第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性（讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc4759" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc4759 \h 2
\l "_Tc20856" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc20856 \h 4
\l "_Tc13673" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc13673 \h 8
\l "_Tc30723" 高频考点一：函数奇偶性 PAGEREF _Tc30723 \h 8
\l "_Tc13407" 角度1：判断函数奇偶性 PAGEREF _Tc13407 \h 8
\l "_Tc17538" 角度2：根据函数奇偶性求解析式 PAGEREF _Tc17538 \h 10
\l "_Tc3942" 角度3：函数奇偶性的应用 PAGEREF _Tc3942 \h 13
\l "_Tc7169" 角度4：由函数奇偶性求参数 PAGEREF _Tc7169 \h 15
\l "_Tc20685" 角度5：奇偶性+单调性解不等式 PAGEREF _Tc20685 \h 18
\l "_Tc31549" 高频考点二：函数周期性及其应用 PAGEREF _Tc31549 \h 21
\l "_Tc22368" 角度1：由函数周期性求函数值 PAGEREF _Tc22368 \h 21
\l "_Tc20179" 角度2：由函数周期性求解析式 PAGEREF _Tc20179 \h 24
\l "_Tc10842" 高频考点三：函数的对称性 PAGEREF _Tc10842 \h 26
\l "_Tc25042" 角度1：由函数对称性求解析式 PAGEREF _Tc25042 \h 26
\l "_Tc28204" 角度2：由函数对称性求函数值或参数 PAGEREF _Tc28204 \h 27
\l "_Tc15881" 角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用 PAGEREF _Tc15881 \h 30
\l "_Tc2081" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc2081 \h 33
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第一部分：知识点必背
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.
②，在它们的公共定义域上有下面的结论：
③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（乙卷理）·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国（新高考Ⅱ）·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国（甲卷文）·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国（甲卷理）·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国（乙卷文理）·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国（乙卷文）·高考真题）若是奇函数，则_____，______．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数奇偶性
角度1：判断函数奇偶性
典型例题
例题1．（2023秋·广东揭阳·高一校考期末）下列函数中是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的表达式，讨论的奇偶性，并说明理由．
练透核心考点
1．（多选）（2023秋·广东广州·高一统考期末）下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·甘肃武威·高一统考开学考试）判断下列函数的奇偶性.
(1);
(2).
3．（2023秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）设函数．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．
角度2：根据函数奇偶性求解析式
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
例题2．（多选）（2023秋·广东深圳·高一校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，则（ ）
A．的最大值为1B．在区间上单调递减
C．的解集为D．当时，
例题3．（2023春·北京·高一校考开学考试）设是定义在上的奇函数，且时，，求的解析式___________.
例题4．（2023秋·湖南永州·高一统考期末）已知是定义在上的偶函数，且时，.
求函数在上的解析式，并判断其单调性（无需证明）；
练透核心考点
1．（2023秋·广东肇庆·高一统考期末）已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是_____________．
2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知函数定义在上的偶函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
3．（2023秋·云南楚雄·高一统考期末）已知为上的偶函数，当时，．
(1)当时，求的解析式；
4．（2023秋·四川成都·高一统考期末）已知是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)若，试用单调性的定义证明函数在上单调递减．
角度3：函数奇偶性的应用
典型例题
例题1．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）已知函数，若，则（ ）
A．B．2022C．2023D．
例题2．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·广东湛江·高一统考期末）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为__________．
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）设函数，若，则______．
2．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知，若，求______.
3．（2023·上海·高一专题练习）若奇函数在区间内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数在区间内的最值．
角度4：由函数奇偶性求参数
典型例题
例题1．（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）已知函数是偶函数，则（ ）
A．2B．1C．D．
例题2．（2023·上海·高一专题练习）如果为奇函数，那么__．
例题3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）若函数为奇函数，则__________（结果用数字表示）.
例题4．（2023春·北京·高一校考开学考试）已知函数，且函数是偶函数，求实数___________
练透核心考点
1．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知定义域为的奇函数，则_______.
2．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）已知函数是偶函数．
(1)求的值；
3．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
4．（2023秋·山东济宁·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明；
角度5：奇偶性+单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023秋·辽宁鞍山·高一统考期末）设是定义在上的偶函数，且在单调递增，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·福建龙岩·高一统考期末）若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023春·新疆·高三校考阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
例题4．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集是___________.
练透核心考点
1．（2023春·广东广州·高一统考开学考试）若定义在R的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·湖南长沙·高一长沙麓山国际实验学校校考开学考试）已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知是定义在上的偶函数，若、时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）若函数f(x)是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使成立的x的取值范围是_____________ ．
高频考点二：函数周期性及其应用
角度1：由函数周期性求函数值
典型例题
例题1．（陕西省安康市2023届高三下学期二模文科数学试题）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2．
例题2．（陕西省安康市2022-2023学年高一下学期开学摸底考试数学试题）设是定义域为的偶函数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（广东省广州市第一中学2022-2023学年高一上学期1月月考数学试题）已知函数满足，且当时，，则_______________．
练透核心考点
1．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）设f（x）是定义城为R的奇函数，且．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（山东省山东师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．2B．1C．D．0
（辽宁省阜新市第二十中学2023届高三下学期模拟考试数学试题）若函数为奇函数，且，若，则_________．
角度2：由函数周期性求解析式
典型例题
例题1．（2023秋·湖南郴州·高一校联考期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足：，且当时，，若，则实数的值为（ ）
A．2B．1C．0D．-1
例题3．（2022秋·江苏无锡·高三校考阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，且周期为2，当时，，则当时，________.
练透核心考点
1．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上奇函数，且满足,当时，，则当时的最大值为
A．B．C．1D．0
3．（2022秋·全国·高一专题练习）已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______.
高频考点三：函数的对称性
角度1：由函数对称性求解析式
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象与的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·高一课时练习）已知定义在上的函数不是常函数，且同时满足：①的图象关于对称；②对任意，均存在使得成立.则函数______.（写出一个符合条件的答案即可）
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，满足，则______.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且满足，则（ ）.
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)若在上时单调函数，求实数的取值范围.
角度2：由函数对称性求函数值或参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若的图像关于直线对称，则_________.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对定义域内任意的都有则实数等于（ ）
A．4B．-4C．D．
2．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）已知函数的定义域为，且函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且满足，则（ ）.
A．B．C．D．
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用
典型例题
例题1．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）若函数的定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ）
①的一个周期为2 ②
③ ④直线是图象的一条对称轴
A．1B．2C．3D．4
例题2．（多选）（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数的周期为2B．函数的图象关于对称
C．函数为偶函数D．函数的图象关于对称
例题3．（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足是上的偶函数，且，则__________.
练透核心考点
1．（2023·全国·校联考一模）已知函数的定义域为，若，且为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·甘肃武威·统考一模）定义在上的奇函数满足，当时，，则__________.
3．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）若函数为奇函数，且，若，则_________．
第四部分：高考新题型
①开放性题型
1．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时具有下列性质①②③的函数___________.①是定义域为的奇函数；②；③.
2．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）函数满足：①定义域为，②，③.请写出满足上述条件的一个函数，___________.
3．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时满足①②的函数___________.①是偶函数，②.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数不是常值函数，且同时满足:①；②对任意，均存在使得成立；则函数=__________.(写出一个符合条件的答案即可)
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②；③在上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数_________．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数
图象关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数
图象关于原点对称
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数