第09讲函数模型及其应用（讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32724" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc32724 \h 1
\l "_Tc295" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc295 \h 2
\l "_Tc14581" 高频考点一：几类不同增长的函数模型 PAGEREF _Tc14581 \h 2
\l "_Tc2856" 高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型） PAGEREF _Tc2856 \h 5
\l "_Tc24809" 高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型） PAGEREF _Tc24809 \h 8
\l "_Tc3848" 高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题 PAGEREF _Tc3848 \h 11
\l "_Tc31032" 第三部分：数学文化题 PAGEREF _Tc31032 \h 15
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第一部分：知识点必背
1、常见函数模型
2、指数、对数、幂函数模型性质比较
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：几类不同增长的函数模型
典型例题
例题1．（2023秋·云南·高一云南师大附中校考期末）如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长）的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023秋·四川内江·高一统考期末）今有一组实验数据如下：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：，是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：
(1)为了描述行星离太阳的距离与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）；
①；②；③．
(2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合）
(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
则，的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中，为待定系数）（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·高一课时练习）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 （单位：百万个）与培养时间 （单位：时）的关系如下表，为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下四种模型供选择，则最符合实际的函数模型为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高一课时练习）今有一组实验数据如下：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
B．C．D．
高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）
典型例题
例题1．（2023秋·江西赣州·高一统考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：
若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·高一课时练习）如图，点在边长为1的正方形ABCD的边上运动，设点是边的中点，点沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则函数的解析式为______．
例题3．（2023秋·山东泰安·高一统考期末）近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而，这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大?最大利润是多少?
练透核心考点
1．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知，且，设，绿地面积为．
(1)写出关于x的函数解析式，并求出的定义域；
(2)当为何值时，绿地面积最大？并求出最大值．
2．（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）
(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？
3．（2023·高一课时练习）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线（）左侧的图形的面积为．
(1)求函数的解析式；
(2)画出函数在区间上的图象．
高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型）
典型例题
例题1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度（单位：升/小时）与液体所处环境的温度（单位：）近似地满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该液体在的蒸发速度是0.2升/小时，在的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在的蒸发速度为（ ）
A．0.5升/小时B．0.6升/小时C．0.7升/小时D．0.8升/小时
例题2．（2023·福建漳州·统考三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有的物体，若放在的空气中冷却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售人员的销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的．现有三个奖励模型：，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据：，当时，恒成立）
例题4．（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份.（参考数据：，）.
练透核心考点
1．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式．若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为55元/千克，则6级果的市场销售单价约为（ ）（参考数据：）
A．156元/千克B．158元/千克C．160元/千克D．164元/千克
2．（2023秋·云南德宏·高一统考期末）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”源于《增广贤文》，《增广贤文》是勉励人们专心学习的，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把式子中的看作是每天的“进步”率，一年后的值是；而把式子中的看作是每天的“退步”率，一年后的值是．照此计算，大约经过多少天“进步”后的值是“退步”后的值的10倍？ （ ）（参考数据：，）
A．100天B．108天C．115天D．124天
3．（2023秋·安徽芜湖·高一统考期末）科学家通过生物标本中某种放射性元素的存量来估算该生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为1620年（即：每经过1620年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该元素的初始存量为，经检测生物中该元素现在的存量为，（参考数据：）请推算该生物距今大约___________年．
4．（2023秋·山东济南·高一统考期末）La'eeb是2022年卡塔尔世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物具有非常鲜明的民族特征，阿拉伯语意为“高超的球员”，某中国企业可以生产世界杯吉祥物La'eeb，根据市场调查与预测，投资成本x（千万）与利润y（千万）的关系如下表
当投资成本x不高于12（千万）时，利润y（千万）与投资成本x（千万）的关系有两个函数模型与可供选择.
(1)当投资成本x不高于12（千万）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)当投资成本x高于12（千万）时，利润y（千万）与投资成本工（千万）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一个亿的利润，投资成本x（千万）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）
（参考数据：）
高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·甘肃庆阳·高一统考期末）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T（单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟，）的函数模型：①；②.根据所给的数据，下列结论中正确的是（ ）（参考数据：，）
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟
D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟
例题2．（2023秋·福建南平·高一统考期末）某企业拟购买一批智能机器人生产型电子元件，以提高生产效率，降低生产成本.已知购买台机器人的总成本（万元）.
(1)要使所购买的机器人的平均成本最低，应购买多少台机器人？
(2)现将按（1）所求得的数量购买的机器人全部投入生产，并安排名工人操作这些机器人（每名工人可以同时操作多台机器人）.已知每名工人操作水平无差异，但每台机器人每日生产型电子元件的个数与操作工人人数有关，且满足关系式：.问在引进机器人后，需要操作工人的人数为何值时，机器人日平均生产量达最大值，并求这个最大值.
例题3．（2023秋·广东·高一统考期末）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：，，．（参考数据：）
(1)试判断哪个函数模型能符合公司要求，并说明理由．
(2)基于（1）所得的符合公司要求的模型，当利润为多少时，奖金与利润之比最大，并求出最大值．
例题4．（2023秋·重庆铜梁·高一校联考期末）北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数），冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示：
已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：
①，②，③
(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；
(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低．
练透核心考点
1．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）2022年11月20日，备受全球球迷关注的第22届世界杯足球赛如期开幕，全球32支参赛队伍，将在64场比赛中争夺世界足球的最高荣誉大力神杯！某体育用品商店借此良机展开促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示：
(1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立y关于x的函数解析式；
(2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：）
2．（2023秋·河南郑州·高一统考期末）近年来，中国自主研发的长征系列运载火箭的频频发射成功，标志着中国在该领域已逐步达到世界一流水平.设火箭推进剂的质量为M（单位：t），去除推进剂后的火箭有效载荷质量为m（单位：t），火箭的飞行速度为v（单位：），初始速度为（单位：），已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：，其中是火箭发动机喷流相对火箭的速度.假设，.
（参考数据：，）.
(1)若，当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7）时，求相应的M；（精确到小数点后一位）
(2)如果希望火箭飞行速度达到16.7，但火箭起飞质量的最大值为2000t，请问的最小值为多少？（精确到小数点后一位）
3．（2023秋·山东临沂·高一山东省临沂第一中学校考期末）我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强．但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝）来度量．为了描述声强级与声强之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据：
现有以下三种函数模型供选择：，，．
(1)试根据第1—5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值；
4．（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，）
第三部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：，）
A．11B．22C．227D．481
2．（2022秋·黑龙江双鸭山·高一校考阶段练习）冈珀茨模型是由冈珀茨（Gmpertz）提出的，可作为动物种群数量变化的模型，也可用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种年后的种群数量近似满足冈珀茨模型（，当时表示2022年初的种群数量），经过年后，当该物种的种群数量不足2022年初种群数量的时，即将有濒临灭绝的危险，则的最小值为（参考数据：）（ ）
A．10B．11C．12D．13
3．（2022·江苏连云港·模拟预测）建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为，，…，（单位：m2），其相应的透射系数分别为，，…，，则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均值确定：，于是组合墙的实际隔声量（单位：dB）为．已知某墙的透射系数为，面积为20 m2，在墙上有一门，其透射系数为，面积为，则组合墙的平均隔声量约为_______dB．（注：）
4．（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.我市“运河五号”的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：
(1)根据上表中的数据研究发现，函㪚模型适合描述日销售量与时间的变化关系，求出该函数的解析式；
(2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值.
5．（2022秋·江苏苏州·高一统考阶段练习）“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽毫州的诗句，毫州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.毫州自商汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了毫州医药的发展，到明､清时期毫州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.毫州建有全球规模最大､设施最好､档次最高的“中国（毫州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2021年的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价（单位：元/千克）与第天（）的函数关系满足（为正常数）.该中药材的日销售量（单位：千克）与的部分数据如下表所示：
已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价日销售量）
(1)求的值；
(2)给出以下四种函数模型：①，②，③，④，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入（单位：元）的最小值.函数模型
函数解析式
一次函数模型
(为常数，)
反比例函数模型
(为常数且)
二次函数模型
（均为常数，）
指数函数模型
（均为常数，，，）
对数函数模型
（为常数，）
幂函数模型
（为常数，）
分段函数
函数
性质
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
先慢后快，指数爆炸
先快后慢，增长平缓
介于指数函数与对数函数之间,相对平稳
图象的变化
随x的增大，图象与轴接近平行
随x的增大，图象与轴接近平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个，当时，有
12
行星编号
1（金星）
2（地球）
3（火星）
4（ ）
5（木星）
6（土星）
离太阳的距离
－2
－1
0
1
2
3
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
2
3
4
5
6
8
3.5
3.8
4
4.16
4.3
4.5
x
2
3
4
5
6
y
1.5
2.01
2.98
5.02
8.98
每户每月用水量
水价
不超过的部分
2.5元
超过但不超过的部分
5元
超过的部分
7.5元
x（千万）
…
2
…
4
…
12
…
y（千万）
…
0.4
…
0.8
…
12.8
…
（套）
x（万元）
2
3
5
y（万元）
组别
1
2
3
4
5
6
7
声强
①
声强级
10
13.01
14.77
16.02
20
40
②
x
10
15
20
25
30
50
55
60
55
50
4
10
20
30
149
155
165
155