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2023年河南省普通高中自主招生数学试卷（A卷）（含解析）
展开这是一份2023年河南省普通高中自主招生数学试卷（A卷）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省普通高中自主招生数学试卷（A卷）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −32的绝对值是( )
A. −23 B. 23 C. −32 D. 32
2. 2023全国“两会”政府工作报告中指出：我国粮食产量连年稳定在1.3万亿斤以上.其中数据“1.3万亿”用科学记数法可表示为( )
A. 0.13×1012 B. 1.3×1012 C. 13×1011 D. 1.3×1013
3. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列运算正确的是( )
A. 3xy−xy=2 B. (−3x)2=6x2
C. 2x6÷x2=2x3 D. (x−y)(x+y)=x2−y2
5. 如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，连接AD.若∠B=35°，∠C=60°，则∠DAC的度数为( )
A. 50°
B. 40°
C. 35°
D. 30°
6. 把不等式组x+5>2,1−3x≥x−7的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 若关于x的一元二次方程x2+(a+2)x+14a2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是( )
A. −3 B. −2 C. 0 D. −1
8. 近年来我国航天事业取得了一系列的伟大成就，现有5张卡片正面图案如图所示，它们除此之外其他完全相同，把这5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片正面图案恰好是“嫦娥五号”和“卫星导航系统”的概率是( )
A. 16 B. 18 C. 310 D. 110
9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上AB⊥x轴，AB=CB=2，OA=OC，∠AOC=60°，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为( )
A. (−3, 3) B. (3,− 3) C. (− 3,1) D. (1,− 3)
10. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发沿A→D→C方向运动到点C停止，动点Q从点C出发沿C→A方向运动到点A停止，若点P，Q同时出发，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设运动时间为x s，AP−CQ=y cm，y与x的函数关系图象如图2所示，则AC的长为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 14
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 某种试剂的说明书上标明保存温度是(10±2)℃，请你写出一个适合该试剂保存的温度：______ ℃.
12. 已知点M(m,y1)，N(−1,y2)在直线y=−x+1上，且y1>y2，则m的取值范围是______ ．
13. 某校计划从小颖、小亮、小东、小明四名学生中选拔一人参加全市知识竞赛，下表是他们最近3次选拔测试的平均成绩及方差；
小颖
小亮
小东
小明
平均成绩/分
97
96
95
97
方差
0.35
0.42
0.36
0.15
学校决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的学生应是______ ．
14. 如图，在扇形OBA中，∠AOB=90°，C、D分别是OA，OB的中点，连接AD和BC交于点E，若OA=2，则图中阴影部分的面积为______ ．
15. 如图，正方形ABCD的边长为5，E是边AD上一动点，将正方形沿CE翻折，点D的对应点为D′，过点D′作折痕CE的平行线，分别交正方形ABCD的边于点M，N(点M在点N上方)，若2AM=CN，则DE的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：3−27+(π−2023)0+(13)−1；
(2)化简：xx2−1÷(x1−x+1)．
17. (本小题9.0分)
互联网已成为当代未成年人重要的学习、社交、娱乐工具，对其成长产生深刻影响.2022年11月30日，共青团中央维护青少年权益部、中国互联网络信息中心(CNNC).中国青少年新媒体协会联合发布了《2021年全国未成年人互联网使用情况研究报告》(注：此报告中未成年网民指6岁到18岁的在校学生中的网民).根据报告中的数据，得到以下两幅统计图：
根据以上信息解答下列问题：
(1)未成年网民假日收看短视频时长的中位数在______ 范围内，未成年网民收看短视频的内容题材最多的是______ 类.
(2)若从全国6岁到18岁的在校生中随机抽取1000人，请分别估计其中工作日和节假日收看短视频的时长在1小时及以上的学生人数．
(3)某班为举办“健康上网”的主题班会，从以上统计图中获取了一些信息，请你写出一条获得的信息，并就此提出一条合理的建议．
18. (本小题9.0分)
文昌阁位于河南省辉县市区，创建于明代，为八角形三层攒尖顶阁楼，砖木结构.文昌阁是河南省第五批文物保护单位，其建筑结构严谨，造型精巧，工艺精致，气势宏伟，体量高大，是明代木构阁楼建筑的精华，具有重要的历史、科学、艺术价值.某数学兴趣小组准备测量文昌阁阁身的高度，为此制订了测量方案，并利用周末完成了测量，测量结果如下表：
活动课题
测量文昌阁阁身的高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等测量工具
示意图
测量步骤
如图：(1)利用测角仪在台阶D处测得文昌阁顶点A的仰角为45°；
(2)利用测角仪在台阶C处测得的文昌阁顶点A的仰角为57°
(3)利用皮尺测量每个台阶的高度计算出两处台阶的高度均为1.8m(即点B和点C，点C和点D的垂直距离均为1.8m)，利用皮尺测量每个台阶的宽度及点C和点D到台阶边缘的距离，计算出点C和点D的水平距离为6.6m(已知A、B、C、D、E均在同一平面内)
请运用所学知识，根据上表中的数据，计算文昌阁阁身AB的高度.(结果取整数.参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54)
19. (本小题9.0分)
某科技小组的同学制作了一个简易台秤(如图1)用来测物体的质量，内部电路如图2所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数.已知电源电压U为18V，定值电阻R0为30Ω，电阻R为力敏电阻，其阻值R(Ω)与所受压力F(N)符合反比例函数关系．
(1)请补全下面的表格，在图3中补全点，画出R(Ω)与F(N)的关系图象，并写出阻值R(Ω)与压力F(N)的函数关系式．
F(N)
120
______
60
50
______
30
R(Ω)
5
6
10
12
15
20
(2)已知电路中电流I(A)与电阻、电源电压的关系式I=UR+R0，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值.若电流表的量程为0～0.5A，则该台秤最大可称多重的物体？
(3)已知力敏电阻受压力F(N)与所测物体的质量m(kg)的关系为F=mg(g≈10N/kg).若力敏电阻阻值的变化范围为8≤R≤25，则所测物体的质量m(kg)的变化范围是______ ．
20. (本小题9.0分)
国家“双减”政策实施后.某校开展了丰富多彩的社团活动，其中分同学报名参加了中国象棋和围棋两个社团，该校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋.已知购买5副中国象模和3副围棋共花费165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元．
(1)求每副中国象棋和围棋的价格各是多少元．
(2)在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：
方案一：购买围棋不超过20副时，围棋和中国象棋均按原价付款；超过20副时，超过的部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋；
方案二：按购买总金额的八折付款．
若该校共需购买40副围棋和x(x≥10)副中国象棋，请通过计算说明该校选择哪种方案更划算．
21. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c的顶点为M，交x轴于点A(−1,0)，B，点D(3,4)是抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标．
(2)当2≤x≤5时，求二次函数y=−x2+bx+c的最大值与最小值的差．
(3)若点P是x轴上方抛物线上的点(不与点A，B，D重合)，设点P的横坐标为n，过点P作PQ//y轴，交直线AD于点Q，当线段PQ的长随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围．
22. (本小题10.0分)
中国是世界上机械发展最早的国家之一，如图1是一辆明代的运输板车，该车沿用宋元制式和包镶式结构，车身选材厚重、纹理精美，低重心的物理结构兼顾了承重性和安全性.如图2是板车侧面的部分示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．
(1)求证：∠ADC=∠DBC．
(2)若测得sinC=15，CD= 6m，求AD的长．
23. (本小题10.0分)
综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师给出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，射线AD平分∠BAC，将射线AD绕点A逆时针旋转α，得到射线l，在射线l上取点E，使得AE=AB，连接BE分别交AD，AC于点M，N，连接CE.问：∠CBE，∠MAN之间的数量关系是什么？线段DM，CN之间的数量关系是什么？
【特例探究】“勤奋”小组的同学们先将问题特殊化，探究过程如下：
甲同学：当α=60°时，如图2，通过探究可以发现，△AMN，△ACE，△ECN都是等腰三角形；
乙同学：可以证明△ABM≌△AEN，得到BM=EN；
丙同学：过点A做AF⊥MN，垂足为F，如图3，则FM=FN；
丁同学：可以证明△BDM∽△AFM，△ECN∽△AMN，则BMAM=DMFM，ENAN=CNMN，…．
(1)根据以上探究过程，得出结论：
①∠CBE，∠MAN之间的数量关系是______ ；
②线段DM，CN之间的数量关系是______ ．
【类比探究】
(2)“智慧”小组的同学们在“勤奋”小组的基础上，进一步探究一般情形，当∠BAC=α时，如图1，(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图1的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
【迁移应用】
(3)“创新”小组的同学们改变了条件，当α=90°时，如图4，若射线AD是∠BAC的三等分角线，AB=2 3+2，其他条件不变，请直接写出MN的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−32的绝对值是：32．
故选：D．
直接利用绝对值的性质得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的性质是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵1.3万亿=1.3×104×108=1.3×1012，
∴答案为B．
故选：B．
根据绝对值大于1的数表示成科学记数法的形式即可完成．
本题考查了绝对值大于1的数表示成科学记数法，其形式为a×10n(1≤|a|<10)，且n等于这个数的整数位数与1的差．
3.【答案】D
【解析】解：根据这个几何体的三视图可以得出这个几何体是圆柱体，且是“横”着放置的，因此选项D中的几何体符合题意，
故选：D．
利用三视图的形状判断几何体的形状即可．
本题考查由三视图判断组合体，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
4.【答案】D
【解析】解：A.3xy−xy=2xy，故本选项不符合题意；
B.(−3x)2=9x2，故本选项不符合题意；
C.2x6÷x2=2x4，故本选项不符合题意；
D.(x−y)(x+y)=x2−y2，故本选项符合题意；
故选：D．
先根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式法则，平方差公式进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠B=35°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=85°，
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD=35°，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=85°−35°=50°，
故选：A．
先利用三角形内角和定理求出∠BAC=85°，然后利用线段垂直平分线的性质可得DA=DB，从而可得∠B=∠BAD=35°，最后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：解不等式x+5>2，得x>−3；
解不等式1−3x≥x−7，得x≤2；
∴不等式组的解集为−3
先求出不等式组的解集，然后将解集在数轴上表示即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了不等式组解集在数轴上的表示方法．
7.【答案】C
【解析】解：∵x2+(a+2)x+14a2=0，
∴Δ=(a+2)2−4×1×14a2=4a+4．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴4a+4>0，
解得a>−1．
∴a的值可以是0．
故选：C．
根据根的判别式得到Δ=(a+2)2−4×1×14a2>0，然后解关于a的不等式，即可求出a的范围，并根据选项判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】D
【解析】解：把5张卡片分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽取两张卡片正面图案恰好是“嫦娥五号”和“卫星导航系统”的结果有2种，即AD、DA，
∴抽取两张卡片正面图案恰好是“嫦娥五号”和“卫星导航系统”的概率是220=110，
故选：D．
画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽取两张卡片正面图案恰好是“嫦娥五号”和“卫星导航系统”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】B
【解析】解：连接OB，过点C作CP⊥OA，垂足为P，如图所示，
∵AB=CB=2，OA=OC，OB=OB，
∴△AOB≌△COB(SSS)，
∴∠AOB=12∠AOC=30°，
在Rt△AOB中，AB=2，∠AOB=30°，
∴OA= 3AB=2 3，
∴OC=2 3，
在Rt△COP中，OC=2 3,∠POC=60°，
∴CP= 32OC=3,OP=12OC= 3，
∴点C的坐标为( 3,3)，
∵每次旋转90°，360°÷90°=4，
∴每旋转4次为一个循环．
∵2023÷4=505⋅⋅⋅3，
∴第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位㨁相同，
∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为(3,− 3)，
故选：B．
连接OB，过点C作CP⊥OA，垂足为P，通过证得△AOB≌△COB(SSS)，得出∠AOB=12∠AOC=30°，通过解直角三角形得到点C的坐标为( 3,3)，由每旋转4次为一个循环，即可得出第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位㨁相同，从而得出第2023次旋转结束时，点C的坐标为(3,− 3)．
本题考查图形的旋转，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2023次旋转后C点的位置是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意，结合函数图象，可知：
当0≤x<4时，点P在AD上运动；
当x=4时，点P运动到点D，即AD=2×4=8；
当4
在矩形ABCD中，AD=8，CD=6，则AC=10，
故选：C．
当0≤x<4、x=4、4
11.【答案】10(答案不唯一)
【解析】解：∵10−2=8(℃)，10+2=12(℃)，
∴适合该试剂保存的温度范围是8°C～12°C
适合该试剂保存的温度：10°C．
故答案为：10(答案不唯一)．
根据有理数的加法运算，(10±2)℃，可得保存温度范围，根据温度范围，可得合适的温度．
本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键，得出药品保存温度范围，在范围内写出一个温度．
12.【答案】m<−1
【解析】解：∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点M(m,y1)，N(−1,y2)在直线y=−x+1上，且y1>y2，
∴m<−1．
故答案为：m<−1．
由k=−1<0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合y1>y2，即可得出m<−1．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
13.【答案】小明
【解析】解：从平均成绩看小颖、小明最好，
但是小明的方差更小，所以小明的成绩更稳定，
所以被选中的学生应是小明．
故答案为：小明．
知识竞赛平均成绩代表平均水平，越大成绩越好；方差代表稳定性，越小越稳定．
本题考查了运用平均数和方差做决策，解题的关键是理解平均数和方差的意义．
14.【答案】π−43
【解析】解：如图，连接OE，
∵OA=2，点C是OA的中点，点D是OB的中点，
∴OC=OD=1，S△ACE=S△OEC，S△OED=S△BED，
∵∠AOD=90°=∠BOC，
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
∴∠CAE=∠DBE，
∵∠AEC=∠BED，AC=BD=1，
∴△AEC≌△BED(AAS)，
∴S△ACE=S△OEC=S△OED=S△BED=13S△AOD=13×12×2×1=13，
∴S阴影部分=S扇形AOB−4S△DOE
=90π×22360−4×13
=π−43，
故答案为：π−43．
根据中点的定义，全等三角形的判定和性质可得出S△ACE=S△OEC=S△OED=S△BED=13S△AOD=13，再根据S阴影部分=S扇形AOB−4S△DOE进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握全等三角形的判定和性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
15.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD是边长为5的正方形，
∴AD=5，AD//BC，
∵MN//CE，
∴四边形CEMN为平行四边形，
∴∠D′ME=∠ECN，CN=EM，
∵2AM=CN，
∴EM=2AM，
设AM=x，则EM=2x，
∴DE=AD−AM−EM=5−3x，
根据折叠的性质可得，DE=D′E=5−3x，∠DEC=∠D′EC，
∵AD//BC，
∴∠DEC=∠ECN=∠D′ME，
∵MN//CE，
∴∠D′EC=∠MD′E，
∴∠D′ME=∠MD′E，
∴EM=D′E，
∴2x=5−3x，
解得：x=1，
∴DE=5−3x=2．
故答案为：2．
根据题意易得四边形CEMN为平行四边形，由平行四边形的性质得∠D′ME=∠ECN，CN=EM，于是EM=2AM，设AM=x，则EM=2x，DE=5−3x，由折叠可知DE=D′E=5−3x，∠DEC=∠D′EC，由平行线的性质可得∠DEC=∠ECN=∠D′ME，∠D′EC=∠MD′E，进而得到∠D′ME=∠MD′E，由等边对等角可知EM=D′E，以此列出方程求解即可．
本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
16.【答案】解：(1)3−27+(π−2023)0+(13)−1
=−3+1+3
=1．
(2)xx2−1÷(x1−x+1)
=x(x+1)(x−1)÷x+1−x1−x
=x(x+1)(x−1)⋅(1−x)
=−xx+1．
【解析】(1)先由立方根的定义，零次幂法则，负整数指数幂法则进行化简，再计算可得结果；
(2)先把括号内的进行通分合并，把除法变成乘法，再计算可得结果．
此题主要是考查了实数的运算，分式的混合运算，能够熟练运用立方根定义，零次幂法则，负整数指数幂法则，分式的混合运算法则是解答此题的关键．
17.【答案】0.5～1小时 搞笑
【解析】解：(1)由题意可知，未成年网民假日收看短视频时长的中位数在0.5～1小时范围内，未成年网民收看短视频的内容题材最多的是搞笑类．
故答案为：0.5～1小时；搞笑；
(2)工作日收看短视频的时长在1小时及以上的学生人数约为：1000×(10.6%+4.9%+4.9%)=204(人)，
节假日收看短视频的时长在1小时及以上的学生人数约为：1000×(18.7%+10.6%+12.4%)=417(人)；
(3)由题意可知，未成年网民收看短视频的内容题材多为搞笑类，且观看时间较长，建议未成年“绿色上网”.(答案不唯一)．
(1)分别根据中位数和众数的定义解答即可；
(2)用1000分别乘样本中工作日和节假日收看短视频的时长在1小时及以上的学生人数所占比例即可；
(3)根据未成年网民收看短视频的数据提出建议即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】解：过点C作CF⊥AE，垂足为F，过点C作CG⊥ED，垂足为G，
由题意得：BF=EF=CG=1.8m，GD=6.6m，CF=EG，
设CF=EG=x m，
∴DE=EG+GD=(x+6.6)m，
在Rt△ACF中，∠ACF=57°，
∴AF=CF⋅tan57°≈1.54x(m)，
∴AE=AF+EF=(1.54x+1.8)m，
在Rt△AED中，∠ADE=45°，
∴AE=DE⋅tan45°=(x+6.6)m，
∴1.54x+1.8=x+6.6，
解得：x≈8.9，
∴AF=1.54x≈13.7(m)，
∴AB=AF−BF=13.7−1.8≈12(m)，
∴文昌阁阁身AB的高度约为12m．
【解析】过点C作CF⊥AE，垂足为F，过点C作CG⊥ED，垂足为G，根据题意可得：BF=EF=CG=1.8m，GD=6.6m，CF=EG，然后设CF=EG=x m，则DE=(x+6.6)m，在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE的长，再在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而列出关于x的方程，进行计算可求出AF的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】100 40 2.4≤m≤7.5
【解析】解：(1)120×56=100，120×515=40，补全表格如下：
F(N)
120
100
60
50
40
30
R(Ω)
5
6
10
12
15
20
阻值R(Ω)与压力F(N)的函数关系式为R=600F；
故答案为：100，40；
(2)电流表的示数为0.5A时，0.5=18R+30，
解得R=6，
把R=6代入R=600F得：
6=600F，
解得F=100，
∴该台秤最大可称100N的物体；
(3)∵F=mg=10m，R=600F，
∴R=60010m=60m，
∵8≤R≤25，
∴8≤60m≤25，
解得2.4≤m≤7.5，
故答案为：2.4≤m≤7.5．
(1)根据反比例函数中k为定值可填表，求出函数关系式，再描点画出图象即可；
(2)求出R，结合(1)可得F的值；
(3)用m表示出R，再代入8≤R≤25得关于m的不等式组，即可解得答案．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解F，R，I，U的关系．
20.【答案】解：(1)设每副中国象棋的价格是a元，每副围棋的价格是b元．
依题意有5a+3b=1654a+6b=240，
解得：a=15b=30，
答：每副中国象棋的价格是15元，每副围棋的价格是30元；
(2)设选择方案一所需的费用为y1元，选择方案二所需的费用为y2元．
根据题意得：y1=40×30+(x−20)×15=15x+900；
y2=(15x+30×40)×0.8=12x+960．
若y1
若y1>y2，则15x+900>12x+960，解得x>20．
∵x≥10，
∴若y1
【解析】(1)设每副中国象棋的价格是a元，每副围棋的价格是b元．根据购买5副中国象模和3副围棋共花费165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元列出二元一次方程组，求解即可；
(2)设选择方案一所需的费用为y1元，选择方案二所需的费用为y2元．根据商场优惠活动方案分别列出y1、y2关于x的函数解析式，再分y1
本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，D(3,4)代入y=−x2+bx+c，
∴−1−b+c=0−9+3b+c=4，
解得b=3c=4，
∴抛物线的解析式为y=−x2+3x+4；
∵y=−x2+3x+4=−(x−32)2+254，
∴M(32,254)；
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=32，开口向下，
∴当x>32时，y随x值的增大而减小，
∴当x=2时，函数有最大值6，
当x=5时，函数有最小值−6，
∴函数的最大值与最小值的差为12；
(3)∵点P的横坐标为n，
∴P(n,−n2+3n+4)，
设直线AD的解析式为y=kx+m，
∴−k+m=03k+m=4，
解得k=1m=1，
∴y=x+1，
∵PQ//y轴，
∴Q(n,n+1)，
当−x2+3x+4=0时，x=−1或x=4，
∴B(4,0)，
当−1
(2)根据函数的对称性可知当x>32时，y随x值的增大而减小，则当x=2时，函数有最大值6，当x=5时，函数有最小值−6，再求解即可；
(3)由题意分别求出P(n,−n2+3n+4)，Q(n,n+1)，当−1
22.【答案】解：(1)如图所示：
证法一：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵∠DBC=∠ADB+∠OAD=90°+∠OAD．
又∵∠ADC=∠ODC+∠ODA=90°+∠ODA，
∴∠ADC=∠DBC，
证法二：∵∠BDC+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠BDC=∠ADO，
∵∠OAD=∠ODA，
∴∠BDC=∠OAD，
∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CDA，
∴∠ADC=∠DBC，
(2)解：在Rt△ODC中，sinC=ODOC=15，
则设OD=rm，则OC=5rm，
又∵CD= 6，
∴r2+( 6)2=(5r)2，解得r=12(负值已舍去)，
∴OD=OB=OA=12,OC=52，
∴AC=OC+OA=3，
由(1)可知∠ADC=∠DBC，
又∵∠ACD=∠DCB，
∴△ACD∽△DCB，
∴ACDC=ADDB，即3 6=ADDB，
在Rt△ABD中，设AD=3xm，则DB= 6xm，
又∵AB=1，
∴(3x)2+( 6x)2=12，解得：x= 1515(负值已舍去)．
∴AD的长为 1515m．
【解析】(1)连接OD，由圆周角定理及其推论，切线的性质可得∠ODC=∠ADB=90°，再由∠OAD=∠ODA得到即可得到结论，也可证明△CBD∽△CDA得出结论，
(2)在Rt△ODC中根据勾股定理列方程中先求出OC的长，从而得到AC的长，再利用△CBD∽△CDA得到AD，DB的关系后，在Rt△ABD中利用勾股定理列方程即可求出结论．
本题考查了圆周角定理及其推论，切线的性质，相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用等知识，是一个综合性较强的题目，熟练运用定理进行推理和计算是解题的关键．
23.【答案】∠CBE=12∠MAN DM=12CN
【解析】解：(1)∵△ABM≌△AEN，得到BM=EN；
∴AF⊥MN，∠MAF=12∠MAN，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠AFM，
∵∠BMD=∠AMF，
∴∠CBE=∠MAF=12∠MAN，
∵△BDM∽△AFM，△ECN∽△AMN，
则BMAM=DMFM，ENAN=CNMN，
∴DMFM=CNMN，
∵FM=12MN，
∴DM=12CN，
故答案为：∠CBE=12∠MAN，DM=12CN；
(2)如图1，
∠CBE=12∠MAN，DM=12CN仍然成立，理由如下：
作AF⊥BE于F，
∵AB=AE，
∴∠BAF=∠EAF，BF=EF，
∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAM=∠EAN，
∴∠BAF−∠BAM=∠EAF−∠EAN，
∴∠MAF=∠FAN=12∠MAN，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠AFM=90°，
∵∠BMD=∠AMF，
∴∠CBE=∠MAF=12∠MAN，△BDM∽△AFM，
∴DMFM=BMAM，
∵∠AFM=∠AFN=90°，∠FAM=∠FAN，
∴∠AMN=∠ANF，
∴AM=AN，
∴FM=FN，
∴BF−FM=EF−FN，
∴BM=EN，
∵AC=AE，
∴∠ACF=∠AEC，
∵∠BAD=∠CAE=∠CAD，
∴∠AMN=∠ANC=∠ACE=∠AEC，
∵∠ANM=∠CEN，
∴△CEN∽△AMN，
∴CNMN=ENAM，
∴DMFM=CNMN，
∵FM=12MN，
∴DM=12CN；
(3)∵∠BAC=∠DAE=90°，射线AD是∠BAC的三等分角线，
∴∠BAD=30°或∠BAD=60°，
如图2，
当∠BAD=30°时，
∵AB=AE，∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD=120°，
∴ABE=∠AEB=30°，
∵∠MAN=90°−∠BAD=60°，AM=AN，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN=AN，
∵AN=AB⋅tan∠ABE=(2 3+2)× 33=6+2 33，
∴MN=6+2 33，
如图3，
Rt△XYV中，SY= 3，XV= 12+(2+ 3)2= 6+ 2，
∴sin15°=1 6+ 2= 6− 24，tan15°=12+ 3=2− 3
当∠BAD=60°时，作AG⊥BE于G，
∵AB=AE，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=∠E=15°，
在Rt△ABN中，
AN=AB⋅tan∠ABE=(2+2 3)×(2− 3)=2 3−2，
在Rt△AGN中，∠ANB=90°−∠ABE=75°，
∴∠GAN=15°，
∴NG=(2+2 3)× 6− 24= 2，
∴MN=2NG=2 2，
综上所述：MN=6+2 33或2 2．
(1)根据提供的证明推出结果；
(2)作AF⊥BE于F，可推出∠MAF=∠FAN=12∠MAN，从而推出∠CBE=∠MAF=12∠MAN，根据△BDM∽△AFM推出DMFM=BMAM，根据△CEN∽△AMN，可推出CNMN=ENAM，进一步推出结论；
(3)当∠BAD=30°时，可推出△AMN是等边三角形，从而MN=AN=AB⋅tan∠ABE=(2 3+2)× 33=6+2 33，从而MN=6+2 33；先推出sin15°=1 6+ 2= 6− 24，tan15°=12+ 3=2− 3，进而求当∠BAD=60°时，作AG⊥BE于G，AN=AB⋅tan∠ABE=(2+2 3)×(2− 3)=2 3−2，NG=(2+2 3)× 6− 24= 2，从而得出MN=2NG=2 2．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是构造直角三角形，求得特殊角三角函数值．
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