第02讲导数与函数的单调性(讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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\l "_Tc23009" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc23009 \h 2
\l "_Tc25304" 4、含参问题讨论单调性 PAGEREF _Tc25304 \h 2
\l "_Tc13310" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc13310 \h 3
\l "_Tc27361" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc27361 \h 4
\l "_Tc15334" 高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参） PAGEREF _Tc15334 \h 4
\l "_Tc18874" 高频考点二：已知函数在区间上单调 PAGEREF _Tc18874 \h 6
\l "_Tc14283" 高频考点三：已知函数在区间上存在单调区间 PAGEREF _Tc14283 \h 8
\l "_Tc6237" 高频考点四：已知函数在区间上不单调 PAGEREF _Tc6237 \h 10
\l "_Tc25090" 高频考点五：已知函数的单调区间为（是） PAGEREF _Tc25090 \h 12
\l "_Tc16371" 高频考点六：已知函数的单调区间的个数 PAGEREF _Tc16371 \h 13
\l "_Tc16047" 高频考点五：函数单调性的应用 PAGEREF _Tc16047 \h 15
\l "_Tc23872" 角度1：导函数与原函数图象的单调性 PAGEREF _Tc23872 \h 15
\l "_Tc17392" 角度2：比较大小 PAGEREF _Tc17392 \h 18
\l "_Tc20651" 角度3：构造函数解不等式 PAGEREF _Tc20651 \h 20
\l "_Tc4164" 高频考点六：含参问题讨论单调性 PAGEREF _Tc4164 \h 24
\l "_Tc26504" 角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） PAGEREF _Tc26504 \h 24
\l "_Tc2369" 角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 PAGEREF _Tc2369 \h 26
\l "_Tc12410" 角度3：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型 PAGEREF _Tc12410 \h 29
\l "_Tc19665" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc19665 \h 32
\l "_Tc23601" ①开放性试题 PAGEREF _Tc23601 \h 32
\l "_Tc29078" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc29078 \h 33
\l "_Tc21710" ①分类讨论的思想 PAGEREF _Tc21710 \h 33
\l "_Tc14110" ②转化与化归思想 PAGEREF _Tc14110 \h 34
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第一部分：知识点必背
1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
2、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则
②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则
（3）已知函数在区间上不单调，使得(其中是变号零点）
4、含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
第二部分：高考真题回归
1．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
【答案】(1)
(2)在上单调递增.
【详解】（1）解：因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为，
所以，
令，
则，
∴在上单调递增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上单调递增.
2．（2022·全国（新高考Ⅱ）·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
3．（2022·浙江·高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
【详解】（1），
当，；当，，
故的减区间为，的增区间为.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
典型例题
例题1．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由已知，
时，，时，，
所以的减区间是，增区间是；
故选：A．
例题2．（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，函数定义域为，，
令，得，所以函数的单调递减区间是.
故选：A.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）函数的单调递增区间为__________.
【答案】
【详解】函数，则，
令解得，
当时,,函数单调递减，
当时,,函数单调递增，
当时,,函数单调递减，
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
令，得或，
又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为，
故选：C
2．（2023春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是_______________.
【答案】
【详解】由题设，令，解得，
因此，函数的单调递减区间是.
故答案为：
3．（2023·高三课时练习）写出函数的严格增区间：____________．
【答案】，
【详解】由题意，解得，，
故函数的严格增区间为，.
故答案为：，.
高频考点二：已知函数在区间上单调
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，则在上恒成立，即恒成立，又在上单调递减，故，
所以，当时，导数不恒为0，
故选：D.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
因为在上为单调递增函数，
所以在上恒成立，
令，
要满足①，或②，
由①得：，由②得：，
综上：实数m的取值范围是.
故选：D
例题3．（2023·高二课时练习）若在上是减函数，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【详解】，
因为在上是减函数，
所以在上恒成立，
即，
当时，的最小值为，所以，
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，又在上单调递增，故在上恒成立，而时，易见，只需要即可，故.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题得，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立．
，
而在区间上单调递减，
．
选项中只有是的必要不充分条件. 选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.
故选：D
3．（2023·高二课时练习）已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】由题意得在上恒成立，
因此，
解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：.
高频考点三：已知函数在区间上存在单调区间
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
例题2．（2023·全国·高二专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由可得：.
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在上有解，即在上有解.
设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.
所以.
故选：D
练透核心考点
1．（2023·安徽滁州·高三校考阶段练习）若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题设，，由存在递减区间，即存在使，
∴，可得或.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）设f(x)＝－x3＋x2＋2ax，若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围.
【答案】
【详解】由 f ′(x)＝－x2＋x＋2a＝，
当时，f ′(x)的最大值为
令，得.
所以，当时，f(x)在上存在单调递增区间．
高频考点四：已知函数在区间上不单调
典型例题
例题1．（2023·高二课时练习）“当时，函数在区间上不是单调函数”为真命题的的一个取值是__________．
【答案】5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）
【详解】∵，∴，
函数在区间上不是单调函数，
∴在区间上有解,∵，∴,∴,
故答案为：5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】
因为函数在上不单调
所以必有解
当只有一个解时，
得出函数在上单调递增，与题干矛盾，故必有两个不等实根
则，解得或
故答案为
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【详解】由，得，
当在内为减函数时，则在内恒成立，
所以在内恒成立，
当在内为增函数时，则在内恒成立，
所以在内恒成立，
令，因为在内单调递增，在内单调递减，
所以在内的值域为，所以或，
所以函数在内单调时，a的取值范围是，
故在上不单调时，实数a的取值范围是．
故答案为：．
2．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.
【答案】(4，5)
【详解】解：函数，，
若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，
由得，
令，，，
在递减，在递增，而，，，
所以.
故答案为：.
高频考点五：已知函数的单调区间为（是）
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的单调递减区间为，则（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由得，又的单调递减区间是，所以和1是方程的两个根，代入得.经检验满足题意
故选：B.
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的单调递减区间是，则（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】B
【详解】函数，则导数
令，即，
∵，的单调递减区间是，
∴0，4是方程的两根，
∴，，
∴
故选：B.
例题3．（2023·高二课时练习）已知函数的单调递减区间是，则的值为______.
【答案】
【详解】由题设，，由单调递减区间是，
∴的解集为，则是的解集，
∴，可得，故.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（ ）
A．－12B．－10C．8D．10
【答案】A
【详解】＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1