCS△FCD=4，
∵S△FCD=5，
∴S△ABC=20，
又BC=12，
∴AM=103，
∵DE//AM，
∴DEAM=BDBM，
∵DM=12CD=3，BM=BD+DM=6+3=9，BD=12BC=6，
∴DE103=69，
∴DE=209，
故选：B．
利用D是BC边上的中点，DE⊥BC，可以得到∠EDB=∠EDC=90°，而由AD=AC，可以得到∠ADC=∠ACB，证明△ABC∽△FCD，利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，也利用了三角形的面积公式求线段的长，添加辅助线，构造相似三角形是关键．
23.【答案】解：(1)∵(x−2)2=1，
∴x−2=1或x−2=−1，
解得x1=3，x2=1；
(2)∵3x2+2x=2，
∴3x2+2x−2=0，
∴a=3，b=2，c=−2，
∴Δ=b2−4ac=22−4×3×(−2)=28>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=−2±2 76=−1± 73，
解得x1=−1+ 73,x2=−1− 73．
【解析】(1)利用直接开平方法解方程即可；
(2)利用公式法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图所示，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B=60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∴∠EDC=30°．
∴∠ODE=90°．
∴DE⊥OD于点D．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：如图所示，连接AD，BF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AFB=∠ADB=90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴DC=12BC=1，FC=12AC=1．
∵∠EDC=30°，
∴EC=12DC=12．
∴EF=FC−EC=12．
【解析】(1)连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定定理证明即可；
(2)连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．
本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质、含30°的直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)当m=1时，抛物线为y=−x2+2x+8=−(x−1)2+9，
所以抛物线顶点C的坐标为(1,9)，
当y=0时，−x2+2x+8=0，解得：x1=−2，x2=4，
所以A(−2,0)，B(4,0)，
所以AB=6；
(2)∵点C落在y轴上，
∴m=0，
∴y=−x2+9，
联立方程组y=kxy=−x2+9，
∴kx=−x2+9，
∵D点的横坐标为a，
∴ka=−a2+9，
∵−6
当a=−4时，k=28，
∴28
∴−12(n−7)=−6(4−n)，解得n=6，
∴P(−1,−12)，Q(−6,−2)，
∵y=−x2+2mx+9−m2=−(x−m)2+9，
∴C(m,9)，
当抛物线经过P(−1,−12)时，−12=−(−1−m)2+9，解得m=−1± 21，
当抛物线经过Q(−6,−2)时，−2=−(−6−m)2+9，解得m=−6± 11，
如图1，当−6+ 11≤m≤−1+ 21时，抛物线与线段PQ有唯一的公共点；
如图2，当−6− 11≤m≤−1− 21时，抛物线与线段PQ有唯一的公共点；
综上所述：当−6+ 11≤m≤−1+ 21或−6− 11≤m≤−1− 21时，抛物线与线段PQ有唯一的公共点．
【解析】(1)当m=1时，把抛物线化为顶点式即可求出点C的坐标，再求出抛物线与x轴的交点即可求出AB的长；
(2)①求出m=0，由题意可得ka=−a2+9，再由a的范围求k的范围即可；
②由题意可求出P(−1,−12)，Q(−6,−2)，再结合图象求解即可．
本题考查二次函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，数形结合讨论是解题的关键．
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