第01讲 集合(逐级突破）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第01讲 集合 (精练（分层练习）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若集合，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，
所以.
故选：B
2．（2023秋·天津南开·高三校考阶段练习）设集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，又，
所以.
故选：B.
3．（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，解得，所以，
或，
则，
所以.
故选：C.
4．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，所以 ，所以 ；
故选：A.
5．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）设集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】且.
故.
故选：C.
6．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）集合的子集个数为（    ）．
A．4 B．7 C．8 D．16
【答案】C
【详解】因为，
所以该集合的子集的个数为，
故选：C．
7．（2022秋·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习）设全集，集合，M，N都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【详解】注意到或，或.
又由图可得阴影部分表示集合：且，
则阴影部分集合为：.
故选：B
8．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】的定义域为A，
所以，
所以或，
①当时，,
满足，
所以符合题意；
②当时，
，
所以若，
则有或，
所以或（舍）
③当时，
，
所以若，
则有或（舍），
，
综上所述，，
故选：B.
二、多选题
9．（2022·全国·高一期中）已知全集，集合，，则（    ）
A．集合的真子集有7个 B．
C． D．中的元素个数为
【答案】ACD
【详解】因为，所以，
因为集合，所以的真子集有，共7个，故A正确；
由，，得，所以，故B不正确；
由，，所以，所以， 故C正确；
由，得中的元素个数为，故D正确.
故选：ACD.
10．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设，若，则m的值可以为（    ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】ABC
【详解】，
，
当时，，符合；
当时，，
或，
或.
故选：ABC.
三、填空题
11．（2021秋·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是__．
【答案】.
【详解】依题意可得
所以，因为，
当时，，所以，
当时，，又，所以，
所以，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
12．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）高一某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人数是______.
【答案】
【详解】由题意画出ven图，如图所示：

由ven图知：参加比赛的人数为26人，
所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29人，
故答案为：29
四、解答题
13．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）设全集，已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或；
(2).
【详解】（1）当，，
由得，所以或，
或；
（2）已知，
由（1）知或，
因为，且，
∴且，
解得，
所以实数a的取值范围为.
14．（2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期末）已知全集为，集合，．
(1)若，求，；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）集合，
当时，．
所以，或，．
（2）因为，
当时，，成立；
当时，，，解得：，
综上，，所以实数的取值范围是．
15．（2023春·甘肃武威·高一民勤县第一中学校考开学考试）设，其中，如果，求实数的取值范围.
【答案】或
【详解】由，而，
对于集合有：
当，即时，，符合；
当，即时，，符合；
当，即时，中有两个元素，而；
∴得；   
综上，或.
16．（2022秋·湖北武汉·高一校考阶段练习）已知集合，.
(1)若时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解不等式可得：，因为，所以，于是.
（2）因为，由，，所以，解得，∴实数的取值范围为.
B能力提升
1．（2023秋·河南·高一校联考期末）已知使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得，
因为使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，
所以不等式的解集是的子集．
由，得，
当，，符合题意；
当，，则，；
当，，符合题意，
综上所述，实数a的取值范围为．
故选：D．
2．（2023·全国·模拟预测）集合，，若集合只有一个子集，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得，
又且集合只有一个子集，则.
当时，集合，则满足，满足题意；
当时，集合，则满足，满足题意；
当时，集合，若满足，则，.
综上，则有.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，

A. 对应的是区域1；    
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；    
D. 对应的是区域4.
故选：B
4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）设表示不大于的最大整数，已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，，，，A正确；
对于C，，，C错误；
对于BD，，，
，，BD正确.
故选：ABD.
5．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是___________．
【答案】
【详解】集合表示直线上的点，
集合表示圆上的点，圆心为，半径，
为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即，
解得.
故答案为：
6．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末）已知集合没有非空真子集，则实数a构成的集合为______.
【答案】
【详解】解：因为集合没有非空真子集，
所以集合中元素的个数为1或0个，
当集合中元素的个数为1个时，
若，则有，解得，符合题意，
若，则有，解得，
当集合中元素的个数为0个时，
则，解得，
综上或，
即实数a构成的集合为.
故答案为：.
C综合素养
1．（2023·高三课时练习）已知集合，对它的非空子集，将中每个元素都乘以再求和，如，可求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，集合中所有非空子集中含有的有类：
（1）单元素的集合只有，即出现了次；
（2）双元素的集合含有的有、、、，即出现了次；
（3）三元素的集合中出现的次数等同于集合中含有个元素的子集个数，此时出现了次；
以此类推可知，元素的集合中出现的次数为集合中含有个元素的子集个数，
即出现了次.
因此，出现的次数为，
同理可知，、、、都出现了次，
因此，对的所有非空子集，这些和的总和为.
故选：D.
2．（2023秋·广西钦州·高一统考期末）当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域其中正确的选项是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于①，当且时，
所以是任何数域的元素，①正确；
对于②，当时，且时，由数域定义知，
所以1+1=2，1+2=3,...1+2018=2019，故选项②正确；
对于③，当时，,故选项③错误；
对于④，如果，，则则，，,且时，,所以有理数集是一个数域.
故选：A
3．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）对于给定的正整数，设集合，，且∅．记为集合中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据题意知A为集合的非空子集，满足的集合只有1个，即；
满足的集合有2个，即{2}，{1，2}；
满足的集合有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；
满足的集合有个，所以，
则，
两式相减得，所以 ，所以；
故选：D.
4．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）已知全集，集合，集合．
条件①；②；③，，使得．
(1)当时，求
(2)定义且，当时，求
(3)若集合A，B满足条件______（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
（1）解不等式，得，解得：，即，有或，
当时，，所以.
（2）由（1）知，，当时，，
所以.
（3）选择①，由（1）知，，因，则，
于是得，解得，
所以实数m的取值范围是．
选择②，由（1）知，，因，则，
于是得，解得，
所以实数m的取值范围是．
选择③，由（1）知，，因，，使得，则，
于是得，解得，
所以实数m的取值范围是．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为．若集合，则______；若集合，且，则正整数的值是______．
【答案】     3     2022
【详解】，则集合，
所以．若集合，
则集合，
故，解得．
故答案为：3；2022