第04讲 一元二次函数（方程，不等式）(讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8798" 第一部分：思维导图 PAGEREF _Tc8798 \h 2
\l "_Tc18757" 第二部分：知识点必背 PAGEREF _Tc18757 \h 4
\l "_Tc15400" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc15400 \h 5
\l "_Tc11946" 高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参） PAGEREF _Tc11946 \h 5
\l "_Tc12249" 高频考点二：一元二次不等式解法（含参） PAGEREF _Tc12249 \h 8
\l "_Tc13210" 高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系 PAGEREF _Tc13210 \h 13
\l "_Tc7705" 高频考点四：一元二次不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc7705 \h 17
\l "_Tc6725" 角度1：上恒成立（优选法） PAGEREF _Tc6725 \h 17
\l "_Tc23543" 角度2：上成立（优选法） PAGEREF _Tc23543 \h 19
\l "_Tc30893" 角度3：上恒成立（优选分离变量法） PAGEREF _Tc30893 \h 21
\l "_Tc12245" 角度4：上成立（优选分离变量法） PAGEREF _Tc12245 \h 24
\l "_Tc2675" 角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法） PAGEREF _Tc2675 \h 26
\l "_Tc17036" 高频考点五：分式不等式 PAGEREF _Tc17036 \h 29
\l "_Tc10710" 高频考点六：一元二次不等式的应用 PAGEREF _Tc10710 \h 33
\l "_Tc20197" 第四部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc20197 \h 34
\l "_Tc29155" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc29155 \h 34
\l "_Tc10647" ②分类与整合思想 PAGEREF _Tc10647 \h 36
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第一部分：思维导图
第二部分：知识点必背
1、二次函数
（1）形式：形如的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
典型例题
例题1．（2023·河北·高三学业考试）不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．D．或
例题2．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．
例题3．（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
练透核心考点
1．（2023秋·广东江门·高一统考期末）不等式的解集是___________.
2．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）不等式的解集是________．
3．（2023·高三课时练习）函数的定义域为______．
（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）不等式的解集为_________．
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
典型例题
例题1．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）对于给定的实数，不等式的解集可能是（ ）
A．{}B．C．D．
例题2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数．
(1)若的解集为，求实数的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式．
例题4．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知函数，．
(1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）已知函数．
(1)当时，求关于x的不等式的解集．
(2)若，求关于x的不等式的解集．
2．（2023秋·海南海口·高一海口一中校考期末）已知函数.
(1)若，求函数在上的最小值；
(2)求关于x的不等式的解集.
3．（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）关于的不等式：
(1)当时，解关于的不等式；
(2)当时，解关于的不等式.
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知不等式的解集是，则的值为（ ）
A．B．7C．D．
例题2．（多选）（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是
D．
例题3．（2023秋·广东湛江·高一统考期末）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．
例题4．（2023·高一课时练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的解集是______．
练透核心考点
1．（多选）（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的不等式的解集为
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为_________.
4．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）若不等式的解集为，则______．
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
角度1：上恒成立（优选法）
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）不等式 的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023春·陕西咸阳·高一校考开学考试）若不等式 的解集为，则实数的范围为（ ）
A．B．或
C．或D．
例题3．（2023秋·湖南怀化·高一统考期末）已知函数.
若，恒成立，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）使命题“，”为真命题的一个充分条件是________.
3．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）当命题“对任意实数，不等式恒成立”是假命题时，则的取值范围是__________.
角度2：上成立（优选法）
典型例题
例题1．（2023·北京·高一校考），使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
例题2．（2023·北京朝阳·高三对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为______．
例题3．（2023·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是______.
练透核心考点
1．（2023·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）若“”为真命题，则实数a的取值范围是_____________．
3．（2023·山东青岛·高一校联考阶段练习）若“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.
角度3：上恒成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考期末）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
例题3．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）若，则的取值范围为__________．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·江苏·高一校联考期末）已知命题p：，.若命题为真命题，则实数a的最大值是______.
4．（2023·全国·高三专题练习）若“，”为真命题，则实数a的取值范围为___________.
角度4：上成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·高三课时练习）若关于的不等式在区间(0，2]上有解，则实数的取值范围是____________
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知.
（1）不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是______ ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______
3．（2023·高一课时练习）若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是______.
角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法）
典型例题
例题1．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数的取值范围是_____.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________.
4．（2023·高一课时练习）已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
高频考点五：分式不等式
典型例题
例题1．（2023秋·北京西城·高一统考期末）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知集合.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·湖北孝感·高一统考期末）已知全集，集合，集合
(1)求，；
(2)集合，若“是的充分不必要条件”，求实数的取值范围．
例题4．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）设集合，
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023秋·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知集合．若，则m的取值范围为____________．
2．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______.
3．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）已知集合，非空集合.
(1)当时，求和；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
4．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式．
高频考点六：一元二次不等式的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏常州·高一统考期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）.
第四部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（多选）（2023·高一专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的值可以是（ ）．
A．3B．4C．5D．6
2．（2023·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，解关于的不等式.
3．（2023·湖北荆门·高一荆门市龙泉中学校考阶段练习）设函数．
(1)若，解关于的不等式．
(2)若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围．
②分类与整合思想
1．（2023秋·安徽·高一校联考期末）已知函数，若不等式的解集非空，则的取值范围是__________.
2．（2023·内蒙古包头·高一）（1）已知二次函数的图象与y轴交于点，与轴的两个交点的横坐标，的平方和为15，求该二次函数的解析式．
（2）在（1）条件下，当时，求一元二次不等式的解集．
3．（2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.不等式
解集
判别式
二次函数的图象
一元二次方程
的根
有两相异实数根，()
有两相等实数根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集