第05讲指数与指数函数（逐级突破)-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第05讲 指数与指数函数 (精练（分层练习）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·天津河西·高一统考期末）（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
2．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）指数函数与的图象如图所示，则（     ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，指数函数是增函数；当时，指数函数是减函数，
所以根据函数的图象可知，．
故选：C．
3．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数（其中，）的图象恒过的定点是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，即，得，
函数（其中，）的图象恒过的定点是.
故选：B.
4．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式．若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为55元/千克，则6级果的市场销售单价约为（    ）（参考数据：）
A．156元/千克 B．158元/千克 C．160元/千克 D．164元/千克
【答案】A
【详解】由题意可知，解得，由，可得．
故选：A.
5．（2023秋·山东德州·高一统考期末）函数的值域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，由，则，所以，所以，又，所以函数的值域为.
故选：B
6．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，定义域为，且，
所以函数为定义域内的奇函数，且在上单调递增；
则，则，即，即，
又因为为定义域内的奇函数，所以，
又因为在上单调递增，所以，
解得或，
故实数a的取值范围是.
故选：C
7．（2023春·四川成都·高三校联考期末）按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，某教室空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（    ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
【答案】C
【详解】由题意可知，当时，由，可得，所以，，
由可得，解得（分钟），
因此，该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为分钟.
故选：C.
8．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为在上单调递增，
当时，在上单调递增，所以；
当时，在上单调递增，所以，即；
同时，在处，，即，即，
因为，所以，即，
解得或（舍去），
综上：，即.
故选：B.
二、多选题
9．（2023秋·河南郑州·高一统考期末）已知实数a，b满足等式，下列式子可以成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】设，分别作出的函数图象，如图所示：
当，则，A成立；
当，则，B成立，C不成立；
当时，则，D成立.
故选：ABD.

10．（2023·高一课时练习）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（    ）
A． B．若，且，则
C．若，则 D．的值域为
【答案】ABD
【详解】函数的图像过原点，，即，，
且的图像无限接近直线，但又不与该直线相交，，，，故A确；
由于为偶函数，故若，且，则，即，故B确，
由于在上，单调递减，故若，则，故C错误，
由于，，，，故D确；
故选：ABD
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）若，则=____________
【答案】
【详解】因为

，
所以.
故答案为:
12．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是______．
【答案】
【详解】函数的图象如图所示，

满足可得或.
解得.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知函数的图象经过点．
(1)求实数b；
(2)若，求x的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）函数经过点，则（），
所以．
（2）因为，所以函数在上为减函数，
又因为，所以，即，解得或，
所以的取值集合为．
14．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知.
(1)求证：为奇函数；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以函数为奇函数.
（2），
因为，所以，所以，所以，
所以，即函数的值域为.
B能力提升
1．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）若，，且满足，那么（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，可得.
因为函数在上单调递减，所以.
因为函数在上单调递减，所以.
因为函数在上单调递减，所以.
综上，.
故选：C
2．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对任意，都有成立，即时，恒成立，
∴是增函数，
∴，解得,
故选：B．
3．（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】当时，；
当时，.
因为原函数的值域为，即，
则，解得.
故答案为：.
4．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）已知函数，则函数的值域为___．
【答案】
【详解】设，则，此时，
当时，即 ，函数取得最小值，此时最小值为；
当时，即 ，函数取得最大值，此时最大值为．
故答案为：.
5．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数．
(1)判定函数在上的单调性并用定义证明；
(2)若函数在内有零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)增函数，证明见解析
(2)
【详解】（1）为增函数，证明如下，
证明：设，，且，

，
∵，∴，，，
∴，即，
∴函数f(x)在上为增函数；
（2）由题意知，方程，得，
若方程在内有根，
则函数与在上图象有交点，
由（1）可知，函数，在上为增函数，
又知函数是R上的偶函数，
则在上，，
∴m的取值范围为．
C综合素养
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递减．
因为，
所以由，得，即，
所以，即对于任意的恒成立，
而，则，即实数的取值范围是．
故选：A．
2．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】方法一：函数，
因为，所以，
所以.所以.
所以，即.
当时，；
当时，.
故的值域为.
故选：B.
方法二：由，得.
因为，所以，解得.
当时，；
当时，.
所以的值域为.
故选：B.
3．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）里氏震级是一种由科学家里克特 (Richter)和古登堡 (Gutenberg) 在1935年提出的地震震级标度， 其计算公式为，其中是距震源 100 公里处接收到的 0 级地震的地震波的最大振幅，是指这次地震在距震源100公里处接收到的地震波的最大振幅. 震源放出的能量越大，震级就越大，地震释放的能量焦耳. 若地震释放的能量增大为原来的1000倍，则地震波的最大振幅增大为原来的（    ）
A．10 倍 B．15 倍 C．48 倍 D．100 倍
【答案】D
【详解】设地震变化前释放的能量为，震级为，最大振幅为，
变化后地震释放的能量为，震级为，最大振幅为，
则， ，
因为，所以，
所以，所以.
故选：D.
4．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）已知函数，且，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】由联想到构造，因为，
所以考虑，令，
由，可知函数为奇函数
又，所以函数在R上单调递增．
由，得，
即，由奇函数性质可得
，因为在R上单调递增，所以，解得.
故答案为：.
5．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）设，函数.
(1)若，求证：函数为奇函数；
(2)若，判断并证明函数的单调性；
(3)若，函数在区间上的取值范围是，求的范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）当时，有且定义域为，
综上有：的定义域关于原点对称且，即为奇函数；
（2）时，有，即定义域为，结论为：在上单调递增.
设对任意两个实数：，则
而，
，即得证.
（3）由知，，由知：，所以，，所以或，
当时，由（2）知在上单调递增，结合题意有，
，得，即是的两个不同的实根，
令，则在上有两个不同实根，
故，可得，
当时，在上都递减，
若，有，则与矛盾，舍去；
若，有，即有
即，所以，两式相减得
，又，即有，则；
综上有.