第02讲函数的单调性与最大（小）值（逐级突破)-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第02讲 函数的单调性与最大（小）值 (精练（分层练习）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）下列四个函数中，在上单调递增的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】在上单调递减，故A错误；
在上单调递增，故B正确；
在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
在上单调递减，故D错误.
故选:B.
2．（2023秋·广东东莞·高一统考期末）“”是“在上单调递增”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】在单调递增，充分性成立，
若时在单调递增，但是不满足，所以必要性不成立.
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】若是真命题，由题意知不等式有解，
，解得:.
因此，实数的取值范围是.
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上的最大值是,最小值是,则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知抛物线得对称轴为,开口向上,
在对称轴的左侧,对称轴的左侧图象为单调递减,在对称轴左侧时有最大值,
上有最大值,最小值,当时,,
的取值范围必须大于或等于,抛物线得图象关于对称,,所以.
故选：A.
5．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数在上是减函数，
当时，恒成立，
而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，
当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，
因此，并且，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
6．（2023·全国·高三专题练习）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵函数是定义在上的减函数，且，
∴，解得.
故选：C
7．（2023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
函数在上单调递减，所以，
因为恒成立，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则函数的值域为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，因为，
所以；
故选：D.

二、多选题
9．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）下列函数中满足“对任意，都有”的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】对任意，都有，在上单调递增；
对于A，由一次函数性质知：在上单调递增，A正确；
对于B，由反比例函数性质知：在上单调递减，B错误；
对于C，由二次函数性质知：对称轴为，则在上单调递增，C正确；
对于D，由对数函数性质知：在上单调递增，则在上单调递减，D错误.
故选：AC.
10．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数的最小值为，则的可能取值是（    ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AB
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数，
，对称轴为，
当时，
当时，，
要想函数的最小值为，只需，即，
显然选项AB符合，
当时，
当时，，显然不是，
综上所述：只有选项AB符合条件，
故选：AB
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．
【答案】(1，＋∞)
【详解】由题意，函数满足，解得或，
即函数的定义域为，
令，
则函数在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数 的单调递增区间是 ；
故答案为： .
12．（2023秋·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）若关于的不等式的解集为R，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】当得：，满足题意；当时，要想保证关于的不等式的解集为R，则要满足：，解得：，综上：的取值范围为
故答案为：
四、解答题
13．（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）已知，.
(1)解不等式；
(2)判断并证明函数的单调性.
【答案】(1)
(2)减函数，证明见解析
【详解】（1）由，，得，解得，即不等式解集为.
（2）在为减函数.证明如下：
设，则，
因为，，，
所以，
即.
所以是上的减函数.
14．（2023·高一课时练习）已知函数的表达式，求在上的最大值和最小值．
【答案】最大值为2，最小值为．
【详解】因为在上为严格减函数，
所以函数在上为严格减函数．
所以当时，
的最大值为，最小值为．
15．（2023春·高一校考开学考试）已知函数
(1)作出函数的图象；
(2)写出函数的单调区间；
(3)当时，求的值域.
【答案】(1)见解析
(2)单调增区间为，单调减区间为
(3)
【详解】（1）解：，
作出函数图象，如图所示：

（2）解：由图可得：函数的单调增区间为，
单调减区间为；
（3）解：因为函数在上递减，
所以，
所以的值域为.
16．（2023·高一课时练习）已知函数.
(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；
(2)求函数在上的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【详解】（1）设对任意的，
则
由题设可得，，，
，即.
故函数在上为减函数..
（2）由（1）得在上为减函数，
函数在上的最大值为.
B能力提升
1．（2023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末），，若对任意的，存在，使，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数，
因为，所以在的值域为，
函数在的值域为，
因为对任意的，存在，使，
所以，
所以，解得．
故选：A．
2．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知函数，用表示中的较小者，记为，则的最大值为（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】令，即,解得,
所以，
当时，由在定义域内单调递减可得，
当时，由二次函数的性质可得,
综上，函数的最大值为，
故选：D
3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知函数.
(1)证明:函数为奇函数；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)在区间上是增函数；证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为 ，关于原点对称，
函数，又 ,
所以，函数为奇函数.
（2）在区间上是增函数.
证明：对于任意且 ，
作差：，

,
，
即，
函数在区间上是增函数.
C综合素养
1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）下列函数中，对任意且，同时满足性质：（1）；（2）的函数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对于AD，因为对任意且，，
不妨设，则，所以，即，
所以在上单调递减，
而与在上单调递增，故AD错误；
对于BC，因为对任意且，，
所以的图像在上是凹形曲线，
而的图像在上是凸形曲线，故C错误；
而的图像在上是凹形曲线，同时在上单调递减，故B正确.
故选：B．
2．（2023秋·山东滨州·高一统考期末）定义，若，则关于函数的三个结论：
①该函数值域为；②该函数在上单调递减；③若方程恰有四个不等的实数根，则m的取值范围是.其中正确结论的个数是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】令，得或，
则，
则函数在上递减，
又当时，，所以该函数在上单调递减，故②正确；
当时，，
当或，，
所以函数的值域为，故①错误；
方程实根的个数，即为函数交点的个数，
作出两个函数的图象如图所示，
由图可知两函数图象有4个交点时，m的取值范围是，故③正确，
所以正确结论的个数是2个.

故选：C.
3．（2023秋·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）已知二次函数.
(1)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围；
(2)已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）因为二次函数，
所以关于的不等式对恒成立，
转化为对恒成立，
即对恒成立，
令，记，因为，所以，
则，因为在上单调递增，
所以，，所以；
（2）对，使不等式成立，
转化为
，
在上单调递增，
，
，
①当，即时，在上单调递增，
，
此时，且，解得；
②当，即时，在上单调递减，

此时，且，解得；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

此时，且，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
4．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）如图所示，为增加学生劳动技术实践活动区域，学校计划将一矩形试验田扩建成一个更大的矩形试验田，要求在的延长线上，在的延长线上，且对角线过点．已米，米，设（单位：米），记矩形试验田的面积为．

(1)要使不小于64平方米，求的取值范围；
(2)若（单位：米），求的最大值及此时的长度．
【答案】(1)
(2)的最大值为（平方米），此时的长度为米
【详解】（1）由题意可知，则，
故，要使S不小于64平方米，
则，且，解得或，即x的取值范围为.
（2）因为，令，由于，所以，
则，所以
即当时，取到最大值，则的最大值为（平方米），此时的长度为米.