第06讲对数与对数函数（逐级突破)-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第06讲 对数与对数函数 (精练（分层练习）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，解得，故定义域为.
故选：B.
2．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据幂函数在上为增函数，可得，即，
又，所以.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为：．若提速前列车的声强级是100dB，提速后列车的声强级是50dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（    ）
A．106倍 B．105倍 C．104倍 D．103倍
【答案】B
【详解】由题意知，
，
得，
则，即，
解得.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）下列运算中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；
对于选项B，，故B选项错误；
对于选项C，错误，正确的应该是，故C不正确；
对于选项D，，故D正确．
故选：D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
又，则
故选：B
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得．根据函数的图象及，
得，，所以．

令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增，
所以．故，
故选：C.
7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的单调递区间为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数的定义域为
令，又在定义域内为减函数，
故只需求函数在定义域上的单调递减区间，
又因为函数在上单调递减，
的单调递区间为.
故选：B
8．（2023秋·安徽宣城·高一统考期末）已知是定义在R上的减函数，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】要使函数 在R上为减函数，
需满足 ，解得.
故选：D．
二、多选题
9．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）已知，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】对A：，A正确；
对B：，B错误；
对C：，C正确；
对D：，D正确.
故选：ACD.
10．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】当时，在单调递增且其图象恒过点，
在单调递增且其图象恒过点，
则选项B符合要求；
当时，在单调递减且其图象恒过点，
在单调递减且其图象恒过点，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）____________
【答案】
【详解】原式


.
故答案为：.
12．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考开学考试）已知函数过定点，若，则最小值为______.
【答案】4
【详解】令，可得，故函数过定点，
所以.
所以，即.
所以,
当且仅当时等号成立.
所以最小值为4.
故答案为:4.
四、解答题
13．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）（1）计算求值：；
（2）解不等式：.
【答案】(1)7；(2).
【详解】(1)



(2)
又是减函数
则， 即 ，解得：,
故原不等式的解集为.
14．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）碳-14是碳的一种具有放射性的同位素，生物生存时体内的碳-14含量大致不变，生物死亡后，停止新陈代谢，碳-14含量逐渐减少，约经过5730年（半衰期），残存含量为原始含量的一半．考古人员可以透过古生物标本体内的碳-14含量来推测其死亡年份，以此推断与其共存的遗迹距今时间，这就是碳-14测年法．一般地，经过年后，碳-14的残存含量和原始含量之比为，满足函数关系：，其中常数为自然对数的底，称为碳-14衰变常数．
(1)求的值；
(2)通过专业测量，巫山大宁河小三峡悬棺中的某物的碳-14含量约占原始含量的78.13%，请推测悬棺距今多少年？（精确到个位数）
【答案】(1)
(2)2040年
【详解】（1）函数两边取对数得，
所以.
（2）由题意可得，
所以，
即距今2040年．
15．（2023秋·宁夏银川·高一银川二中校考期末）设（且）.
(1)若，求实数的值及函数的定义域；
(2)若，求函数的值域.
【答案】(1)，定义域为；
(2).
【详解】（1）由，解得，
所以，
由解得，所以定义域为.
（2）由（1）可知函数的定义域为，
因为，
因为函数在单调递增，单调递减，
又因为，所以在单调递增，单调递减，
且，
所以函数的值域为.
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能是（    ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】令得即，此有方程有两根，故有两个零点，排除A选项；
函数有意义满足解得或，
当时函数无意义，排除B、C选项；
对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合，
又∵当与及时，函数单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数单调递增，故单调性也符合，所以的图象可能是D；
故选：D
2．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数，若，当时，，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，函数在上单调递减．令，由复合函数单调性可知，函数在上单调递增，故，则，故实数a的取值范围为.
故选：D
3．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，为定义域上的单调递增函数
，故不成立；
，为定义域上的单调递增函数，
，故C和D不成立.
故选：B.
4．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）1904年，瑞典科学家海里格･冯･科赫引人一条曲线一一科赫曲线，曲线是这样构造的：①作一直线段；②将直线段三等分，以中间三分之一线段为底作一个等边三角形，并擦去等边三角形的底，得到由四条线段构成的折线图；③对的每条线段同样用等边三角形的两边替代原线段的三分之一线段，得到折线图；④无限重复上述过程，依次得到，，最后得到一条复杂曲线即称为科赫曲线，若线段的长度为1米，则的长度为__________；若米，则正整数的最小值为__________.（参考数据：）

【答案】         
【详解】解：因为的长度为的长度为，所以的长度为.
由，得，即正整数的最小值为32.
故答案为：；.
C综合素养
1．（2023·全国·高三专题练习）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式．现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（    ）分钟饮用口感最佳．（参考数据；，）
A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26
【答案】B
【详解】由题意得，代入数据得，
整理得，即，解得；
所以若空气的温度为12℃，从沏茶开始，大约需要2.77分钟饮用口感最佳．
故选：B．
2．（多选）（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）函数，则正确的有（    ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．是偶函数 D．在区间上是增函数
【答案】ACD
【详解】依题意，函数的定义域为R，A正确；，
对于B，因为，当且仅当，即时取等号，又函数在上递增，
因此，B错误；
对于C，，因此函数是R上的偶函数；
对于D，令，，
，
因为，则，即有，因此，
即函数在上单调递增，又函数在上递增，所以函数在上递增，D正确.
故选：ACD
3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为为上的偶函数，且在区间上单调递减，
所以在上单调递增；
因为，
所以，
即，
所以，即或，
解得：或，即实数的取值范围为.
故答案为：.
4．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比.
(1)根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升
(2)已知信号功率，证明：；
(3)现有3个并行的信道，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）
【答案】(1)2047
(2)证明见解析
(3)把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量
【详解】（1）当时，，
令，
得，
解得：，
所以若不改变带宽，将信噪比从1023提升到2047时，信道容量能提升.
（2）证明：
右边




=左边，
所以，原式成立；
（3）分配到信道上能获得最大的信道容量.
理由：由（2）可知当时，，
随着的增大也会增大，但增加的速度会越来越慢，
所以把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量.
5．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)当，函数存在零点，求实数的取值范围；
(3)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题得的定义域为，
∵是偶函数，∴，
即对任意恒成立，
∴，
∴；
（2）即，因为当，函数有零点，即方程有实数根.
令，则函数与直线有交点，∵，
根据复合函数单调性可得在上单调递减，当时有，
∴，则，
所以a的取值范围是；
（3）因为，
又函数与的图象只有一个公共点，则关于x的方程只有一个解，
又函数的定义域为，函数的定义域满足，即当时，定义域为，当时，定义域为，
所以，令，得，
①当，即时，此方程的解为，不满足题意；
②当，即时，则，即，此时，
又，，所以此方程有一正一负根，且正根大于，
所以，解得，所以；
③当，即时，则，即，若方程有根两根，
又，，所以此时方程为两个负根，不符合题意；
④当时，则，即，要使得方程唯一的在内的根，
则，解得，
综合①②③④得，实数m的取值范围为：.
6．（2023秋·云南保山·高一统考期末）已知函数（）.
(1)当时，解关于的不等式：；
(2)若在时都有意义，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）当时，，
因为在上单调递增，且，
由得，解得：，
即不等式解集为.
（2）在时都有意义，即在上恒成立，
即在时恒成立，
即在时恒成立，
令，，则只需即可，
令，，
∵，，
当且仅当，，且，即时等号成立，
∴，
∴，即最大值为1，
∴，
∴的取值范围为.
7．（2023秋·山东烟台·高一统考期末）给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若1n2是的一个“点”，则实数a的值为______；若为“函数”，则实数a的取值范围为______．
【答案】     3    
【详解】由题意知，当时，，
由新定义的函数知，，则，
有，即，
解得；
若函数为“函数”，则存在使得，
当时，，
，即，
得，即，得，
当且仅当即时等号成立.；
当时，，
，即，
得，
当且仅当即时等号成立.
所以a的取值范围为.
故答案为：；.