第04讲幂函数与二次函数（讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7221" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc7221 \h 2
\l "_Tc22738" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc22738 \h 3
\l "_Tc7433" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc7433 \h 4
\l "_Tc18734" 高频考点一：幂函数的定义 PAGEREF _Tc18734 \h 4
\l "_Tc26004" 角度1：求幂函数的值 PAGEREF _Tc26004 \h 4
\l "_Tc19540" 角度2：求幂函数的解析式 PAGEREF _Tc19540 \h 5
\l "_Tc18670" 角度3：由幂函数求参数 PAGEREF _Tc18670 \h 6
\l "_Tc21118" 高频考点二：幂函数的值域 PAGEREF _Tc21118 \h 8
\l "_Tc16872" 高频考点三：幂函数图象 PAGEREF _Tc16872 \h 9
\l "_Tc28875" 角度1：判断幂函数图象 PAGEREF _Tc28875 \h 9
\l "_Tc18537" 角度2：幂函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc18537 \h 13
\l "_Tc16813" 高频考点四：幂函数单调性 PAGEREF _Tc16813 \h 14
\l "_Tc3770" 角度1：判断幂函数的单调性 PAGEREF _Tc3770 \h 14
\l "_Tc4467" 角度2：由幂函数单调性求参数 PAGEREF _Tc4467 \h 16
\l "_Tc20054" 角度3：由幂函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc20054 \h 17
\l "_Tc119" 高频考点五：幂函数的奇偶性 PAGEREF _Tc119 \h 20
\l "_Tc18409" 高频考点六：二次函数 PAGEREF _Tc18409 \h 23
\l "_Tc20352" 角度1：二次函数值域问题 PAGEREF _Tc20352 \h 23
\l "_Tc30891" 角度2：求二次函数解析式 PAGEREF _Tc30891 \h 24
\l "_Tc28745" 角度3：由二次函数单调性（区间）求参数 PAGEREF _Tc28745 \h 27
\l "_Tc22335" 角度4：根据二次函数最值（值域）求参数 PAGEREF _Tc22335 \h 29
\l "_Tc862" 角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题 PAGEREF _Tc862 \h 32
\l "_Tc15534" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc15534 \h 36
\l "_Tc30115" ①开放性试题 PAGEREF _Tc30115 \h 36
\l "_Tc583" ②劣够性试题 PAGEREF _Tc583 \h 37
\l "_Tc17213" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc17213 \h 39
\l "_Tc25445" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc25445 \h 39
\l "_Tc21185" ②分类讨论的思想 PAGEREF _Tc21185 \h 42
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第一部分：知识点必背
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
（2）五种常见幂函数
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数，在
①当时，在单调递增；
②当时，在单调递减；
2、二次函数
形如的函数叫做二次函数.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，故.
故答案为：C.
2．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）已知幂函数的图象过点，则（ ）．
A．B．4C．D．8
【答案】C
【详解】因为函数为幂函数，所以可设f（x）＝xa，
因为图象过，
所以 ，
所以，即，
所以
故选：C
例题2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）若函数是幂函数，且在上单调递增，则___________.
【答案】
【详解】因为函数是幂函数，且在上单调递增，
所以，解得，
所以，
所以，
故答案为：2
练透核心考点
1．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】B
【详解】设幂函数为，图象过点，故，故，
，.
故选：B
2．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【详解】，，，代入分别是，
在定义域内，即是偶函数，因此取值或0，
时，在上不是减函数，
只有满足，此时，，
．
故选：B．
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】C
【详解】由为幂函数，知.又函数图像过点，则，故.
故选：C
例题2．（2023秋·北京·高一校考期末）若点在幂函数的图像上，则的值为__________.
【答案】3
【详解】因为为幂函数，则，，
即，
又点在函数的图像上，
则，解得，
所以
故答案为：3.
练透核心考点
1．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知幂函数的图象过点，则_________.
【答案】
【详解】设函数，又因为幂函数的图象过点，
所以，解得：，所以函数，
故答案为：.
2．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则___________．
【答案】
【详解】设幂函数为为常数)，因为幂函数过点，
所以，则，
所以，
故答案为：.
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（2023·湖南湘西·高一统考）已知幂函数的图像不过原点，则实数的值为（ ）
A．1B．2
C．－2D．1或2
【答案】A
【详解】函数是幂函数，
，解得或．
当时，，图像不过原点，符合题意；
当时，，图像过原点，不符合题意．
故选：A．
例题2．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考）已知函数是幂函数，则实数__________.
【答案】2
【详解】因为函数是幂函数，则，解得，
所以.
故答案为：2
练透核心考点
1．（2022秋·四川宜宾·高一统考期末）若是定义域为的幂函数，则_________.
【答案】
【详解】因为是幂函数，则有，解得，
此时函数的定义域为，符合题意，所以.
故答案为：1
2．（2023春·陕西咸阳·高一校考开学考试）已知幂函数在上为增函数，则___________.
【答案】
【详解】因为幂函数在上为增函数，则，解得.
故答案为：.
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校考）已知函数，为何值时,
(1)是幂函数；
(2)是二次函数.
【答案】(1)或；
(2).
【详解】（1）解：因为函数为幂函数，则，
解得或.
（2）解：因为函数为二次函数，则，
解得，此时符合题意.
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，定义域、值域相同；
由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，，定义域、值域不相同.
故选：D
例题2．（2022·江苏·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
【答案】(1)或或
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）解：依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或
（2）解：若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；
若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
（3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
练透核心考点
1．（2022秋·广东广州·高一广州市第一一三中学校考期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，
代入点得
，
则，令，
函数的值域是.
故选：C.
2．（2023·高一课时练习）函数，其中，则其值域为___________.
【答案】##
【详解】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为.
故答案为：
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设，因为的图象经过点，
所以，即，解得，则，
因为，所以为偶函数，排除B、D，
因为的定义域为，排除A．
因为在内单调递增，结合偶函数可得在内单调递减，故C满足，
故选：C.
例题2．（2023·山东临沂·高一校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【答案】A
【详解】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；
，其图像应与④对应．
故选：A．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么________.
【答案】
【详解】，点，，
所以，，
将两点坐标分别代入，，
得，，
，
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】设幂函数，将点代入，得，解得，
所以，定义域为，且在定义域内单调递增，大致图像为B，
故选：B．
2．（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考期末）已知某幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：设幂函数为，由函数过点，
所以，即，所以，解得，
所以，则函数的定义域为，且，
故为偶函数，且函数在上单调递减，则函数在上单调递增，
故符合题意的为D；
故选：D
3．（2023·高一课时练习）函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．
故选：C
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）当时，函数的图象恒过定点，则点的坐标为________．
【答案】
【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,
故答案为：
例题2．（2023·高一课时练习）幂函数的图像恒过定点______．
【答案】
【详解】幂函数的图像恒过定点.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）函数恒过定点______．
【答案】
【详解】当，即时，，函数恒过定点.
故答案为：.
2．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．
【答案】
【详解】因为，故当，即时，，
即函数恒过定点.
故答案为：.
高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（2023春·云南文山·高二校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】A：一次函数的性质知在上是减函数，不合题意．
B：定义域为R且，为非奇非偶且是减函数，不合题意；
C：定义域为R且，为偶函数且在R上不单调，不合题意．
D：定义域为R且，为奇函数且在上是增函数，符合题意.
故选：D．
例题2．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（ ）
A．-2B．C．2D．3
【答案】C
【详解】对选项A：，，函数在上单调递减，错误；
对选项B：，，函数定义域为，不是偶函数，错误；
对选项C：，，函数定义域为，，函数为偶函数，且在上单调递增，正确；
对选项D：，，函数定义域为，，函数为奇函数，错误；
故选：C
例题3．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）若幂函数为减函数，则实数的值为______.
【答案】
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，满足在区间上是减函数，
当时，，不满足在区间上是减函数，
故答案为：
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知幂函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．1或B．C．1D．
【答案】C
【详解】由幂函数定义得，解得：或．
当时，，利用幂函数性质知：在上单调递减；
当时，，利用幂函数性质知：在上单调递增，不符题意舍去.
故选：C.
2．（2023秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数的单调增区间是______.
【答案】
【详解】在上递增，在上递增，
所以函数的单调增区间是.
故答案为：
3．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数在其定义域上的单调性是______.
【答案】单调递增
【详解】幂函数，定义域，指数为，满足，
故函数在其定义域上的单调性是单调递增，
故答案为：单调递增.
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·河北承德·高一统考期末）若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．3B．1或3C．4D．4或6
【答案】A
【详解】解：因为幂函数在上单调递增，
所以，解得.
故选：A
例题2．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考开学考试）“”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充要
【答案】D
【详解】解：因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
所以“”是“幂函数在上单调递减”的充要条件.
故选：D
例题3．（2023秋·四川内江·高一统考期末）已知在区间上是单调增函数，则的取值范围为______.
【答案】
【详解】由在区间上是单调增函数，有，解得，则a的取值范围为.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为___________.
【答案】1
【详解】根据幂函数的定义可得，解得或，
当时，在上单调递减，不合题意；
当时，在上单调递增，符合题意.
故答案为：.
2．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知实数，若幂函数为偶函数，且在上严格递减，则实数__________．
【答案】
【详解】因在上单调递减，则；又为偶函数，则
.
故答案为：.
3．（2023秋·安徽宣城·高一统考期末）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数__________.
【答案】或3
【详解】函数是幂函数，且在上单调递增，
则有，解得或.
故答案为：或3
角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023春·甘肃张掖·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设幂函数，其图象过点，所以，解得，
所以.
因为，所以为奇函数，且在上单调递增，
所以可化为，
可得，解得，所以的取值范围为.
故选:C.
例题2．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）已知幂函数经过点，则不等式的解集为___________．
【答案】
【详解】设幂函数，
由题意得，解得，故，，
则，即为，
根据在上为单调增函数，则有，
解得，故解集为，
故答案为：．
例题3．（2023春·高一校考开学考试）已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．
(1)求的值；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为幂函数(Z)的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，
为偶数，为奇数，
因为函数在上是单调递减函数，所以，解得，
因为Z，则，，，
当时，为偶数，舍去；
当时，为奇数，
当时，为偶数，舍去；
故；
（2）由（1）可得，定义域为，且在上是单调递减函数，为偶函数，
又，即，且，解得且，
所以不等式的解集为．
练透核心考点
1．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】设幂函数，，
因为幂函数的图象过点，所以，解得，
所以，的定义域为，且在上单调递减，
因为，所以，解得，
故答案为：
2．（2023·高一课时练习）关于的不等式的解集为__________.
【答案】
【详解】因为函数的定义域为，
由，可得为奇函数，
因为，所以在和上单调递减，
当即时，
由可得，解得，
所以，
当，即或时，
由可得，解得，
所以，
综上所述：原不等式的解集为，
故答案为：.
3．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知幂函数，则，解得或，
所以或，又函数为偶函数，所以；
（2）由于幂函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在单调递减，
若，则，平方后解得，
所以x的取值范围是.
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2023秋·江苏常州·高一统考期末）下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对选项A，在为增函数，故A错误.
对选项B，在为增函数，故B错误.
对选项C，在为减函数，
设，定义域为，
，所以为偶函数，故C错误.
对选项D，在为减函数，
设，定义域为，
，所以为奇函数，故D正确.
故选：D
例题2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为__________.
【答案】
【详解】为幂函数，，解得：或；
当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不合题意；
综上所述：.
故答案为：.
例题3．（2023秋·江西新余·高一统考期末）已知幂函数的图像关于轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或．
又的图像关于y轴对称，所以，
故．
（2）由（1）可知，．
因为，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故在上的值域为．
练透核心考点
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：为奇函数，，为偶函数，
但在单调递增，所以在单调递减，
而为偶函数且在单调递增.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，解得或，
又在上单调递增，所以，，
所以，，易知是偶函数，
所以由得，解得或.
故选：D.
3．（2023·高一课时练习）已知幂函数的表达式为，函数的图像关于轴对称，且满足，求的值．
【答案】
【详解】∵为幂函数，∴，解得；
又，∴，解得．
∵，∴或．
当时，，此时的图像关于原点对称，不合题意；
当时，，满足题意，∴．
∴．
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）函数在区间上（ ）
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
【答案】A
【详解】解：因为，
所以函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，如图所示：
由此可得函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，无最小值.
故选：A.
例题2．（2022秋·吉林白城·高一统考期末）函数，的值域是______.
【答案】
【详解】因为，
∴函数的最小值是2，又，，
∴函数的值域是.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2022秋·江苏南京·高一校考期中）已知函数，，函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当时，，则.
故选：D.
2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）若函数，，则的值域为___________.
【答案】
【详解】函数，对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
，
故的值域为.
故答案为：.
3．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）已知二次函数，则的值域是___________．
【答案】
【详解】解：二次函数，
，
因为 ，
所以，
所以的值域是，
故答案为：
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：__________．
①的最小值为；②的一次项系数为；③；④．
【答案】######
【详解】第一种情况：具有①②③三个性质，由②③可设，则根据①可得：，解得，所以．
第二种情况：具有①②④三个性质，由①④可设，则根据②可得：，解得，所以．
第三种情况：具有①③④三个性质，由①④可设，则根据③可得：，解得：，所以．
第四种情况：具有②③④三个性质，由②③可设，则根据④可得：，解得，所以．
故答案为：或或或.（不唯一）
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知是二次函数且，，则_____.
【答案】
【详解】因为是二次函数且，所以设．
又因为，
所以，
整理得，所以，
解得，，所以 .
故答案为：.
例题3．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）在①不等式的解集为，②当时，取得最大值4，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知函数，且__________.
(1)求的解析式；
(2)若在上的值域为，求的值.
【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）若选①：由函数，且不等式的解集为，
即是方程两个实数根，且，
可得，解得，
所以；
若选②：由题意可得，解得，
故；
若选③：因为，所以图象的对称轴方程为，
则，即，
因为，所以，
故.
（2）因为在上的值域为，所以，即，
因为图象的对称轴方程为，所以在上单调递减，
则，
解得，即.
练透核心考点
1．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知二次函数的图象过点.
(1)求的解析式，并写出的单调递增区间（不要求证明）；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）因为函数的图象过点，
所以,解得.
所以的解析式为.
，故的单调递增区间为.
（2）即为,
即，解得或.
故不等式的解集为.
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考期末）设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：依题意，解得，所以；
（2）解：由（1）可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
即、，所以.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________.
【答案】
【详解】解：（1）①，用代替上式中的，得②，联立①②，可得；设，所以，即，
所以，解得，，又，得，所以.
故答案为：，
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题1．（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】函数的对称轴为.
若函数在区间上单调递减，则应有，所以；
若函数在区间上单调递增，则应有，所以.
综上所述，实数k的取值范围是或.
故选：C.
例题2．（多选）（2023秋·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考期末）函数在上不单调，则实数的取值可能是（ ）
A．－1B．0
C．1D．2
【答案】BC
【详解】因为函数在上不单调，
所以，
所以，
所以，
故选：BC.
例题3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数，在上是减函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为函数在R上是减函数，
根据题意：，解得.
故答案为：.
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数在区间不单调的充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】解在区间上不单调，
又的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，
原命题的充要条件为，即，
原命题的一个充分不必要条件只有B、C选项满足，
故选：BC．
2．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】函数在上是严格减函数，依题意，，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
3．（2023秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：因为二次函数在区间上为严格减函数，
所以，即，解得,
所以，实数的取值范围是
故答案为：
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】的对称轴为，当时，，时，
故当时，设另一根为，解得，要使定义域为时，值域为，故.
故选：B
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，
时时，
函数的部分图象及在上的的图象如图所示.
所以为使函数在上的值域为，实数m的取值范围是，
故选：B.
例题3．（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知二次函数满足，请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，完成下面问题.
①；②不等式的解集为.
(1)求的解析式；
(2)若在上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，由得，，即，
若选择①：则，
即，
则，，解得，，即；
若选择②：则不等式的解集为，即，且方程的两根为和4，
则，，解得，，即；
（2）由（1）知，函数开口向上，
对称轴为直线，且，，
若在上的值域为，则，
令，解得或，根据二次函数的图象知，，
综上所述：实数的取值范围为.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A．B．－3C．或－3D．4
【答案】C
【详解】由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得；
③当a