第01讲 集合(讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25607" 第一部分：思维导图 PAGEREF _Tc25607 \h 2
\l "_Tc29280" 第二部分：知识点必背 PAGEREF _Tc29280 \h 2
\l "_Tc32110" 第三部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc32110 \h 4
\l "_Tc24740" 第四部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc24740 \h 5
\l "_Tc30156" 高频考点一：集合的基本概念 PAGEREF _Tc30156 \h 5
\l "_Tc22056" 高频考点二：元素与集合的关系 PAGEREF _Tc22056 \h 7
\l "_Tc266" 高频考点三：集合中元素的特性 PAGEREF _Tc266 \h 10
\l "_Tc23096" 高频考点四：集合的表示方法 PAGEREF _Tc23096 \h 12
\l "_Tc18461" 高频考点五：集合的基本关系 PAGEREF _Tc18461 \h 15
\l "_Tc15691" 高频考点六：集合的运算 PAGEREF _Tc15691 \h 19
\l "_Tc24475" 高频考点七：图的应用 PAGEREF _Tc24475 \h 24
\l "_Tc30672" 高频考点八：集合新定义问题 PAGEREF _Tc30672 \h 26
\l "_Tc25526" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc25526 \h 27
\l "_Tc11429" ①数形结合 PAGEREF _Tc11429 \h 27
\l "_Tc28003" ②分类讨论 PAGEREF _Tc28003 \h 29
\l "_Tc21560" 第六部分：核心素养 PAGEREF _Tc21560 \h 32
\l "_Tc29052" ①数学运算 PAGEREF _Tc29052 \h 32
\l "_Tc32148" ②逻辑推理 PAGEREF _Tc32148 \h 33
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第一部分：思维导图
第二部分：知识点必背
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高频考点结论
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第三部分：高考真题回归
1．（2022·全国（乙卷（文））·统考高考真题）集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，所以．
故选：A.
2．（2022·全国（甲卷（文））·统考高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，所以．
故选：A.
3．（2022·全国（乙卷（理））·统考高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
4．（2022·全国（甲卷（理））·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
5．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，故，
故选：D
6．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
第四部分：高频考点一遍过
高频考点一：集合的基本概念
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．方程的解集是
B．方程的解集为{(-2，3)}
C．集合与集合表示同一个集合
D．方程组的解集是
【答案】D
【详解】对于A，方程的解集是，故A错误；
对于B，方程的解集为，故B错误；
对于C，集合表示数集，集合表示点集，故不是同一集合，故C错误；
对于D，由解得，故解集为{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正确.
故选：D.
例题2．（2023·高一单元测试）下面关于集合的表示正确的是（ ）
①；②；
③；④
A．①B．②C．③D．④
【答案】CD
【详解】根据集合元素的无序性和集合的表示，可得，所以①不正确；
根据集合的表示方法，可得集合为点集，集合表示数集，
所以，所以②不正确；
根据集合的表示方法，可得集合，所以③正确；
根据集合的表示方法，可得集合，
所以，所以④是正确的.
故选：CD.
练透核心考点
1．（2023·湖南永州·高一校考阶段练习）以下元素的全体不能够构成集合的是
A．中国古代四大发明B．周长为的三角形
C．方程的实数解D．地球上的小河流
【答案】D
【详解】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，选D.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【详解】A.、都是点集，与是不同的点，则、是不同的集合，故错误；
B.，，根据集合的无序性，集合，表示同一集合，故正确；
C.，集合的元素表示点的集合，，表示直线的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误；
D.集合M的元素是两个数字2，3，，集合的元素是一个点，故错误；
故选：B.
高频考点二：元素与集合的关系
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）已知集合，且，则实数的取值不可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】因为集合，且，则或，解得.
当时，集合中的元素不满足互异性；
当时，，集合中的元素不满足互异性；
当时，，合乎题意.
综上所述，.
故选：ACD.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【详解】由集合M＝，得(ax－5)(x2－a)0时，原不等式可化为，
若，则解得或，
所以只需满足，解得；
若，则解得或，
所以只需满足，解得9