第05讲 复数(讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc15042" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc15042 \h 2
\l "_Tc15599" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc15599 \h 4
\l "_Tc15372" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc15372 \h 6
\l "_Tc27191" 高频考点一：复数的概念 PAGEREF _Tc27191 \h 6
\l "_Tc26589" 高频考点二：复数的几何意义 PAGEREF _Tc26589 \h 8
\l "_Tc30309" 高频考点三：复数分类 PAGEREF _Tc30309 \h 11
\l "_Tc5263" 高频考点四：复数模 PAGEREF _Tc5263 \h 13
\l "_Tc31807" 高频考点五：待定系数求复数 PAGEREF _Tc31807 \h 16
\l "_Tc24664" 高频考点六：复数的四则运算 PAGEREF _Tc24664 \h 18
\l "_Tc32128" 高频考点七：共轭复数 PAGEREF _Tc32128 \h 21
\l "_Tc14562" 第四部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc14562 \h 22
\l "_Tc16541" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc16541 \h 22
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第一部分：知识点必背
1、复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
2、复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
3、复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
5、复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
8、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
（1）复数的三角形式
一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
注意：复数三角形式的特点口诀：
“模非负，角相同，余弦前，加号连”
（2）复数的俯角
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.
复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.
我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.
通常记作，即.
（3）复数代数形式和三角形式的互化
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.
复数的代数形式化三角形式的步骤:
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角(常取它的主值)；
④写出复数的三角形式．
（4）三角形式下复数的相等
两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
9、复数三角形式的乘法
设，的三角形式分别是：，，则
简记为 ：模数相乘，幅角相加
10、复数三角形式的除法
设，，且，
因为，
所以根据复数除法的定义，有.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
简记为 ：模数相除，幅角相减
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，而为实数，故，
故选：B.
2．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
【答案】B
【详解】由题意有，故．
故选：B．
3．（2022·全国（乙卷文）·高考真题）设，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为R，，所以，解得：．
故选：A.
4．（2022·全国（甲卷理）·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
故选 ：C
5．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·高考真题）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
故选：D.
6．（2022·全国（甲卷文）·高考真题）若．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以．
故选：D.
7．（2022·全国（乙卷理）·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
故选:
8．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
9．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．
【答案】##
【详解】．
故答案为：．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：复数的概念
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）下列类比推理命题（其中为有理数集，为实数集，为复数集）：
①“若、，则”类比推出“若、，则”；
②“若、、、，则复数，”类比推出“若、、、，则，”；
③“若、，则”类比推出“若、，则”．
其中，类比结论正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】对①，在复数范围内若，也必然有，故①正确；
对②，由实数和虚数的区别类比于有理数和无理数的区别，
由对应相等，故②正确；
对③，当虚部不为零时，复数不能比较大小，故③错误.
故选：C.
例题2．（多选）（2023·高一单元测试）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若复数满足，则是纯虚数
【答案】AD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，两个虚数不能比较大小，故C不正确；
对于D，设，则，，则，解得，故是虚数，故D正确；
故选：AD
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）以下命题中，正确的是（ ）
A．若，复数中，实部为，虚部为
B．若，当是虚数时，则且
C．若，当时，复数为纯虚数
D．若，当时，复数为实数
【答案】D
【详解】解：选项中，若，复数中，实部为，虚部为，故选项错；
选项中，若，当是虚数时，则，故选项错；
选项中，若，当且时，复数为纯虚数，故选项错；
选项正确.
故选：.
2．（多选）（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A．B．
C．若复数为纯虚数，则D．复数的虚部为
【答案】AD
【详解】对于A中，由虚数的运算性质，可得，所以A正确；
对于B中，根据虚数不能比较大小，所以B不正确；
对于C中，例如：当时，，此时，所以C不正确；
对于D中，根据复数的概念，可得复数的虚部为，所以D正确.
故选：AD.
高频考点二：复数的几何意义
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知平面直角坐标系中是原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应的复数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】向量对应的复数分别记作，，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量，，
由向量减法的坐标运算可得向量，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
故选：B
例题2．（2023·甘肃武威·统考一模）设复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为复数在复平面内对应的点的坐标为，
所以，
所以．
故选：D.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ）
A．不可能为纯虚数
B．在复平面内对应的点可能位于第二象限
C．在复平面内对应的点一定位于第三象限
D．在复平面内对应的点可能位于第四象限
【答案】D
【详解】由为第二象限，其对应辐角范围为，
所以对应辐角为，
故在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴.
所以A、B、C错误，D正确.
故选：D
例题4．（多选）（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考阶段练习）已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则
D．若，则
【答案】ABC
【详解】因为 ，所以，
则，即，则，故选项正确；
因为，所以，
即，则，故选项正确；
设，因为与在复平面上对应的点关于实轴对称，
则，所以，，则，
故选项正确；
若，满足，而，故选项错误；
故选：ABC.
练透核心考点
1．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】由题意得，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限，
故选：C
2．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）复数，复数满足，则下列关于的说法错误的是（ ）
A．B．
C．的虚部为D．在复平面内对应的点在第二象限
【答案】C
【详解】对于A，由已知可得，
，故A正确.
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，根据复数的概念可知的虚部为，故C错误；
对于D，根据复数的概念可知在复平面内对应的点为，故D正确.
故选：C.
3．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】因复数，对应的向量分别是，，则，，
于是得，
所以复数对应的点位于第二象限.
故选：B
4．（2023·高三课时练习）复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数______.
【答案】或
【详解】依题意，，设，
由得：，由得：，
联立解得或，即或，
所以或.
故答案为：或
高频考点三：复数分类
典型例题
例题1．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知复数，，且为纯虚数，则实数___________
【答案】##
【详解】由可得，
∵，
∴，
∵为纯虚数，
∴，即.
故答案为：
例题2．（2023·高一单元测试）已知复数，其中，为虚数单位．
(1)若为实数，求的值；
(2)若为纯虚数，求的虚部．
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）解：若z为实数，则，解得．
（2）解：由题意得解得，
∴，故，
∴的虚部为8．
例题3．（2023·高一课时练习）设复数，．
(1)若是实数，求；
(2)若是纯虚数，求的共轭复数．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，，
，又为实数，
所以，
，所以，
；
（2）解：，
是纯虚数，
，即，所以．
．
练透核心考点
1．（2023·高一单元测试）已知是虚数单位，复数．
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若复数对应的点位于第二象限，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）是纯虚数，
．
（2）复数对应的点位于第二象限
2．（2023·高一单元测试）复数，当m取何实数时：
(1)z为实数；
(2)z为纯虚数；
(3)z对应的点在复平面上实轴的上半部分．
【答案】(1)或
(2)
(3)或
【详解】（1）因为z为实数，所以，解得或
（2）由z为纯虚数，则解得
（3）由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则，解得或
3．（2023·高一单元测试）已知复数（）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）由题意，解得．
（2）∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，
∴，
解得：．∴实效a的取值范围是．
高频考点四：复数模
典型例题
例题1．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）设复数（为虚数单位），则（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【详解】，所以；
故选：D
例题2．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【详解】因为复数满足，则，
所以复数的共轭复数为，则，
故选：.
例题3．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）设，为复数，下列命题一定成立的是（ ）
A．如果，是正实数，那么
B．如果，那
C．如果，是正实数，那么
D．如果，那么
【答案】A
【详解】设，
对A：∵，则，
∴，A正确；
对B：∵，即，则，
不能得到，更不能得到，
例如，则，但，B错误；
对C：∵，则，
但只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，C错误；
对D：∵，则可得，不能得到，
例如，则，但显然，D错误.
故选：A.
例题4．（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）已知,且,为虚数单位,则的最大值是_______．
【答案】4
【详解】解:记,因为,
即,所以复数z表示以为圆心,半径为1的圆C,
而,表示圆C上的点到的距离,
所以距离最大为圆心到的距离再加上半径,
故的最大值为.
故答案为:4
练透核心考点
1．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）设复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B．C． D．2
【答案】D
【详解】由可得，
故，则的虚部为2，
故选：D
2．（2023·高一课时练习）已知、，且，若，则的最大值是（ ）．
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【详解】设，，故，，则，
，
，当时，有最大值为4.
故选：C
3．（2023春·全国·高三竞赛）若为虚数单位，复数，且，则实数______．
【答案】
【详解】
，
，
解得或或，
，
，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
所以；
故答案为:.
4．（2023·高一单元测试）已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．
【答案】8
【详解】解：因为且，
所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆，
所以，表示圆上的点和点的距离，
因为圆心到点的距离为，
，
故答案为：
高频考点五：待定系数求复数
典型例题
例题1．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）若，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，
则
观察得仅满足
故选：D.
例题2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若复数是方程的一个根，则的虚部为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】设，依题意，，
即有，因此，显然，解得，
则有或，即或，
所以的虚部为1.
故选：D
例题3．（2023·高一单元测试）已知复数满足，且为实数，则______．
【答案】或或．
【详解】设
化简得
解得或
将代入可得，
（1）当时，即则有，此时
（2）当时，则，故有则有或
综上所述故或或．
故答案为： 或或．
练透核心考点
1．（2023春·江西·高三校联考开学考试）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【详解】设，，解得
故选：D
2．（多选）（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知为虚数单位，，，则（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】CD
【详解】对于A， ，错误；
对于B，复数不可以比较大小，错误；
对于C， ，正确；
对于D， ，正确；
故选：CD.
3．（2023·高三课时练习）在复数范围内，方程的解的个数是( )
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【详解】设，
则，
即，
则
由②得或，
当时，①化为，
或(舍)，，，
当时，①化为，∵，∴该方程无实数根．
综上，在复数范围内，方程的解为，解的个数为2．
故选：A．
高频考点六：复数的四则运算
典型例题
例题1．（2023·湖南·模拟预测）设是虚数单位，已知复数满足，且复数是纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得
，
又因为为纯虚数，所以，
故选：D．
例题2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为，
所以，
所以．
故选：D．
例题3．（2023·江西南昌·统考一模）设复数满足，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，于是，
故选：C
例题4．（2023·陕西西安·统考一模）复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设复数，则由可得，
即，
则，整理得，
当时，解得，此时，
当时，即，
则结合各选项，该式均不成立，
故选：B
练透核心考点
1．（2023·广东佛山·统考一模）设复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】∵，则，
∴z在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
2．（2023·江西上饶·统考一模）若（为虚数单位），则（ ）
A．B．5C．3D．1
【答案】A
【详解】，
.
故选：A.
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若z满足，则（ ）
A．10B．C．20D．
【答案】B
【详解】由已知得，
所以．
故选：B．
4．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以的虚部为.
故选：B.
高频考点七：共轭复数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数是纯虚数，是实数，则（ ）
A．－B．C．－2D．2
【答案】A
【详解】由题意设，
则，
因为是实数，所以，得，
所以，
所以，
故选：A.
例题2．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】根据题意，得，所以．
所以在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设，则__________.
【答案】4
【详解】，则，
故，
故答案为：4
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z满足，则（ ）
A．B．0C．4D．5
【答案】D
【详解】由，则有，
所以.
故选:D．
2．（2023·全国·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以.
故选：D．
3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知，则复数在复平面内对应的点在第__________象限．
【答案】四
【详解】因为，则，其在复平面内对应点为，在第四象限.
故答案为：四.
第四部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（2023·全国·高一专题练习）设，满足，其在复平面对应的点为，求点构成的集合所表示的图形面积（ ）
A．1B．5C．D．
【答案】D
【详解】设复数，则，.
则等价于，即有.
所以复平面对应的点为表示复平面上以为圆心，以2，3为半径的两个圆所夹的圆环（包括边界），故其面积为．
故选：D.
2．（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知复数满足，则（ ）
A．复数虚部的最大值为2
B．复数实部的取值范围是
C．的最小值为1
D．复数在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
【答案】ABC
【详解】解：满足的复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，如图，
由图可知，虚部最大的复数，即复数z虚部的最大值为2．A正确；
实部最小的复数，实部最大的复数，所以实部的取值范围是，B正确；
表示复数在复平面内对应点到的距离，所以的最小值为，C正确；
由图可知，复数在复平面内对应点位于第一、二、三、四象限，故D错误．
故选：ABC
3．（2023·上海·统考模拟预测）设且，满足，则的取值范围为________________．
【答案】
【详解】设，
，则，
所以，
，所以，
即对应点在以为圆心，半径为的圆上.
，对应点为，
与关于对称，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
表示与两点间的距离，
圆与圆相交，圆心距为，如图所示，
所以的最小值为，最大值为，
所以的取值范围为.
故答案为：
4．（2023·全国·高一专题练习）设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为______．
【答案】
【详解】设.
由，可知，即，即.
因为，，，所以，
则可化为，解得.
即集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线），如图所示.所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分.
弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角，圆的半径，
则扇形的面积，，
所以弓形的面积为.
故答案为：.