2.3 简谐运动的回复力和能量-2023-2024学年高二物理上学期同步学案+典例+练习（人教版选择性必修第一册）

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2.3 简谐运动的回复力和能量
基础知识梳理

一、简谐运动的回复力
1.简谐运动
如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动.
2.回复力
(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力.
(2)方向：总是指向平衡位置.
(3)表达式：F＝－kx.
二、简谐运动的能量
1.能量转化
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程.
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零.
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小.
2.能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型.
【参考答案】空间位置 机械运动 平动 转动 质量 实际大小 大小 形状 平动 忽略
典型例题分析

考点一：简谐运动的回复力
【例1】如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端悬挂一物块，取物块静止时所处位置为坐标原点O，向下为正方向，建立Ox坐标轴。现将物块竖直向下拉到A位置后由静止释放，不计空气阻力。已知物块的质量为m，弹簧的劲度系数为k，A位置的坐标为x1，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）

A．该简谐振动的振幅为2x1
B．在任意周期内物块通过的路程一定等于x1
C．物块在A位置时的回复力大小为kx1
D．物块在A位置的回复力大小为
【答案】C
【详解】A．该简谐振动的振幅为x1，故A错误；B．物块运动过程中，其快慢是不同的，靠近平衡位置运动比较快，远离平衡位置运动比较慢，所以在不包含平衡位置的周期内物块通过的路程小于x1，故B错误；CD．物块在O位置时受力平衡，有

x0为弹簧伸长量，在A位置时的回复力大小为

故C正确，D错误。故选C。
【变式练习】
1．关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是（　　）
A．简谐运动的回复力可能是恒力
B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向可能相同
C．简谐运动中回复力的公式 中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零
【答案】D
【详解】AC．根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，回复力为，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，x是物体相对平衡位置的位移，不是弹簧长度，因x是变化的，回复力不可能是恒力，故A、C错误；B．回复力方向总是与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向也必定与位移方向相反，故B错误；D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零，故D正确。故选D。
2．关于简谐运动，下列说法正确的是（　　）
A．做简谐运动的质点可能受到指向平衡位置的恒力作用
B．简谐运动系统的能量一定守恒
C．简谐运动一定是沿正弦曲线的运动
D．简谐运动质点的位移为运动初位置指向末位置的有向线段
【答案】B
【详解】A．做简谐运动的质点始终受到指向平衡位置的回复力的作用，回复力周期性变化，与它偏离平衡位置位移的大小成正比，即，在恒力作用下，质点不可能做简谐运动，A错误；B．简谐运动是理想化物理模型，振动过程中没有能量损耗，故振动系统的能量守恒，B正确；C．简谐运动是质点在平衡位置附近的往复运动，其位移与时间的关系遵从正弦函数的规律， 即它的振动图像（图像）是一条正弦曲线。但是质点不是沿正弦曲线运动的，C错误；D．简谐运动质点的位移是质点偏离平衡位置的位移，为平衡位置指向运动位置的有向线段，D错误。故选B。
考点二：根据振动图像判断振子的运动状态和受力情况
【例2】将弹簧振子从平衡位置拉开4cm后放开，同时开始计时，其振动图像如图所示，则（　　）。

A．在0~0.1s内，振子正在做加速度增大的加速运动
B．在0~0.1s内，振子的动能不断增大
C．在0.1-0.2s内，振子速度方向沿轴正方向
D．在0.4s内，振子振动的路程等于8cm
【答案】B
【详解】AB．在0~0.1s内，振子从最大位移处向平衡位置运动，振子的位移在减小，由加速度公式可知，加速度在减小，因此振子正在做加速度减小的加速运动，速度不断增大，振子的动能不断增大，A错误，B正确；C．在0.1-0.2s内，由题图可知，振子从平衡位置向负的最大位移处运动，则有振子速度方向沿轴负方向，C错误；D．由题图可知，振子的振动周期为0.4s，振幅为4cm，因此振子在0.4s内的振动的路程等于4A=16cm，D错误。故选B。
【变式练习】
1．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　）

A．振子的周期为0.8s，振幅为12cm
B．t=0.8s时，振子的速度方向向左
C．t=0.4s和t=1.2s时，振子的加速度完全相同
D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小
【答案】B
【详解】A．由题图乙可知，振子的周期为1.6s，振幅为12cm，故A错误；B．t=0.8s时，振子的速度方向沿x轴负方向，即向左，故B正确；C． t=0.4s和t=1.2s时，振子分别位于正向最大位移处和负向最大位移处，加速度大小相同，但方向相反，故C错误；D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的位移逐渐减小，速度逐渐增大，故D错误。故选B。
2．如图，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动。取向右为正方向，图乙为这个弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是（　　）

A．在t=0.2s时，振子位于A点
B．在t=0.4s时，振子有最大的加速度
C．在t=0.1s与t=0.3s时，振子的速度相同
D．从t=0至t=0.2s内，振子做减速运动
【答案】D
【详解】A．在t=0.2s时，振子位于正向最大位移处，即B点处，故A错误；B．在t=0.4s时，振子位于平衡位置，加速度为零，故B错误；C．在t=0.1s与t=0.3s时，振子速度大小相同，但方向相反，故C错误；D．从t=0至t=0.2s内，振子位移增大，做减速运动，故D正确。故选D。
考点三：弹簧振子运动时能量的转化
【例3】在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是（　　）

A．振动的能量与OB长度无关
B．在振动过程中，物块A的机械能守恒
C．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小
D．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小
【答案】C
【详解】A．做简谐运动的物体的能量跟振幅有关，对确定的振动系统，振幅越大，振动能量越大，故A错误；B．在简谐运动中，系统机械能守恒，但物块A的重力势能与动能总和不断变化，物块A的机械能不守恒，故B错误；CD．在简谐运动中，系统在最大位移处势能最大，在平衡位置处势能最小，故C正确，D错误。故选C。
【变式练习】
1．如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知（   ）

A．在0.1s时，振子的动能最小
B．在0.2s时，系统的势能最大
C．在0.35s时，振子加速度方向沿x轴正方向
D．在0.4s时，振子位移为零，所以振动能量为零
【答案】B
【详解】A．在0.1s时，振子位于平衡位置，动能最大，A错误；B．在0.2s时，振子位于负向最大位移处，具有最大势能，B正确；C．在0.35s时，振子位移方向为x轴正方向，根据F = - kx，可知振子加速度方向沿x轴负方向，C错误；D．在0.4s时，振子位于正向最大位移处，系统的势能最大，振动能量不为零，D错误。故选B。
2．如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O点为平衡位置，C为OB的中点。振子运动到C点的速度大小为v1，运动到O点的速度大小为v2，已知弹簧的弹性势能与形变量的平方成正比，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设振幅为A，弹簧的弹性势能与形变量的关系为

由机械能守恒可得，从B运动到O的过程有

从B运动到C的过程有

联立解得

故选B。
方法探究

一、简谐运动的回复力
1.回复力
(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置.
(2)回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供.它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力，分析物体受力时不能再加上回复力.例如：如图2甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供.

2.回复力公式：F＝－kx
(1)k是比例系数，其值由振动系统决定，与振幅无关.只有水平弹簧振子，回复力仅由弹力提供，k为劲度系数.
(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反.
3.简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反.
4.物体做简谐运动的判断方法
(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；
(2)简谐运动的振动图象是正弦曲线.
二、简谐运动的能量
1.简谐运动中，振动系统的动能和势能相互转化，平衡位置处动能最大，势能最小；最大位移处动能为零，势能最大，但总的机械能不变.
2.对于同一个振动系统，振幅越大，振动的能量越大.
3.简谐运动是一种无能量损失的振动，所以其振幅保持不变，又称为等幅振动.
课后小练

一、单选题
1．关于简谐运动的下列说法中，正确的是（　　）
A．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态
B．位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向相同
C．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度方向跟位移方向相同
D．水平弹簧振子向左运动时，加速度方向跟速度方向相同，向右运动时，加速度方向跟速度方向相反
【答案】C
【详解】A．处于平衡位置，物体的回复力一定为零，但合力不一定为零，也不一定处于平衡状态，A错误；B．根据
a＝－
可知，位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向可能相同，也可能相反，B错误；C．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度方向跟位移方向相同，C正确；D．水平弹簧振子向平衡位置运动时，加速度方向跟速度方向相同；向远离平衡位置方向运动时，加速度方向跟速度方向相反，D错误。故选C。
2．当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是（　　）
A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等
B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功
C．振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力提供
D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒
【答案】D
【详解】A．振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，故A错误；B．振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，做正功，故B错误；CD．振子运动过程中的回复力由弹簧振子所受合力提供，且运动过程中机械能守恒，故C错误，D正确。故选D。
3．下列关于简谐运动回复力的说法正确的是（　　）
A．回复力是使物体回到平衡位置的力
B．回复力可以是恒力
C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
【答案】A
【详解】AB．回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，由

可知，回复力是变力，故A正确，B错误；CD．回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体离开平衡位置的位移方向相反，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，故CD错误。故选A。
4．如图所示为弹簧振子的振动图象，根据此振动图象不能确定的物理量是（　　）

A．周期 B．振幅
C．频率 D．最大回复力
【答案】D
【详解】ABC．由图可知，弹簧振子的周期为

则频率为

振幅为

故ABC能确定，不符合题意；D．弹簧振子的回复力为

由于k未知，无法确定，故D正确。故选D。
5．如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法错误的是（　　）

A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C．物体A与滑块B（整体看成一个振子）的回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
【答案】B
【详解】A．物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的，故A正确；B．滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的，故B错误；C．物体A与滑块B（整体看成一个振子）的回复力满足

则回复力大小跟位移大小之比为k，故C正确；D．当A、B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为，以整体为研究对象有

以物体A为研究对象，由牛顿第二定律得

联立解得

故D正确。故选B。
6．如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1=k，k2=2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动（不计阻力），O为平衡位置，则下列判断正确的是（　　）

A．m做简谐运动，
B．m做简谐运动，
C．回复力
D．回复力
【答案】D
【详解】以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力

因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC=OB。
故选D。
7．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动，以向右为正方向。振动物体的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，下列判断正确的是（　　）

A．t＝0.8s时，振动物体的速度方向向右
B．t＝0.4s和t＝1.2s时，振动物体的加速度相同
C．振动物体做简谐运动的表达式为
D．从t＝0.4s到t＝0.8s时间内，振动物体的速度逐渐减小
【答案】C
【详解】A．由图乙可知，t=0.8s时，切线的斜率为负值，所以速度方向向左，故A错误；B．t=0.4s时，物体位于正向最大位移处，加速度达到最大，方向向左；t=1.2s时，物体位于负向最大位移处，加速度达到最大，方向向右，故B错误；C．简谐运动的物体的表达式为

由图可知



故物体运动的表达式为

故C正确；D．从t=0.4s到t=0.8s时间内，物体从正向最大位移处向平衡位置运动，速度逐渐增大，故D错误。故选C。
8．如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端连接一轻质薄板。t=0时刻，一质量为m的物块从其正上方某处由静止下落，落至薄板上后和薄板始终粘连，其位置随时间变化的图像（x-t）如图乙所示，其中t=0.2s时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，则（　　）

A．当物块开始简谐运动后，振动周期为0.4s
B．t=0.4s时弹簧的弹力小于2mg
C．从0.2s到0.4s的过程中物块加速度先变小再变大
D．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘连后简谐运动的周期增大
【答案】C
【详解】A．t=0.2s时物块刚接触薄板，落至薄板上后和薄板始终粘连，构成竖直方向的弹簧振子，并且从图像看，0.2s以后的图像为正弦函数曲线，B点为最低点，C点为最高点，故周期为

选项A错误；B．B点为最低点，C点为最高点，由对称性可知x=30cm为平衡位置，有

则t=0.4s时即B点弹簧的弹力有

选项B错误；C．x=30cm为平衡位置加速度最小，则从0.2s到0.4s的过程中物块加速度先变小再变大，选项C正确；D．弹簧振子的周期只与振动系统本身有关，与物块起始下落的高度无关，故物块与薄板粘连后振动周期不变，选项D错误。故选C。
二、多选题
9．关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是（　　）
A．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量
B．位移减小时，加速度减小，速度增大
C．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
D．物体运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同
【答案】ABD
【详解】A．周期是做一次完整运动过程所用的时间；频率是单位时间内完成全振动的次数，都反映了振动的快慢表征物体做简谐运动快慢程度的物理量，故A正确；B．根据可知位移减小时，回复力减小，加速度减小，速度增大，故B正确；C．根据可知位移的方向总跟加速度方向相反，物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，所以位移和速度的方向可能相同也可能相反，故C错误；D．根据选项C的分析可知，D正确。故选ABD。
10．如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的MN之间做往复振动，振幅为A，周期为T，O为平衡位置，下列说法正确的是（　　）

A．经过的时间，振子由N可运动至O
B．弹簧振子每经过时间，通过的距离均为A
C．振子由N向O运动过程中，回复力和位移逐渐减小
D．弹簧振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
【答案】AC
【详解】A．由简谐运动的规律可知，经过的时间，振子由N可运动至O，A正确；B．弹簧振子若从M、O、N等特殊位置算起，每经过时间，通过的距离均为A，若从其他位置算起，每经过时间，通过的距离可能大于A，也可能小于A，B错误；C．振子由N向O运动过程中，位移逐渐减小、回复力也逐渐减小，C正确；D．弹簧振子受重力、支持力、弹簧弹力作用，其中弹簧的弹力作为回复力，D错误。故选AC。
11．如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法正确的是（　　）

A．物体A所受的回复力大小跟位移大小之比为k
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供
C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的最大静摩擦因数为，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
【答案】CD
【详解】A．设弹簧的形变量为x，根据牛顿第二定律可得整体的加速度为

对A

可见作用在A物体上的静摩擦力大小f即回复力的大小与位移大小之比为

故A错误；B．物块B做简谐运动，回复力是弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供，故B错误；C．物体A与滑块B（看成一个振子）的回复力大小满足，则回复力大小跟位移大小之比为k，故C正确；D．根据题知，物体间的静摩擦力最大时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象，回复力由弹簧的弹力提供，由牛顿第二定律有

以A为研究对象，由牛顿第二定律有

联立解得

故D正确。故选CD。
12．如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　）

A．在t=0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大
B．从t=0到t=0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
C．在t=0.1s与t=0.3s两个时刻，弹簧振子在同一位置
D．在t=0.6s时，弹簧振子有最小的弹性势能
【答案】BC
【详解】A．在t=0.2s时，弹簧振子的位移为正向最大，由
a=
知加速度为负向最大，故A错误；B．从t=0到t=0.2s时间内，弹簧振子的位移增大，加速度增加，速度减小，所以弹簧振子做加速度增大的减速运动。故B正确；C．在t=0.1s与t=0.3s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，故C正确；D．在t=0.6s时，弹簧振子的位移最大，速度最小，由机械能守恒知，弹簧振子有最大的弹性势能，故D错误。故选BC。
三、解答题
13．如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题：
（1）写出该振子简谐运动的表达式；
（2）在第2s末到第3s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
（3）该振子在第100s时的位移是多少？前100s内的路程是多少？

【答案】（1）；（2）见解析；（3）0，5m
【详解】（1）由振动图像可得：振幅A = 5cm，周期T = 4s，则

故该振子做简谐运动的表达式为

（2）由题图可知，在t = 2s时振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断变大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t = 3s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。
（3）振子经过一个周期位移为零，路程为
s1=5 × 4cm = 20cm
前100s时刚好经过了25个周期，所以第100s振子位移x = 0，振子路程
s = 20 × 25cm = 500cm = 5m
14．如图所示，将质量为m=100g的平台A连接在劲度系数k=200N/m的弹簧上端，弹簧下端固定在地面上，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放置质量也为m的物块B，使A、B一起上下振动，弹簧原长为5cm。A的厚度可忽略不计，g取10m/s2，求：
（1）平衡位置距地面的高度；
（2）当振幅为0.5cm时，求A对B的最大支持力大小。

【答案】（1）4cm；（2）1.5N
【详解】（1）振幅很小时，A、B间不会分离，将A与B整体作为振子，当它们处于平衡位置时，根据平衡条件得

解得形变量

平衡位置距地面高度

（2）当A、B运动到最低点时，有向上的最大加速度，此时A、B间相互作用力最大，设振幅为A，此时最大加速度

取B为研究对象，有

得A对B的最大支持力